清一色数字中的素数和余因子

yangchuanju · 发表于 2023-6-14 20:25

本帖最后由 yangchuanju 于 2023-6-14 20:30 编辑

R10000相对于R1000的余因子36个（内含7个复合因子），R10000总因子77个，R1000总因子41个，41+36=77
R10000的36个余因子都来自谁？7个复合因子又来自谁？（已改错）
16 17×5882353
80 5070721×19721061166646717498359681<26>
400 24592788001<11>×3475700719926956233659563848134955052440801<43>×1169903014...01<108>
625 2782057126261476352728985117193142348250001<43>×3594462495...01<C458>
1250 160001×50779597795001<14>×128372635774581251<18>×9587725422...51<C464>
2000 16001×952001×21408001×421144001×226780642946014381162024001<27>×2918934658137053157142763595766996896001<40>×1099963767...01<C709>
2500 670001×170774437501<12>×630240900001<12>×26216896777501<14>×11727340168618688631353490001<29>×4854491469...01<C453>×9291173132...01<C477>
5000 130290001×469620340001<12>×2336633447080001<16>×485632702361659071076259666970001<33>×1440268626...01<C1933>
10000 9432470260080001<16>×21597204466600001<17>×3277301266213756376603140001<28>×1497823533...01<C3941>
其中R2500中有两个小一点的复合因子C，625,1250,2000,5000,1000中各一个。

R100000相对于R10000的余因子41个（内含17个复合因子），R100000总因子118个，R10000总因子77个，77+41=118
32 353×449×641×1409×69857
160 1634881×18453761×947147262401<12>×349954396040122577928041596214187605761<39>
800 4801×43201×980801×4915793084...01<C306>
4000 544001×245832001×24657552001<11>×37750052632001<14>×8033307043...01<C1562>
20000 12600001×188080001×4219750778...01<C7985>
3125 532525001×3852075247993751<16>×4874894663...51<C2476>
6250 9999999999...01<C2500>
12500 37501×756100001×604991362501<12>×3701291672812501<16>×339320469104212501<18>×
7355683307782160268476171662501<31>×8758676893...01<C2431>×7204499923...01<C2480>
25000 10256250001<11>×20600850001<11>×4732888373...01<C9980>
50000 6600001×1515151285...01<C19994>
100000 66489400001<11>×10667937242260969298800001<26>×1409831253...01<C39965>

yangchuanju · 发表于 2023-6-15 02:33

本帖最后由 yangchuanju 于 2023-6-15 04:12 编辑

R5=11111=41*271

R25=1111111111111111111111111<25>=41*271*21401*25601*182521213001<12>，
余因子是21401×25601×182521213001<12>=100001000010000100001，21位

R125=(10^125-1)/9<125>=41×271×751×21401×25601×1797655751<10>×182521213001<12>×176144543406001<15>×4205177580...01<74>，余因子751×1797655751<10>×176144543406001<15>×4205177580...01<74>

R625=(10^625-1)/9<625>=41×271×751×21401×25601×1797655751<10>×182521213001<12>×176144543406001<15>×2782057126261476352728985117193142348250001<43>×4205177580...01<74>×3594462495...01<C458>
R625余因子2782057126261476352728985117193142348250001<43>×3594462495...01<C458>，其中458位因子是复合因子

R3125余因子532525001×3852075247993751<16>×4874894663...51<C2476>
R15625余因子27018407327495281843751<23>×3701180413...51<C12478>
R78125余因子32500001×706521851250001<15>×4355028760...01<C62478>
R390625余因子1000000000...01<U312501>，素性未知的大因子

指数是5的倍数时，余因子总位数为指数5^n的4/5加1，例R25总21位，R125总101位！各个余因子都是指数5^n的2k倍再加1，例41=5*8+1，271=5*54+1；21401=25*856+1，25601=25*1024+1；751=125*6+1，1797655751=125*14381246+1；……

yangchuanju · 发表于 2023-6-15 02:53

本帖最后由 yangchuanju 于 2023-6-15 04:14 编辑

R3=111=3*37
R5=11111=41*271
R7=1111111=239*4649

R15=111111111111111<15>=3*31*37*41*271*2906161，
余因子31*2906161=90090991，15*2/3*4/5=8位
R21=111111111111111111111<21>=3*37*43*239*1933*4649*10838689，
余因子43*1933*10838689=900900990991，21*2/3*6/7=12位
R35=11111111111111111111111111111111111<35>=41*71*239*271*4649*123551*102598800232111471<18>，
余因子71*123551*102598800232111471<18>=900009090090909909099991，35*4/5*6/7=24位

