《数论小火花》

小草

1989年3月，陆家羲妻子张淑琴代表陆家羲参加了在北京人民大会堂隆重举行的“1987年国家自然科学奖颁奖大会”，接受了中国自然科学界的最高荣誉——国家自然科学奖一等奖。陆家羲彼时却早已不在人世。他的一生是穷困的一生，却也是幸福的、纯粹的一生，因为他一直孜孜不倦地沉浸在数学的海洋里。数学的魅力是无穷的，而历经磨难达到顶峰者更是世界上最幸福的人，因为他们欣赏到了数学最高境界的美。

一支笔，几张纸，一个夜深人静时在宿舍楼道口借灯光的孤独身影。这就是挑战世界难题的全部条件。整整四年，陆家羲没有一天停止过思考，毕业时，他已经基本破解了“科克曼女生问题”。

这实在是令人惊叹的天才大脑！但谁能料到，他即将会遭遇那么多的不幸……

1961年，他把论文:《寇克曼系列和斯坦纳系列制作方法》寄给中国科学院数学研究所。一年过去了，对方回信“可以投稿”没有肯定，没有建议，就这样将他的成果搁置一边。他苦笑，只继续埋头完善论文。

1963年，他再次把修改过的论文，又投寄给《中国数学通报》。又是一年的等待，而回信只有草率的一句：建议改投其他刊物。

1965年冬，他把“寇克曼系列”推广到四元组，投给《数学学报》。又等了一年，退稿信写着：没价值！三次投稿，三次被退，他耗费多年心血的研究成果，一次次被忽视、一次次被搁浅。他没等来世界数学的宝座，却等来了一场10年浩——

“文化大革命”开始了。

期间，1966年-1976年，在极左思潮日益弥漫的时候，陆家羲被当成“疯子”，扣上了一顶走“白专道路”的帽子，送到干校进行劳动改造。这给他的精神造成了很大伤害，也使他中断了一切思考。

十年动乱，中国科学几乎停滞了，但世界并不会因此停下脚步。1971年，意大利两名数学家向全世界庄严宣布： “寇克曼系列”解决了!这枚世界数学金牌从此永远属于了意大利！意大利人将永远引以为傲！而此时的他，却浑然不知，还在傻傻等着有一天国家能把它公开。

直到1979年，当他看到了从北京借来的《组合论》杂志，他 “啊！”的一声大叫，随即泪流满面，《组合论》杂志白纸黑字的写着：寇克曼问题在国外已于1971年被破解了。破解者是意大利的数学家！

他崩溃发狂，嚎啕大哭，

这样的结果，他怎能接受？！

要知道，从1961年起，

他就已经得到了“寇克曼系列”的成果！

意大利数学家的证明比他的证明晚10年！

但却比他的论文先问世8年！

18年里，他一次次投稿，却一次次被拒，他的青春年华在等待中失去。祖国学术最好的前进岁月在时间上流失。中国问鼎世界数学巅峰的绝佳机会！就这样错过了。

18年的心血苦熬，他与“寇克曼系列”永别了！但他并没有因此一蹶不振，而是很快抬起头，望向数学王国的另一座高峰——“斯坦纳系列”。那是与陈景润“歌德巴赫猜想”，齐名的另一大世界级数学难题！他恳请校方给他多一点时间研究，但却被拒绝了！

长期高强度的脑力劳动和熬夜，使他患上神经性牙痛病，他心一横，索性拔牙。不到一年时间，满口的牙竟然都被他给拔光了……双腮塌陷，瘦的几乎脱相，妻子看他这样忍不住偷偷落泪。

终于，1980年，他完成了“斯坦纳系列”论文。他再次登上了世界数学的巅峰！他激动的目光炯炯，可神情依然肃穆。之前的经验告诉他：能发表，也许比解出这道难题更难！

稿件寄到北京，又是石沉大海！他始终活在权威部门视线的死角里，泱泱中华竟看不到这个数学王者！

论文被苏州大学的朱烈教授看到，他有一双发现天才的慧眼。朱教授找到陆家羲，建议他把论文直接寄给世界权威期刊《组合论》。

1982年5月，陆家羲收到了正式出版通知与版权签约书。1983年3月，陆家羲的前3篇论文正式发表；4月，后3篇论文一并发表。至此，独自闪耀了130多年的“斯坦纳系列”明珠，被中国的陆家羲最先摘取了！

