4^a+2^a+1的最大素因子

太阳

4^a+2^a+1，a＝81，405
153，657，1251，1503，1719，3897。4041，4113，5553，6147

太阳

例1:\(a＝81\)，\(\frac{4^{81}+2^{81}+1}{73}\ne k\)
\(\left( 4^{81}+2^{81}+1\right)\)的最小质因数是487
\(\frac{4^{81}+2^{81}+1}{487}\)的最小质因数是16753783618801
\(\frac{4^{81}+2^{81}+1}{487\times16753783618801}\)的最大质因数是3712990163251158343＞\(\sqrt{\frac{4^{81}+2^{81}+1}{487\times16753783618801}}\)
例2:\(a＝405\)，\(\frac{4^{405}+2^{405}+1}{73}\ne k\)
\(\left( 4^{405}+2^{405}+1\right)\)的最小质因数是487
\(\frac{4^{405}+2^{405}+1}{487}\)的最小质因数是49677578641
\(\frac{4^{405}+2^{405}+1}{487\times49677578641}\)的最大质因数是35587730061651572813645091915392646587500419941226352943003407923114622009461764361082185123933692044046427168174533156579030041＞\(\sqrt{\frac{4^{405}+2^{405}+1}{487\times49677578641}}\)

太阳

已知:奇数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(a＝3c\)，\(k＞0\)，\(\frac{4^a+2^a+1}{73}\ne k\)，\(t＞a^2m^2\)
\(\left( 4^a+2^a+1\right)\)的最小质因数是\(m\)，\(\frac{4^a+2^a+1}{m}\)的最小质因数是\(t\)
\(\frac{4^a+2^a+1}{mt}\)的最大质因数是\(y\)
求证:\(y＞\sqrt{\frac{4^a+2^a+1}{mt}}\)

yangchuanju

太阳 发表于 2023-5-7 20:59
例1:\(a＝81\)，\(\frac{4^{81}+2^{81}+1}{73}\ne k\)
\(\left( 4^{81}+2^{81}+1\right)\)的最小质因数是4 ...

4^81+2^81+1满足太阳命题的各个条件：       
a        81       
2^3a-1        1.41348E+73       
2^243-1<74>=
7×73×487×2593×71119×262657×97685839×16753783618801<14>×192971705688577<15>×3712990163251158343<19>
2^a-1        2.41785E+24        2417851639229258349412351<25>=7×73×2593×71119×262657×97685839
4^3a+2^a+1=(2^3a-1)/(2^a-1)        5.84601E+48       
商487×16753783618801<14>×192971705688577<15>×3712990163251158343<19>
因子个数        10-6=4       
最小素因子m        487       
第二素因子t        1.67538E+13       
最大素因子y        3.71299E+18       
4^a+2^a+1平方根        2.41785E+24        最大素因子y小于4^a+2^a+1的平方根
a^2*m^2        1556065809        符合t>a^2*m^2的要求
(4^a+2^a+1)/mt        7.16502E+32        192971705688577<15>×3712990163251158343<19>
(4^a+2^a+1)/mt平方根        2.67676E+16        最大素因子y大于(4^a+2^a+1)/mt的平方根

yangchuanju

4^153+2^153+1满足太阳命题的各个条件，不去掉第一、第二素因子亦符合最大素因子大于4^153+2^153+1的平方根：               
a        153       
2^3a-1        1.4886E+138       
2^459-1<139>=
7×73×103×919×2143×11119×131071×262657×407770693450231393<18>×24418671951944649151<20>×75582488424179347083438319<26>×49848448234572624009465371493197779785120970152607<50>
2^a-1        1.1418E+46        11417981541647679048466287755595961091061972991<47>=7×73×103×919×2143×11119×131071×75582488424179347083438319<26>
4^3a+2^a+1=(2^3a-1)/(2^a-1)        1.3037E+92       
商262657×407770693450231393<18>×24418671951944649151<20>×49848448234572624009465371493197779785120970152607<50>
因子个数        12-8=4       
最小素因子m        262657       
第二素因子t        4.07771E+17       
最大素因子y        4.98484E+49       
4^a+2^a+1平方根        1.1418E+46        最大素因子y大于4^a+2^a+1的平方根
a^2*m^2        1.61496E+15        符合t>a^2*m^2的要求
(4^a+2^a+1)/mt        1.21723E+69        24418671951944649151<20>×49848448234572624009465371493197779785120970152607<50>
(4^a+2^a+1)/mt平方根        3.48889E+34        最大素因子y大于(4^a+2^a+1)/mt的平方根