R105=(10^105-1)/9<105>=
3*31*37*41*43*71*239*271*1933*4649*123551*2906161*10838689*30703738801<11>*625437743071<12>*102598800232111471<18>*57802050308786191965409441<26>，
余因子30703738801<11>*625437743071<12>*57802050308786191965409441<26>=1109988789001111109989898989900111110998878900111，105*2/3*4/5*6/7=48，实际49位（a与b相乘，积位数小于等于a和b的数位和；ab除以a或b，商位数大于等于ab位数减去a或b的位数差）

yangchuanju · 发表于 2023-6-15 09:22

清一色数中的重因子
指数是素数的清一色数中没有重因子，且所有这些清一色数的素因子也不会重复，
即某一个素数的平方、立方、四次方等都不会是素指清一色数的素因子，
且某一个素数一旦成为某个素指清一色的素因子以后，它就不可能再是另一个素指清一色数的素因子了！

但清一色数的指数是合数时，情况完全不同，某素数的平方、立方、四次方等都会周期性的循环出现。
11是R2的唯一素因子，R4、R6、R8、R10……之中都有素因子11，且R22、R44、R66……之中都含有素因子11的平方，R242、R484、R726……之中都含有素因子11的立方，……
37是R3的唯一素因子，R6、R9、R12、R15……之中都有素因子37，且R111、R222、R333……之中都含有素因子37的平方，R242、R484、R726……之中都含有素因子11的立方，……
7是R6的一个素因子，R12、R18、R24、R30……之中都有素因子7，且R42、R84、R126……之中都含有素因子7的平方，R294、R588、R882……之中都含有素因子7的立方，……
13也是R6的一个素因子，R18、R30、R42、R54……之中都有素因子13，且R78、R156、R234……之中都含有素因子13的平方，R4107、R8214、R12321……之中都含有素因子37的立方，……
17是R16的一个素因子，R32、R48、R64、R80……之中都有素因子17，且R272、R544、R816……之中都含有素因子17的平方，R4624、R9248、R13872……之中都含有素因子17的立方，……
19是R18的一个素因子，R36、R54、R72、R90……之中都有素因子19，且R342、R684、R1026……之中都含有素因子19的平方，R6498、R12996、R19494……之中都含有素因子19的立方，……

奇素数p（5除外）总会出现在R(p-1)、R(2p-1)、R(3p-1)……之中，有时还会提前出现（例如素数11,13,37等）并以较短的周期循环出现。
素数5从不出现在清一色数的因子之中，因为它是清一色数的底数之一。

yangchuanju · 发表于 2023-6-15 09:23

本帖最后由 yangchuanju 于 2023-6-15 09:27 编辑

清一色数字中的φ因子
在清一色数字中有一个非常重要的数学名词——φ因子，用φn(10)表示，请看1-20的各个φ因子——
Φ1(10)=9=3^2(100.00%)
Φ2(10)=11=11(100.00%)
Φ3(10)=111=3×37(100.00%)
Φ4(10)=101=101(100.00%)
Φ5(10)=11111=41×271(100.00%)
Φ6(10)=91=7×13(100.00%)
Φ7(10)=1111111=239×4649(100.00%)
Φ8(10)=10001=73×137(100.00%)
Φ9(10)=1001001=3×333667(100.00%)
Φ10(10)=9091=9091(100.00%)
Φ11(10)=11111111111<11>=21649×513239(100.00%)
Φ12(10)=9901=9901(100.00%)
Φ13(10)=1111111111111<13>=53×79×265371653(100.00%)
Φ14(10)=909091=909091(100.00%)
Φ15(10)=90090991=31×2906161(100.00%)
Φ16(10)=100000001=17×5882353(100.00%)
Φ17(10)=11111111111111111<17>=2071723×5363222357<10>(100.00%)
Φ18(10)=999001=19×52579(100.00%)
Φ19(10)=1111111111111111111<19>=1111111111111111111<19>(100.00%)
Φ20L(10)=3541=3541(100.00%)
Φ20M(10)=27961=27961(100.00%)

粗看，清一色数字中的φ因子与我说论及的余因子相似，但又不完全相同。
当指数是1,2,3,5,7……时，我没有使用余因子的慨念，
我的指数为10的余因子为R10除以R2再除以R5，指数为9的余因子为R9除以R3，指数为20的余因子为R20除以R10在除以R2；
R10/R2/R5=9091，与φ10(10)相同；但R9/R3=333667，与φ9(10)=3×333667不尽相同；
R20/R10/R2=(11×41×101×271×3541×9091×27961)/(11×41×271×9091)/101=3541×27961。