马上，他把相关6篇论文相继寄往美国，仅仅一个月，他就收到了全部回信。一个月啊！在这一个月的时间里，他的学术论文经过中国、美国、加拿大，又从美国返回中国，五段跨国旅程，仅仅用了一个月。相比之前每封信都要等一年的时间，这简直就像是奇迹！

多伦多大学门德尔松教授在信中写：“这是世界上20 多年来，组合设计方面最重大的成果之一。”捧着这篇信纸，他闭上眼睛紧抿着嘴唇，泪水无声的簌簌而下。

1982年5月，他做了一个重要决定：接受哥伦比亚大学的版权签约书，不收取任何报酬。消息传出，各种声音纷至沓来，有人劝他：何不等等？还有机会取得报酬。有人酸溜溜的讽刺：让外国人发表，就是不爱国。但这些声音他统统不在意：决不能让“寇克曼系列”的悲剧重演。

《组合论》杂志

之后的1983年1月，《组合论》杂志给与他的论文极高评价；3月，他的三篇论文出版，撼动了世界组合学领域；4月，《组合论》杂志发表系列论文，他的名字彻底响彻了西方数学界......但讽刺的是，国内竟还对他一无所知！

中国有关单位向加拿大门德尔松教授，和滑铁卢大学郝迪教授发出邀请，请他们到中国讲学，他们却感到十分吃惊。门德尔松惊讶地问道:“请我去讲组合数学？可你们中国不是有陆家羲博士吗？”外国人的话好像特别有分量，主办方马上邀请他参加学术会议。他奋斗半生未能摸进中国科研大门，如今竟被门德尔松这一句话，实现了。

终于，他被自己的国家、自己的同胞看见了。可中国的彗星，为什么偏要等外国人推荐后才被重视呢？！

但即使他已名扬世界，包头九中和教育局领导却不知道。就连参加学术会议的400元路费都是他妻子筹借的。

7月25日，中国首届组合数学学术讨论会在大连开幕。加拿大门德尔松先生向他提出邀请，请他到多伦多大学工作。他婉言谢绝了，说:“我国组合学还不发达，我要留在祖国。”门德尔松笑了，钦佩的望着他，还把多伦多大学的校徽赠给了他。

会议中，他以特邀代表的身份走上讲台，用中文向全世界数学界宣布：我已经证明了“斯坦纳系列”! 顿时，全场沸腾了！

会后，无数惜才的手伸向他:中国应用数学研究所副所长，推荐他到合肥讲学；

华南师院、华中师大、兰州大学、大连工学院、哈工大、黑龙江大学邀请他到本校任教；内蒙古大学陈子歧副教授连拉带劝:“还是留在内蒙大学的好！”这颗金子，终于被人发现了，但并非所有人都发现了......

9 月，包头市九中校长，收到了来自多伦多大学的一封信。斯特兰格威校长和门德尔松教授，诚恳的邀请他去加拿大讲学，这两个外国学者，爱惜人才就像爱惜钻石，不论国界。但九中校长却对此不屑一顾“又不会提高升学率！去什么去？”

1983年，是他几乎被累垮的一年。数学研究、论文发表，教课任务……

他忙着整理讲学稿，忙着思考“斯坦纳系列”完稿论文。连鞋子露出了脚趾头，他都不舍得再去买一双。他明白，时间和金钱他都浪费不起！

武汉会议结束后，他强撑着疲惫不堪的身躯回到家，把衣兜里舍不得吃的桔子，拿出来分给女儿们，便一头栽倒在床，累的再也起不来。妻子帮他盖好被子，他虚弱的勉强挤出一丝笑容，就闭上了眼睛。而所有人都没想到，这个微笑竟是他最后的告别！

1983年10月31日凌晨一点，他永远的离开了。那一年，他才刚刚48岁。他走的太早、太寒碜，躺在土坑上，依然穿着那双露着脚趾头的鞋。一句遗言都没有留，只留下了15箱书和400多元外债，再就是抽屉里尚未完成的，“斯坦纳系列”最后一篇论文。

在他去世当天，妻子收到中国科学院寄来的45元钱。其中28元是从大连到合肥的路费；9元是他买的一部数学新作报销款；剩下的8元，是他为人代审稿件的酬劳。他一生中唯一从出版部门换来的报酬,就是这8元!