yangchuanju

4^405+2^405+1满足太阳命题的各个条件，不去掉第一、第二素因子亦符合最大素因子大于4^405+2^405+1的平方根：               
a        405        1215
2^3a-1对数        365.7514447       
2^1215-1<366>=
7×31×73×151×271×487×631×2593×23311×71119×262657×348031×537841×97685839×49677578641<11>×16753783618801<14>×49971617830801<14>×192971705688577<15>×11096527935003481<17>×3712990163251158343<19>×17645665556213400107370602081155737281406841<44>×6606576725...21<57>×3558773006...41<128>
2^a-1对数        121.9171482       
2^405-1<122>=
7×31×73×151×271×631×2593×23311×71119×262657×348031×537841×97685839×49971617830801<14>×11096527935003481<17>×17645665556213400107370602081155737281406841<44>
4^3a+2^a+1=(2^3a-1)/(2^a-1)对数        243.8342965       
商487×49677578641<11>×16753783618801<14>×192971705688577<15>×3712990163251158343<19>×6606576725...21<57>×3558773006...41<128>
因子个数        23-16=7       
最小素因子m        487       
第二素因子t        49677578641       
最大素因子y及对数        3.5588E+127        127.5513003
4^a+2^a+1平方根对数        121.9171482        最大素因子y大于4^a+2^a+1的平方根
a^2*m^2        38901645225        符合t>a^2*m^2的要求
(4^a+2^a+1)/mt对数        230.4506071        16753783618801<14>×192971705688577<15>×3712990163251158343<19>×6606576725...21<57>×3558773006...41<128>
(4^a+2^a+1)/mt平方根对数        115.2253036        最大素因子y大于(4^a+2^a+1)/mt的平方根

yangchuanju

太阳 发表于 2023-5-7 20:39
4^a+2^a+1，a＝81，405
153，657，1251，1503，1719，3897。4041，4113，5553，6147

4^657+2^657+1不满足太阳命题的各个条件，不是太阳命题的解：               
a        657        1971
2^3a-1对数        593.3301215       
2^1971-1<594>=
7×73^2×439×3943×262657×2298041×10178663167<11>×27265714183<11>×9361973132609<13>×1406791071629857<16>×5271393791658529<16>×671165898617413417<18>×2762194134676763431<19>×4815314615204347717321<22>×42185927552983763147431373719<29>×22068362846714807160397927912339216441<38>×781335393705318202869110024684359759405179097<45>×4385565518...73<338>
2^a-1对数        197.7767072       
2^657-1<198>=
7×73^2×439×3943×2298041×10178663167<11>×27265714183<11>×9361973132609<13>×5271393791658529<16>×671165898617413417<18>×2762194134676763431<19>×4815314615204347717321<22>×42185927552983763147431373719<29>×781335393705318202869110024684359759405179097<45>
4^3a+2^a+1=(2^3a-1)/(2^a-1)对数        395.5534143       
商262657×1406791071629857<16>×22068362846714807160397927912339216441<38>×4385565518...73<338>
因子个数        19-15=4，其中复合因子1个       
最小素因子m        262657       
第二素因子t        1.40679E+15       
最大素因子y及对数        4.385565518*10^337不是素数        337.6420256
4^a+2^a+1平方根对数        197.7767072        最大素因子y虽大于4^a+2^a+1的平方根，但y不是素数
a^2*m^2        2.97789E+16        不符合t>a^2*m^2的要求
(4^a+2^a+1)/mt对数        374.9857957       
(4^a+2^a+1)/mt平方根对数        187.4928979        最大因子虽大于(4^a+2^a+1)/mt的平方根，但因该最大因子不是素数，不符合太阳的规定！
               
以下指数更大的a=1251，1503，1719，3897。4041，4113，5553，6147，都含有未完全分解的复合因子，无法判断它们是否符合太阳命题的条件，不能确定它们是不是太阳命题的解。不再一一检验。               

太阳

已知:奇数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(a＝3c\)，\(k＞0\)，\(\frac{4^a+2^a+1}{73}\ne k\)，\(t＞a^2m^2\)
\(\left( 4^a+2^a+1\right)\)的最小质因数是\(m\)，\(\frac{4^a+2^a+1}{m}\)的最小质因数是\(t\)
\(\frac{4^a+2^a+1}{mt}\)的最大质因数是\(y\)
求证:\(y＞\sqrt{\frac{4^a+2^a+1}{mt}}\)
此命题非常强大，重大命题

yangchuanju

4^369+2^369+1满足太阳命题的各个条件，是太阳命题的解，怎么被太阳丢了？               
a        369
2^3a-1对数        333.2402052       
2^1107-1<334>=
7×73×13367×262657×3887047×164511353×6376386802464073<16>×177722253954175633<18>×7675195491326802969559<22>×472897006006202784083089<24>×2429301503...37<57>×1516672492...51<172>
2^a-1对数        111.0800684       
2^369-1<112>=
7×73×13367×3887047×164511353×6376386802464073<16>×177722253954175633<18>×2429301503...37<57>
4^3a+2^a+1=(2^3a-1)/(2^a-1)对数        222.1601368       
商262657×7675195491326802969559<22>×472897006006202784083089<24>×1516672492...51<172>
因子个数        12-8=4       
最小素因子m        262657       
第二素因子t        7.6752E+21       
最大素因子y及对数        1.5167E+171        171.1808918
4^a+2^a+1平方根对数        111.0800684        最大素因子y大于4^a+2^a+1的平方根
a^2*m^2        9.39357E+15        符合t>a^2*m^2的要求
(4^a+2^a+1)/mt对数        194.8556584       
(4^a+2^a+1)/mt平方根对数        97.42782919        最大因子大于(4^a+2^a+1)/mt的平方根

太阳

yangchuanju 发表于 2023-5-8 11:37
4^369+2^369+1满足太阳命题的各个条件，是太阳命题的解，怎么被太阳丢了？               
a        369
2^3a-1对数        333.24020 ...

4^a+2^a+1，a＝81，405，153，369，验证4个数，没有找到反例
1251，1503，1719，3897。4041，4113，5553，6147