我的余因子没有长短之分，而φ20，φ60，φ100……都有长短（L、M）之分：
Φ20L(10)=3541
Φ20M(10)=27961

yangchuanju · 发表于 2023-6-15 09:24

A085035给出352个已被完全分解的清一色数中的φ因子个数：
1    2 61    7 121    4 181    6 241    3 301    4
2    1 62    1 122    2 182    2 242    6 302    5
3    2 63    5 123    4 183    3 243    3 303    3
4    1 64    4 124    2 184    2 244    4 304    3
5    2 65    2 125    4 185    4 245    5 305    8
6    2 66    2 126    2 186    4 246    4 306    6
7    2 67    3 127    3 187    3 247    5 307    4
8    2 68    3 128    3 188    3 248    5 308    2
9    2 69    3 129    3 189    3 249    5 309    4
10    1 70    2 130    2 190    3 250    4 310    4
11    2 71    2 131    9 191    3 251    2 311    2
12    1 72    3 132    3 192    4 252    3 312    5
13    3 73    3 133    3 193    8 253    5 313    3
14    1 74    3 134    1 194    3 254    7 314    3
15    2 75    3 135    5 195    4 255    4 315    3
16    2 76    2 136    2 196    1 256    4 316    4
17    2 77    4 137    5 197    4 257    5 317    1
18    2 78    5 138    3 198    2 258    2 318    6
19    1 79    6 139    2 199    4 259    5 319    4
20    2 80    2 140    5 200    4 260    5 320    1
21    3 81    6 141    3 201    4 261    8 321    2
22    4 82    2 142    2 202    5 262    6 322    6
23    1 83    3 143    4 203    4 263    3 323    4
24    1 84    2 144    2 204    6 264    7 324    2
25    3 85    3 145    4 205    4 265    2 325    6
26    2 86    3 146    3 206    7 266    3 326    5
27    3 87    3 147    5 207    3 267    3 327    4
28    3 88    2 148    6 208    6 268    6 328    3
29    5 89    5 149    3 209    5 269    4 329    3
30    3 90    3 150    1 210    3 270    4 330    3
31    3 91    7 151    5 211    2 271    5 331    3
32    5 92    3 152    4 212    4 272    3 332    2
33    2 93    1 153    6 213    5 273    5 333    5
34    3 94    3 154    6 214    6 274    6 334    5
35    3 95    5 155    3 215    3 275    5 335    5
36    1 96    4 156    3 216    2 276    5 336    3
37    3 97    3 157    4 217    3 277    5 337    7
38    1 98    2 158    3 218    3 278    3 338    4
39    1 99    4 159    4 219    4 279    3 339    4
40    2 100    4 160    4 220    6 280    2 340    5
41    4 101    3 161    5 221    3 281    6 341    6
42    4 102    2 162    4 222    4 282    4 342    6
43    4 103    3 163    3 223    4 283    4 343    5
44    3 104    2 164    2 224    4 284    6 344    4
45    2 105    3 165    3 225    5 285    4 345    6
46    4 106    1 166    6 226    3 286    5 346    3
47    2 107    8 167    4 227    3 287    5 347    2
48    1 108    3 168    3 228    7 288    3 348    5
49    2 109    4 169    3 229    4 289    3 349    4
50    3 110    4 170    3 230    2 290    6 350    3
51    4 111    4 171    3 231    6 291    6 351    4
52    2 112    3 172    2 232    5 292    5 352    4
53    4 113    3 173    4 233    8 293    6
54    2 114    2 174    3 234    3 294    2
55    4 115    5 175    3 235    5 295    4
56    2 116    4 176    2 236    2 296    3
57    3 117    4 177    3 237    3 297    7
58    2 118    3 178    3 238    3 298    4
59    2 119    4 179    5 239    5 299    3
60    3 120    1 180    3 240    3 300    6

yangchuanju · 发表于 2023-6-15 09:24

有一些清一色数只有一个φ因子，称为唯一φ因子，或称唯一周期素数，
A292104给出19唯一φ因子具体数字：
1 11
2 101
3 9091
4 9901
5 909091
6 1111111111111111111
7 11111111111111111111111
8 99990001
9 999999000001
10 909090909090909091
11 900900900900990990990991
12 9999999900000001
13 909090909090909090909090909091
14 900900900900900900900900900900990990990990990990990990990991
15 9090909090909090909090909090909090909090909090909091
16 100009999999899989999000000010001
17 909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909091
18 10000099999999989999899999000000000100001
19 999999999999990000000000000099999999999999000000000000009999999999999900000000000001

