一条龙素数

时空伴随者

2023-06-19 11:58:11
1 811 [prime]
2 88111 [17, 71, 73]
3 8881111 [prime]
4 888811111 [29, 757, 40487]
5 88888111111 [761, 116804351]
6 8888881111111 [3637, 2444014603]
7 888888811111111 [17, 52287577124183]
8 88888888111111111 [prime]
9 8888888881111111111 [21121, 2310703, 182133097]
10 888888888811111111111 [73, 199, 1019, 60047835451547]
11 88888888888111111111111 [97, 4435384931, 206606712173]
12 8888888888881111111111111 [prime]
13 888888888888811111111111111 [136751, 6500054031698569744361]
14 88888888888888111111111111111 [349, 6216389, 125232773, 327164271787]
15 8888888888888881111111111111111 [263, 419, 17341, 4651612917273298261543]
16 888888888888888811111111111111111 [122004163, 285738631, 25497867975097387]
17 88888888888888888111111111111111111 [151, 9497, 31151, 28419435089, 70015897228967]
18 8888888888888888881111111111111111111 [17, 73, 421334260268705924117699725606063]
19 888888888888888888811111111111111111111 [306739, 3812283667, 760139448972371996242447]
20 88888888888888888888111111111111111111111 [34057, 560422251408630631, 4657208889046396633]
21 8888888888888888888881111111111111111111111 [prime]
22 888888888888888888888811111111111111111111111 [349, 2141, 1189612128452533212111753352958959422479]
23 88888888888888888888888111111111111111111111111 [17, 5228758169934640522875771241830065359477124183]
24 8888888888888888888888881111111111111111111111111 [59, 67733, 2224309180310648688354068482531512969821713]
27 8888888888888888888888888881111111111111111111111111111 [prime]
36 8888888888888888888888888888888888881111111111111111111111111111111111111 [prime]
56 88888888888888888888888888888888888888888888888888888888111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 [prime]
75 8888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888881111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 [prime]
158 88888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 [prime]
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用时 19.65703 秒

yangchuanju

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yangchuanju

时空伴随者 发表于 2023-6-19 11:55
2023-06-19 11:58:11
1 811
2 88111 [17, 71, 73]

蔡家雄先生认为，某些一条龙素数都有原根10，如23333型。
已知30万以内，有30个这样的素数：
（7*10^n-1)/3                                   n=0,1,2,3,4,10,16,22,53,91,94,106,138,210,282,522,597,1049,2227,6459,10582,18895,41269,50702,53185,59796,101395,116514,137551,153116
谁能证明它们都有原根10？
【第一个素数n=0时为2，无原根，可认为是个例外，不予考虑；第2个素数23，第3个素数233确实是有原根10的。】
即使这30个素数都有原根10，那么30万以后的31#、32#、……也都有原根10吗？

蔡老师，22223型素数也都有原根10吗？（223有原根10）
已知100万以内，有27个22223型素数，表达式(2*10^n+7)/9 ，                          
其中的n=1,2,3,8,11,36,95,101,128,260,351,467,645,1011,1178,1217,2442,3761,3806,15617,26459,63117,88545,93497,181457,202059,262874

请时空伴随者老师算一算10究竟是不是23333,22223两类素数的原根，谢谢！

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2023-6-18 21:28
12221,73337,94449,95559,97779五类平坦数中为什么没有素数：
12221,73337,97779型总含有11，没有素数很好 ...

