【答】2023全国名校联盟第一次联考，椭圆试题

dodonaomikiki

再看另一种表现
m=负根号2
n=根号2

dodonaomikiki

11喽，显然是一种很特殊的情形！
两个坐标轴，
成为了绿园的两根切线！

dodonaomikiki

六楼的图，
画的不够精准！


重新绘制

dodonaomikiki

整理如下
还是比较简单的



第一小题
\begin{align*}

  \frac{a}{c}&=\frac{          \sqrt{2}               }{2}\\
\Longrightarrow      a&=     \sqrt{2}   c=     \sqrt{2}   b\\
a&=     \sqrt{2}    \bullet    \sqrt{3}   \\
&=     \sqrt{6}   \\
\Longrightarrow      \Gamma:   \frac{x^2}{6}+   \frac{y^2}{3}=1
\end{align*}

dodonaomikiki

第二小题开始！
就表现出【复杂的端倪 】



Set    \begin{align*}
OP:   k1x-y=0\\
OQ:k2x-y=0\\
\Longrightarrow   k1k2  \qquad    are   \qquad    the  \qquad     two  \qquad     roots   \qquad     of\\
the    \qquad    following    \qquad   eqn.\\
(mx-2)^2&=2(x^2+1)\\
m^2x^2-2mnx+n^2-2x^2-2&=0\\
(m^2-2)x^2-2mnx+n^2-2&=0\\
\Longrightarrow   k1k2&=\frac{  n^2-2  }{m^2-2}\\
\end{align*}


Point   \(M(m,n)\)   are   on  the  ellipse
\begin{align*}
\Gamma:   \frac{x^2}{6}+   \frac{y^2}{3}&=1\\
\Longrightarrow    m^2+ 2n^2&=6\\
m^2&=6- 2n^2\\
\Longrightarrow   k1k2 &=\frac{  n^2-2  }{m^2-2}\\

&=\frac{  n^2-2  }{6-2n^2-2}\\
&=\frac{  n^2-2  }{4-2n^2}\\
&=-\frac{1}{2}\\
\end{align*}

dodonaomikiki

第三小题开始，
超级烦琐！
但是运用到的一个知识点，极为简单【1+斜率的平方=多少 】



今年高考的大基调，
应该是超大量计算，带来超凡难度【不需要你天赋，却需要你沉浸式计算】

dodonaomikiki

3-1

\begin{align*}
\begin{cases}   Set  \qquad   MR:   x=uy+v\\         x^2+2y^2=6      \end{cases}\\
\Longrightarrow   (u ^2  +2)y^2+uvy+v^2-6&=0\\
\Longrightarrow   n&=\frac{-2uv  \pm  \sqrt{  -4u^2(-6)-4  \bullet2  ( v^2-6  )           }}{ u ^2  +2  }\\
&=\frac{-uv  \pm  \sqrt{  6u^2-2  v^2+12          }}{ u ^2  +2  }【n\succ   0,负根消掉】\\
\Longrightarrow  n( u ^2  +2   )+uv= \sqrt{  6u^2-2  v^2+12          }&= \sqrt{  -2  v^2+6u^2+12          } ...  ...    ...   ... [1]\\
\end{align*}





And
\begin{align*}
\begin{cases}   x&=uy+t\\            mx+2ny&=0      \end{cases}\\
\Longrightarrow    m(uy  +t)+2ny&=0\\
muy+2ny&=-mt\\
y&=\frac{-mt}{mu+2n}\\
And\\
MR&=\sqrt{6}=\sqrt{1+ u ^2 }  【n-\frac{-mt}{mu+2n}】\\
&=\sqrt{1+ u ^2 }  \bullet    (n+\frac{mt}{mu+2n})\\
&=\sqrt{1+ u ^2 } \bullet   \frac{mnu+2n^2+mt}{mu+2n}\\
&=\sqrt{1+ u ^2 } \bullet   \frac{m(nu+t)+2n^2}{mu+2n}\\
\end{align*}

dodonaomikiki

算到这里，
人的心气，确实变得心浮气躁起来~~~不容易确实！


3-2


And
\begin{align*}
m&=un  +v\\
\Longrightarrow   \sqrt{1+u^2}   \bullet   \frac{ m  \bullet m  +2n^2   }{m  \bullet u  +2n}   \\
&=\sqrt{1+u^2}  \bullet   \frac{m^2  +2n^2  }{m u  +2n}\\
\end{align*}




And
\begin{align*}
m^2  +2n^2  &=6\\
\Longrightarrow    &= \sqrt{1+u^2}   \bullet  \frac{6}{mu   +2n}\\

\Longrightarrow   \sqrt{6} &= \sqrt{1+u^2}   \bullet  \frac{6}{mu   +2n}\\
\end{align*}

dodonaomikiki

   秉持【坚持到底，就是胜利】的信念，
还是继续做下去！
尽管，算到这个地步，人的气血差不多完尽啦，
人也快要变得奄奄一息啦

dodonaomikiki

3-3

\begin{align*}
\Longrightarrow    um+2n&= \sqrt{6}   \bullet    \sqrt{1+u^2}\\
u(un+v)+2n&=/    \\
u^2n+uv+2n&=/    \\
n(u^2+2)+uv&=/    \\
Use    ...  ...    ...   ... [1]\\
\sqrt{  -2  v^2+6u^2+12          }&= \sqrt{6}   \bullet    \sqrt{1+u^2}\\
-2  v^2+12    &=6u\\
2 v^2&=6\\
v^2&=3\\
v&=\sqrt{3}   【Reject    \bullet  -\sqrt{3} 】\\
\Longrightarrow    MR    \qquad goes    \qquad    through      \qquad   ( \sqrt{3},0   )\\
\end{align*}