yangchuanju · 发表于 2023-6-15 09:25

A138940给出102个具有唯一φ因子的清一色数字的指数：
1 2 21 320 41 2232 61 15456 81 68102 101 180683
2 4 22 385 42 2264 62 18668 82 70842 102 198552
3 10 23 586 43 2667 63 18827 83 73094
4 12 24 597 44 3750 64 18910 84 73808
5 14 25 654 45 3903 65 19240 85 77077
6 19 26 738 46 3927 66 20644 86 79710
7 23 27 945 47 4274 67 23664 87 82360
8 24 28 1031 48 4354 68 23912 88 86453
9 36 29 1172 49 5877 69 24174 89 88676
10 38 30 1282 50 6022 70 26570 90 92092
11 39 31 1404 51 6135 71 32481 91 92712
12 48 32 1426 52 6437 72 36630 92 100480
13 62 33 1452 53 6522 73 40120 93 103248
14 93 34 1521 54 6682 74 47184 94 109297
15 106 35 1752 55 8696 75 47468 95 141230
16 120 36 1812 56 9550 76 47498 96 145878
17 134 37 1836 57 10887 77 49081 97 157825
18 150 38 1844 58 13092 78 52062 98 159495
19 196 39 1862 59 13370 79 55601 99 175364
20 317 40 2134 60 14714 80 59772 100 177231

yangchuanju · 发表于 2023-6-15 09:26

整个清一色数表中，唯一φ因子有小有大，是波动式的增大的，
但A051627给出99唯一φ因子一路增大（记录）的指数值，
1 1 21 134 41 1862 61 13092 81 79710
2 2 22 294 42 1844 62 13370 82 32481
3 3 23 196 43 1521 63 6437 83 70842
4 4 24 320 44 2134 64 14714 84 47468
5 10 25 654 45 3750 65 10887 85 73094
6 12 26 738 46 1031 66 19240 86 92712
7 9 27 385 47 2264 67 23664 87 82360
8 14 28 586 48 2667 68 18910 88 73808
9 24 29 317 49 4354 69 24174 89 92092
10 36 30 597 50 3927 70 18668 90 68102
11 48 31 1404 51 4274 71 36630 91 103248
12 38 32 945 52 6522 72 20644 92 88676
13 19 33 1452 53 3903 73 23912 93 100480
14 23 34 1836 54 6022 74 26570 94 55601
15 39 35 1752 55 6682 75 40120 95 145878
16 62 36 1172 56 6135 76 47184 96 49081
17 120 37 1812 57 9550 77 52062 97 141230
18 150 38 1282 58 5877 78 18827 98 77077
19 106 39 1426 59 15456 79 59772 99 198552
20 93 40 2232 60 8696 80 47498

yangchuanju · 发表于 2023-6-15 09:26

A040017给出47个一路增大的唯一φ因子具体数值（30以后略）：
1  3
2  11
3  37
4  101
5  9091
6  9901
7  333667
8  909091
9  99990001
10  999999000001
11  9999999900000001
12  909090909090909091
13  1111111111111111111
14  11111111111111111111111
15  900900900900990990990991
16  909090909090909090909090909091
17  100009999999899989999000000010001
18  10000099999999989999899999000000000100001
19  9090909090909090909090909090909090909090909090909091
20  900900900900900900900900900900990990990990990990990990990991
21  909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909091
22  142857157142857142856999999985714285714285857142857142855714285571428571428572857143
23  999999999999990000000000000099999999999999000000000000009999999999999900000000000001
24  99999999999999999999999999999999000000000000000000000000000000009999999999999999999999999999999900000000000000000000000000000001
25  1098901098901098901098901098901098901098901098901098901098901098901098901098901098901098901098901098901098900989010989010989010989010989010989010989010989010989010989010989010989010989010989010989010989010989010989011
26  1000999998999000001000999998999000001000999998999000001000999998999000001000999998999000001000999998999000001000999998998999000001000999998999000001000999998999000001000999998999000001000999998999000001000999998999000001000999998999000001001
27  1111099888878889001111100000000000011110998888788890011222109988887889011221109998887788901111110999878890112222210987766677901122222109888790001111110988877889000111221098887888900112221099888878889001111100000000000011110998888788890011111
28  9090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909091
29  11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
30  900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900900990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990990991

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