94449型数字的代数式是(85*10^x+41)/9，
当x是奇数时，总含有素因子11；
当x是2,8,14……模6余2的偶数时总含素因子13；
当x是4,10,16……模6余4的偶数时总含素因子3；
当x是6,12,18……模6余0的偶数时总含素因子7；
故在94449型数字之中没有素数。

同样，95559型数字的代数式是(86*10^x+31)/9，
当x是奇数时，总含有素因子11；
当x是2,8,14……模6余2的偶数时总含素因子7；
当x是4,10,16……模6余4的偶数时总含素因子3；
当x是6,12,18……模6余0的偶数时总含素因子13；
故在95559型数字之中也没有素数。

status        x        digits        number
FF        2        3        949=13×73
FF        4        5        94449=3×19×1657
FF        6        7        9444449=7×1349207
FF        8        9        944444449=13×151×481123
FF        10        11        94444444449<11>=3^3×29×73×337×4903
FF        12        13        9444444444449<13>=7×103×127×103142447
FF        14        15        944444444444449<15>=13×617×216509×543841
FF        16        17        94444444444444449<17>=3×131×277×8761×99026269
FF        18        19        9444444444444444449<19>=7^2×73×2640325536607337<16>
FF        20        21        944444444444444444449<21>=13×173×1193×28649×64709×189877
FF        22        23        94444444444444444444449<23>=3×19×9829×245591993×686401181
FF        24        25        9444444444444444444444449<25>=7×3925637×192037493×1789708127<10>
FF        26        27        944444444444444444444444449<27>=13×73×379×5413×556441×871793937043<12>
FF        28        29        94444444444444444444444444449<29>=3^2×31×74257×4558634924173034261783<22>
FF        30        31        9444444444444444444444444444449<31>=7×43×227×138224193136599652325500087<27>
FF        32        33        944444444444444444444444444444449<33>=13^2×5588428665351742274819197896121<31>
FF        34        35        94444444444444444444444444444444449<35>=3×73×431253170979198376458650431253171<33>
FF        36        37        9444444444444444444444444444444444449<37>=7×10753×80233×1563852177684856389603750143<28>
FF        38        39        944444444444444444444444444444444444449<39>=13×29×83×30182622621343020179746394952045139<35>
FF        40        41        94444444444444444444444444444444444444449<41>=3×19×4909851267967<13>×337468486832348179334378071<27>
FF        42        43        9444444444444444444444444444444444444444449<43>=7×73×659×4691×7417×335161×3824827×628797947771799989<18>
FF        44        45        944444444444444444444444444444444444444444449<45>=13×389×630436160429<12>×296239077935453546504154422533<30>
FF        46        47        94444444444444444444444444444444444444444444449<47>=3^2×103×181×1427×394451974323806770097199662875726567601<39>
FF        48        49        9444444444444444444444444444444444444444444444449<49>=7×2003×6043×11393×9783781280312374493856353946801167831<37>
FF        50        51        (10^50*85+41)/9<51>=13×73×995199625336611637981500995199625336611637981501<48>
FF        52        53        (10^52*85+41)/9<53>=3×179400743×175481332769516353014666619755758098958829181<45>
FF        54        55        (10^54*85+41)/9<55>=7×127×197×25188689×76863217867<11>×27853790366228959716196903901231<32>
FF        56        57        (10^56*85+41)/9<57>=13×219083×3316075307...31<51>
FF        58        59        (10^58*85+41)/9<59>=3×19×31×73×7321785585...39<54>
FF        60        61        (10^60*85+41)/9<61>=7^2×10463×9558847×14476531×133123306476728723443533578937363913695211<42>
FF        2        3        959=7×137
FF        4        5        95559=3×53×601
FF        6        7        9555559=13×735043
FF        8        9        955555559=7×71×499×3853
FF        10        11        95555555559<11>=3^2×137×971×79813
FF        12        13        9555555555559<13>=13×953×771293531
FF        14        15        955555555555559<15>=7×31091×4390593307<10>
FF        16        17        95555555555555559<17>=3×79×2377×100271×1691621
FF        18        19        9555555555555555559<19>=13×23×137×412397×565651169
FF        20        21        955555555555555555559<21>=7×1481×4111×83621×268126667
FF        22        23        95555555555555555555559<23>=3×31851851851851851851853<23>
FF        24        25        9555555555555555555555559<25>=13×181×683×5945841267747385541<19>
FF        26        27        955555555555555555555555559<27>=7×137×996408295678368671069401<24>
FF        28        29        95555555555555555555555555559<29>=3^2×10617283950617283950617283951<29>
FF        30        31        9555555555555555555555555555559<31>=13×53×1151×1012433×11901319212619532057<20>
FF        32        33        955555555555555555555555555555559<33>=7^3×2785876255264010366051182377713<31>
FF        34        35        95555555555555555555555555555555559<35>=3×137×269×680917×1269309886911683745999253<25>
FF        36        37        9555555555555555555555555555555555559<37>=13×4327×8377×20278563117599393949958084717<29>
FF        38        39        955555555555555555555555555555555555559<39>=7×2759711×49464576728482260619502526354367<32>
FF        40        41        95555555555555555555555555555555555555559<41>=3×23^2×97×733×857×26657159×37068808078977243573839<23>
FF        42        43        9555555555555555555555555555555555555555559<43>=13×79×137×7907×8589209430304727581658945631055063<34>
FF        44        45        955555555555555555555555555555555555555555559<45>=7×7939682747<10>×17193122301960475038173201772130771<35>
FF        46        47        95555555555555555555555555555555555555555555559<47>=3^5×3677×1713977497<10>×3016320470621<13>×20685853332412641437<20>
FF        48        49        9555555555555555555555555555555555555555555555559<49>=13×126827×5795632909733219604146141870758868716716809<43>
FF        50        51        (10^50*86+31)/9<51>=7×137×28559137×34889299900006385734603990183887408025273<41>
FF        52        53        (10^52*86+31)/9<53>=3×503×2671×4231×28004987×200084945481250994063987036660749273<36>
FF        54        55        (10^54*86+31)/9<55>=13×659×3163×831653×424019495046996470822045139704284257899143<42>
FF        56        57        (10^56*86+31)/9<57>=7×53×59×137924851264327<15>×2307318530134132079<19>×137176570913438783407<21>
FF        58        59        (10^58*86+31)/9<59>=3×67×137×3470078641...07<55>
FF        60        61        (10^60*86+31)/9<61>=13^2×3311211513061<13>×17075849315700156640886599930538474669354369251<47>