他死了，死的一贫如洗，死的不声不响。包头市新市委、市政府的领导同志来了；中国数学学会内蒙古分会主席来了；内蒙古师范大学数学系主任来了；好友和学生们恸哭着走向他……

斯特兰格威校长发来唁电:“门德尔松教授和我对此非常沉痛，这对世界数学无疑将是极大的损失……”12月，《人民日报》、《光明日报》、《文汇报》、《内蒙古日报》，同时刊登了他的讣闻。《人民日报》报道的标题是：“拚博20 多年，耗尽毕生心血，中学教师陆家羲攻克世界难题斯坦纳系列。”

1984年9月，中国组合数学学会组织了“陆家羲学术工作评审委员会”，对他一生的研究成果给予了高度评价。

1984年底，曾“拒绝”过陆家羲的《数学学报》，终于全文刊发了他于23年前投出的，那篇关于“科克曼女生问题”的论文。

1987年，陆家羲的《不相交的斯坦纳三元系大集》研究成果，被国家科委评为国家自然科学一等奖。



他走的不甘、走的憋屈，他解开了世界性数学难题，但却留下了一道更难的现实问题给我们：为什么会出现“寇克曼系列”的悲剧？为什么会有英才早逝的遗憾？

而今，那个时代早已成为历史，他的名字仍旧被很多人所遗忘！世人皆知陈景润的“哥德巴赫猜想”，但如今又有多少人知道，他曾为祖国作出的巨大贡献与牺牲？！这样的默默英才，我们怎能忘记？

陆家羲的研究，究竟有什么价值、地位如何，在数学界自有判断，我们不做过多的评价。但是，价值绝不和经济效益划等号。哪怕陆家羲没有作出直接贡献、没有产生具体价值，单单只是挑战了人类智慧的极限，难道还不值得敬佩、不值得保护吗？

在陆家羲的故事中，我们看到了民族自信的缺乏，我们不仅需要提升对五千年灿烂中华文明的自信，更需要对现在和未来的科学自信。会念经的不是外来和尚，也许就在山后的破庙里。最大的珍珠不在深海，也许就在河边的滩涂中。我们中国历来不缺乏人才和天才，缺乏的是发现人才和天才的眼睛，以及培养、扶持、保护他们的机制。

假设，没有国际期刊的公开发表，没有国外学者的主动提及，或许陆家羲这个土生土长的天才将会一直贫病交加，终其一生都被埋没。如何避免这种“墙内开花墙外香，错把朱砂当红土”的悲剧再次发生，才是我们最应该思考的。

他的逝去鞭策激励着后辈的努力。他走了，但他的精神永不散。

千年中华，雄姿沃土；

逝者一问，纵今穿古。

2020年，正值陆家羲逝世37周年的祭日，让我们向这位伟大的科学家致以崇高的敬意。

小草

欧拉Γ(s)函数


Γ(s)=1/sΠ(1+1/n)^s/1+s/n
Γ(s)=∫x^s-1e^-x(dx)
sΓ(s)=Γ(s+1)
Γ(n+1)=n!
Γ(s)Γ(1-s)=π/sin(πs)
Γ(s)Γ(s+1/2)=√π2^1-2sΓ(2s)
Γ(1/2s)π^-s/2

欧拉能构造出这样一个函数，那正是一个数神。


黎曼ζ(s)函数

ζ(s)=1/Γ(s)∫x^s-1/(e^x)-1dx

黎曼能构造出这样一个函数，那正是一个数神之子。

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π(x)值与x/lnx,Li(x),R(x)的比较
其中R(x）是黎函数
      R(x)=∑[n=_1,^∞]μ(n)Li(x^1/n)/n


x   【】π(x)   【】(x/lnx)-π(x)【】Li(x)-π(x)【】R(x)-π(x)

