求证:\(c＝m\)

yangchuanju

太阳先生不是想在清一色数中找一些亿位大素数吗？
清一色数中肯定有这样的大素数存在，并且无穷多！

yangchuanju

清一色数中存在大量大素数
清一色数即是全由数字1组成的数字，11,111,1111，……
已知清一色数中存在有11个素数：2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, 5794777, 8177207（1的位数）；
其中最小的是11，已知的最大的由8177207个1组成。
猜想：清一色数字之中存在无穷多个素数！

清一色数中除了少量素数外，亦有许多二合数，它们的素因子都是较大的素数：
11111=41×271
1111111=239×4649
11111111111<11>=21649×513239
11111111111111111<17>=2071723×5363222357<10>
11111111111111111111111111111111111111111111111<47>=35121409×316362908763458525001406154038726382279<39>
(10^211-1)/9<211>=6926245573...79<93>×1604204037...09<118>
(10^251-1)/9<251>=52371653×2121588774...87<243>
(10^311-1)/9<311>=4344673058...33<64>×2557410180...67<247>
(10^457-1)/9<457>=5437387×2043465199...53<450>
(10^461-1)/9<461>=792892858054693213<18>×1401338276...47<443>
(10^701-1)/9<701>=674363×1647645424...97<695>
(10^4201-1)/9<4201>=5975132176088831677<19>×1859559049...43<4182>
(10^4597-1)/9<4597>=49517362821841381162768425182671<32>×2243881838...41<4565>
(10^5059-1)/9<5059>=3308587×3358264755...53<5052>
上面的后3行3对素数均已被证明都是素数，其中的大素数位数分别为4182,4565,5052位，继续下去其中一定有不少亿位大素数。

yangchuanju

指数是合数的清一色数字的余因子也往往都是一些大素数或大素数的乘积：
R3=111=3*37
R9=111111111=3^2*37*333667，余因子333667
R27=111111111111111111111111111<27>=3^3×37×757×333667×440334654777631<15>，
余因子757*440334654777631<15>
R81=(10^81-1)/9<81>=
3^4×37×163×757×9397×333667×2462401×440334654777631<15>×676421558270641<15>×130654897808007778425046117<27>，余因子163×9397×2462401×676421558270641<15>×130654897808007778425046117<27>

R5=11111=41*271
R25=1111111111111111111111111<25>=41*271*21401*25601*182521213001<12>，
余因子21401×25601×182521213001<12>
R125=(10^125-1)/9<125>=
41×271×751×21401×25601×1797655751<10>×182521213001<12>×176144543406001<15>×4205177580...01<74>，
余因子751×1797655751<10>×176144543406001<15>×4205177580...01<74>
R625=(10^625-1)/9<625>=
41×271×751×21401×25601×1797655751<10>×182521213001<12>×176144543406001<15>×2782057126261476352728985117193142348250001<43>×4205177580...01<74>×3594462495...01<458>，
余因子2782057126261476352728985117193142348250001<43>×3594462495...01<458>，其中458位因子是复合因子

R7=1111111=239×4649
R49=1111111111111111111111111111111111111111111111111<49>=239×4649×505885997×1976730144598190963568023014679333<34>，余因子505885997×1976730144598190963568023014679333<34>
R343=(10^343-1)/9<343>=
239×4649×505885997×1977439591<10>×62612348451548943616787<23>×7754637448036836493958053<25>×1976730144598190963568023014679333<34>×1081641825...51<90>×9629235556...51<148>，
余因子977439591<10>×62612348451548943616787<23>×7754637448036836493958053<25>×1081641825...51<90>×9629235556...51<148>

R10=1111111111<10>=11×41×271×9091
R100=(10^100-1)/9<100>=
11×41×101×251×271×3541×5051×9091×21401×25601×27961×60101×7019801×182521213001<12>×14103673319201<14>×78875943472201<14>×1680588011350901<16>
相对于R10的余因子是101×251×3541×5051×21401×25601×27961×60101×7019801×182521213001<12>×14103673319201<14>×78875943472201<14>×1680588011350901<16>，其中包含R20、R25、R50等的余因子
100含因子2,5,10及4,20,25,50，新出现的素因子101来自R4，3541*27961来自R20，21401*25601*182521213001<12>来自R25，251*5051*78875943472201<14>来自R50，真正的R100的余因子是60101*7019801*14103673319201<14>*1680588011350901<16>

R1000=(10^1000-1)/9<1000>=
11×41×73×101×137×251×271×401×751×1201×1601×3541×4001×5051×9091×21001×21401×24001×25601×27961×60101×76001×162251×1378001×1610501×1676321×7019801×1797655751<10>×5964848081<10>×10893295001<11>×182521213001<12>×14103673319201<14>×78875943472201<14>×176144543406001<15>×1680588011350901<16>×1296944190...01<72>×4205177580...01<74>×2694097928...51<81>×3288608250...01<92>×6209247929...01<94>×3023577677...01<390>
相对于R100的余因子24个是73×137×401×751×1201×1601×4001×21001×24001×76001×162251×1378001×1610501×1676321×1797655751<10>×5964848081<10>×10893295001<11>×176144543406001<15>×1296944190...01<72>×4205177580...01<74>×2694097928...51<81>×3288608250...01<92>×6209247929...01<94>×3023577677...01<390>
1000含因子2,5,10；4,20,25,50,100及8,40,125,200,250,500，新出现的素因子73×137来自R8，1676321×5964848081<10>来自R40，751×1797655751<10>×176144543406001<15>×4205177580...01<74>来自R125，401×1201×1601×1296944190...01<72>来自R200，21001×162251×10893295001<11>×2694097928...51<81>来自R250，4001×76001×1610501×3288608250...01<92>×6209247929...01<94>来自R500，真正的R1000的余因子是24001×1378001×3023577677...01<390>

R5237已被完全分解，(10^5237-1)/9<5237>=
345643×29747419163333<14>×13137300661025662591024039<26>×8225727009...71<5192>，第4素因子5192位
R5823已被完全分解，(10^5323-1)/9<5323>=
1362689×8293659841<10>×89614919369<11>×1996494074161905281<19>×5494980776...51<5277>，第5素因子5277位

yangchuanju

R509是一个尚未找到任何素因子的最小的清一色数，请算一算找到它的最小素因子至多需试除多少次，需用多少时间！
R509的各个素因子都应该是1018k+1型素数，R509平方根内有多少个素数？
其中又有多少个1018k+1型素数？

509位清一色数的平方根255位，大约是3.3*10^254，
3.3*10^254/ln(3.3*10^254)=5.63*10^251——素数个数
粗略取1018k+1型素数为素数总个数的500分之一，试除次数至多要1.12*10^249次，
用每秒100万次普通计算机试除，小时3600*10^6次，年365*24*3600*10^6=3.15*10^13次，尚需3.57*10^235年！
就算是235年，谁能等得到呢？

试除法对于这些大数字的判断和分解没有用处了，还是学一点先进的、现实的素数判断法和因子分解法吧！