时空伴随者

yangchuanju 发表于 2023-6-19 14:42
蔡家雄先生认为，某些一条龙素数都有原根10，如23333型。
已知30万以内，有30个这样的素数：
（7*10^n- ...

2023-06-19 16:01:24
10 不是(7*10^3-1)/3的原根
10 不是(7*10^4-1)/3的原根
10 不是(7*10^10-1)/3的原根
10 不是(7*10^16-1)/3的原根
10 不是(7*10^22-1)/3的原根
10 不是(7*10^53-1)/3的原根
10 不是(7*10^91-1)/3的原根
10 不是(7*10^94-1)/3的原根
10 不是(7*10^106-1)/3的原根
10 不是(7*10^138-1)/3的原根
10 不是(7*10^210-1)/3的原根
10 不是(7*10^282-1)/3的原根
10 不是(7*10^522-1)/3的原根
10 不是(7*10^597-1)/3的原根
10 不是(7*10^1049-1)/3的原根
10 不是(7*10^2227-1)/3的原根

时空伴随者

yangchuanju 发表于 2023-6-19 14:42
蔡家雄先生认为，某些一条龙素数都有原根10，如23333型。
已知30万以内，有30个这样的素数：
（7*10^n- ...

2023-06-19 16:10:38
10是(2*10^2+7)/9的原根
10是(2*10^3+7)/9的原根
10是(2*10^8+7)/9的原根
10是(2*10^11+7)/9的原根
10是(2*10^36+7)/9的原根
10是(2*10^95+7)/9的原根
10是(2*10^101+7)/9的原根
10是(2*10^128+7)/9的原根
10是(2*10^260+7)/9的原根
10是(2*10^351+7)/9的原根
10是(2*10^467+7)/9的原根
10是(2*10^645+7)/9的原根
10是(2*10^1011+7)/9的原根
10是(2*10^1178+7)/9的原根
10是(2*10^1217+7)/9的原根
10是(2*10^2442+7)/9的原根
10是(2*10^3761+7)/9的原根
10是(2*10^3806+7)/9的原根
除了n=1外，其他好像都是原根， 后面数字太大没演算完。

yangchuanju

时空伴随者 发表于 2023-6-19 16:00
2023-06-19 16:01:24
10 不是(7*10^3-1)/3的原根
10 不是(7*10^4-1)/3的原根