10^8【】5761455【】-332774     【】754       【】97
10^9【】50847534【】-2592592   【】1701      【】-79
10^10【】455052511【】-20758030【】3104      【】-1828
10^11【】4118054813【】-169923160【】11588   【】-2318
10^12【】37607912018【】-1416705193【】38263 【】-1476
10^13【】346065536839【】-11992858452【】108971【】-5773
10^14【】3204941750802【】-102838308636【】314890【】-19200
10^15【】29844570422669【】-891604962453【】1052619【】73218
10^16【】279238341033925【】-7804289844393【】3214632【】327052
10^17【】2623557157654233【】-68883734693929【】7956589【】-598255
10^18【】24739954287740860【】-612483070893537【】21949555【】-3501366
10^19【】234057667276344607【】-5481624169369961【】99877775【】23884333
10^20【】2220819602560918840【】-49347193044659702【】222744643【】-4891825
10^21【】21127269486018731928【】-446579871578168707【】597394254【】-86432204

小草

这里π(x)=x/a,x/lnx,Li(x)=x/b,R(x)=x/c
它们的最终去向都是同一个站点，是同一个终点站。
而这里面π(x)是终点站。x/lnx是普通公交车，Li(x)是豪华公交车，R(x)是豪华小轿车。
虽然Li(x)特别是R(x)计算精度较高，但计算复杂，特别耗时。
经过一番考量，我们最终选择了普通公交车x/lnx.
因为我们还可以利用系数λ来达到平衡的目的。以10^8为例：
10^8/ln10^8=5428681,我们利用λ=1.061299236407517774575444753523，使得
1.061299236407517774575444753523*10^8/ln10^8=π(x)=5761455.

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2C2=1.3203236316937400

9√18C=1.3165455165540338955695137279859
10√20C=1.2943986152317356820743316315192
11√22C=1.2753899998576349140152604841772

能否有一个适合呢？

小草

Li(x)完全可以进行级数展开.根据分部积分法有
          Li(x)=Σ1,k  ck x/(lnx)^k,其中ck=k-1!
          ∫2,x  1/(lnx)^2 =Σ2,k  ck x/(lnx)^k,其中ck=k-1!

小草

素数筛法：
因为π(x)与x的根号中的素数有关，因此设素数有p1,p2,p3,...,pn个.
设x^2=x^θ1+x^θ2,其中x^θ1是非素数个数表g(x^2)，x^θ2是素数个数
表π(x^2).
当x^2=p1^2时,2^2=g(2^2)+π(2^2).
g(2^2)=2^1,π(2^2)=2^1,当x大于2时设g(x^2)=偶数个数，π(x^2)=奇数个数.则g(x^2)=2^1+a1,π(x^2)=2^1+b1.
当x^2=p2^2时
令a1=Δ1,b1=δ1,此时a1,b1是不定数，Δ1,δ1是定数.
p2^2=g(3^2)+π(3^2).
g(3^2)=1^1+Δ1+a2,π(3^2)=3^1+δ1+b2
当x^2=p3^2时
令a2=Δ2,b2=δ2,此时a2,b2是不定数，Δ2,δ2是定数.
p3^2=g(5^2)+π(5^2).
g(5^2)=1^1+Δ1+Δ2+a3,π(2^2)=2^1+δ1+δ2+b3.
.
.
.
当x^2=pk^2时
令a1=Δ1,a2=Δ2,a3=Δ3,...,an=Δn,
令b1=δ1,b2=δ2,b3=δ3,...,bn=δn,
此时ak,bk是不定数，Δk,δk是定数.
pn^2=g(pn^2)+π(pn^2).
g(pn^2)=pn^1+Δ1+Δ2+Δ3+...+an
π(pn^2)=pn^1+δ1+δ1+b3+...+bn