谢谢老师！
22223和23333的两类一条龙素数的原根问题弄串了，特表歉意！

素数2333循环节582，
素数23333循环节11666，
10都不是它们的原根。

素数23循环节22，
素数223循环节222，
素数233循环节232，
10都是它们的原根。

合数2223=3*3*13*19，循环节18。

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2023-6-17 19:08
在上一楼帖子中的表达式中，并不是n取任何值都是素数，只有少数一些n才对应者素数。
形式        范围（以内）        素 ...

涉及 repunit(111…1清一色数）的素数（XwY型），X*repunit*10+Y（即 X...XY 形式，A 数在下面标记为 (X,Y)）：
A004023(1,1)、A056654(1,3)、A056655(1,7)、A056659 (1,9)、
A056660(2,1)、A056656(2,3)、A056677(2,7)、A056678(2,9)、
A055520(3,1)、A056680(3,7)、A056681(4,1)、A056661(4,3)、A056682(4,7)、A056683(4,9)、
A056684(5,1)、A056685(5,3)、A056686(5,7)、A056687(5,9)、
A056658(6,1)、A056657(6,7)、A056688(7,1)、A056689(7,3)、A056693(7,9)、
A056664(8,1)、A056694(8,3)、A056695(8,7)、A056663(8,9)、A056696(9,1)、A056662(9,7)。
涉及 repunit 的素数（XYw型），X*10^n+Y*repunit（即 XY...Y 形式，A 数在下面标记为 (X,Y)）：
A004023(1,1)、A056698(1,3)、A089147(1,7 )、A002957(1,9)、
A056700(2,1)、A056701(2,3)、A056702(2,7)、A056703(2,9)、
A056704(3,1)、A056705(3,7)、A056706(4,1)、A056707( 4,3)、A056708(4,7)、A056712(4,9)、
A056713(5,1)、A056714(5,3)、A056715(5,7)、A056716(5,9)、
A056717(6,1)、A056718(6,7)、A056719(7,1)、A056720(7,3)、A056721(7,9)、
A056722(8,1)、A056723(8,3)、A056724(8,7)、A056725(8,9)、A056726(9,1)、A056727(9,7)。

yangchuanju

2、3和23都是普通型素数，
2,23,233,2333,23333……；3,23,223,22222223，……可称为一条龙素数。
A056701给出30个23333型一条龙素数之3的个数；
A056656给出24个22223型一条龙素数之2的个数；
A139067给出19个2233型前若干个2加后若干个3构成的素数；
A020458给出10000个仅有2和3构成的素数。

A056701-30
23w型素数3个数
1 0
2 1
3 2
4 3
5 4
6 10
7 16
8 22
9 53
10 91
11 94
12 106
13 138
14 210
15 282
16 522
17 597
18 1049
19 2227
20 6459
21 10582
22 18895
23 41269
24 50702
25 53185
26 59796
27 101395
28 116514
29 137551
30 153116
前8个素数是：
1 2
2 23
3 233
4 2333
5 23333
6 23333333333
7 23333333333333333
8 23333333333333333333333

yangchuanju

A056656-24
2w3型素数2个数
1 0
2 1
3 2
4 7
5 10
6 35
7 94
8 100
9 127
10 259
11 350
12 466
13 644
14 1010
15 1177
16 1216
17 2441
18 3760
19 3805
20 15616
21 26458
22 63116
23 88544
24 93496

前6个素数是：
1 3
2 23
3 223
4 22222223
5 22222222223
6 222222222222222222222222222222222223