蔡家雄

http://www.mathchina.com/bbs/for ... 5&fromuid=45368

小草

π(2^1)=1=[2]
π(2^2)=2*1=2
maxa=2;mina=2
1.5*2=3
π(2^2)=2
[2,3]
maxb=1.5;minb=1.5
π(2^2)=2
π(2^3)=2*2=4
maxa=2;mina=2
1.66667*3≈5
1.4*5=7,
[2,3,5,7]
maxb=1.66667;minb=1.4
π(2^3)=4
π(2^4)=1.5*4=6
maxa=2;mina=1.5
1.57143*7≈11
1.18182*11≈13
[2,3,5,7,11,13]
maxb=1.57143;minb=1.18182
π(2^4)=6
π(2^5)≈1.83333*6=11
maxa=2;mina=1.83333
1.30769*13≈17
1.11765*17≈19
1.21053*19≈23
1.26087*23≈29
1.06897*29≈31
[2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31]
maxb=1.30769;minb=1.06897
π(2^5)≈1.83333*6=11
π(2^6)≈1.63636*11=18

小草

π(2^2)=2=2^1
π(2^3)=4=2^2
π(2^5)=11>2^3=8
π(2^6)=18>2^4=16
π(2^8)=54>2^5=32
π(2^9)=97>2^6=64
π(2^10)=172>2^7=128
π(2^11)=309>2^8=256
π(2^12)=564>2^9=512
π(2^13)=1028>2^10=1024
π(2^15)=3512>2^11=2048
π(2^16)=6542>2^12=4096
π(2^17)=12251>2^13=8192
π(2^18)=23000>2^14=16384
π(2^19)=43390>2^15=32768
π(2^20)=82025>2^16=65536
π(2^21)=155611>2^17=131072
π(2^22)=295947>2^18=262144
π(2^23)=564163>2^19=524288
π(2^24)=1077871>2^20=1048576
π(2^26)=3957809>2^21=2097152
π(2^27)=7603553>2^22=4194304
π(2^28)=14630843>2^23=8388608
π(2^29)=28192750>2^24=16777216
π(2^30)=54400028>2^25=33554432
π(2^31)=105097565>2^26=67108864
π(2^32)=203280221>2^27=134217728
π(2^33)=393615806>2^28=268435456
π(2^34)=762939111>2^29=536870912
π(2^35)=1480206279>2^30=1073741824
π(2^36)=2874398515>2^31=2147483648
π(2^37)=5586502348>2^32=4294967296
π(2^38)=10866266172>2^33=8589934592
π(2^39)=21151907950>2^34=17179869184
π(2^40)=41203088796>2^35=34359738368
π(2^41)=80316571436>2^36=68719476736
π(2^42)=156661034233>2^37=137438953472
π(2^43)=305761713237>2^38=274877906944
π(2^44)=597116381732>2^39=549755813888
π(2^45)=1166746786182>2^40=1099511627776
π(2^46)=2280998753949>2^41=2199023255552
π(2^47)=4461632979717>2^42=4398046511104
π(2^49)=17094432576778>2^43=8796093022208
π(2^50)=33483379603407>2^44=17592186044416
π(2^51)=65612899915304>2^45=35184372088832
π(2^52)=128625503610475>2^46=70368744177664
π(2^53)=252252704148404>2^47=140737488355328
π(2^54)=494890204904784>2^48=281474976710656
π(2^55)=971269945245201>2^49=562949953421312
π(2^56)=1906879381028850>2^50=1125899906842624
π(2^57)=3745011184713964>2^51=2251799813685248
π(2^58)=7357400267843990>2^52=4503599627370496
π(2^59)=14458792895301660>2^53=9007199254740992
π(2^60)=28423094496953330>2^54=18014398509481984
π(2^61)=55890484045084135>2^55=36028797018963968
π(2^62)=109932807585469973>2^56=72057594037927936
π(2^63)=216289611853439384>2^57=144115188075855872
π(2^64)=425656284035217743>2^58=288230376151711744
π(2^65)=837903145466607212>2^59=576460752303423488
π(2^66)=1649819700464785589>2^60=1152921504606846976
π(2^67)=3249254387052557215>2^61=2305843009213693952
π(2^68)=6400771597544937806>2^62=4611686018427387904
π(2^69)=12611864618760352880>2^63=9223372036854775808
π(2^70)=24855455363362685793>2^64=18446744073709551616
π(2^71)=48995571600129458363>2^65=36893488147419103232
π(2^72)=96601075195075186855>2^66=73786976294838206464
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