反转 回文 倒置数字和素数——有趣的自然数及其性质（八）

yangchuanju

再关注关注反转素数Emirps和倒置素数Bemirps

A048895给出10000个倒置素数Bemirps，根据A048895提供的信息，将前809个Bemirps素数串联起来成为一个8143位数字10611091...11688981911，它是除了1061是素数后的第一个串联素数；
在10^15以内不存在 bemirp与bemirp索引（素数编号）都是素数的bemirp素数。

4 个13位关联素数都是 Sophie Germain素数的 Bemirp 为 1161880189181、1191880186181、1819810881611、1816810881911。
1161880189181 is prime
1191880186181 is prime
1819810881611 is prime
1816810881911 is prime
(p-1)/2
580940094590=2*5*39047*1487797
595940093090=2*5*23*3037*853159
909905440805=5*53*4057*846341
908405440955=5*31247*5814353
2p+1
2323760378363 is prime
2383760372363 is prime
3639621763223 is prime
3633621763823 is prime

yangchuanju

A048054给出1-13位可逆素数 (emirps) 的数量：
4, 9, 43, 204, 1499, 9538, 71142, 535578, 4197196, 33619380, 274932272, 2294771254, 19489886063

A003684给出1-9位具有不同数字的可逆素数 (emirps) 的数量：
4, 8, 22, 84, 402, 1218, 3572, 8218, 11804
A048054中的2位emirps包括素数11，但A003684不包括素数11。

没有找到10^n以内Bemirps倒置素数的数量表，只能从A048895给出的Bemirps倒置素数表反求出来：4个一组都是素数
1位——0个；1-2位——0个；1-3位——0个；
1-4位——4个（一组）；1-5位——8个（4,5位各一组）；
1-6位——12个（4,5,6位各一组）；1-7位——20个（7位2组）
1-8位——56个（8位9组）；1-9位——188个；1-10位——468个；
1-11位——1532个；1-12位——5164个；1-13位——？
简写为
0，0，0，4，8，12，20，56，188，468，1532，5164，……

yangchuanju

连续的可逆素数（emirps 反转素数）
A048052
Start of the first occurrence of n consecutive reversible primes (emirps).
n 个连续可逆素数 (emirps) 第一次出现的开始。
2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 727, 1193, 1193, 1477271183, 9387802769, 15423094826093

A(1)=2——最小的emirps素数，连续1个就是2；
A(2)=2——最小的连续2个emirps素数就是2,3；
A(3)=2——最小的连续3个emirps素数就是2,3,5；
A(4)=2——最小的连续4个emirps素数就是2,3,5,7；
A(5)=2——最小的连续5个emirps素数就是2,3,5,7,11；
A(6)=2——最小的连续6个emirps素数就是2,3,5,7,11,13；
A(7)=2——最小的连续7个emirps素数就是2,3,5,7,11,13,17；
A(8)=727——最小的连续8个emirps素数是727,733,739,743,751,757,761,769；
A(9)=1193——最小的连续9个emirps素数是1193,1201,1213,1217,1223,1229,1231,1237,1249；

A040104前十个连续素数是 emirps：
1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1249, 1259

A048051首次出现 11 个连续且可逆的素数 (emirps)
1477271183, 1477271249, 1477271251, 1477271269, 1477271291, 1477271311, 1477271317, 1477271351, 1477271357, 1477271381, 1477271387

A048053   12 个连续可逆素数 (emirps) 的最小序列
9387802769, 9387802807, 9387802817, 9387802861, 9387802867, 9387802873, 9387802909 , 9387802937, 9387802939, 9387802973, 9 387802987, 9387803003

yangchuanju

A345528给出另一组恰n个连续可逆素数 (emirps) 第一次出现的素数
97, 13, 71, 733, 3371, 10039, 11897, 334759, 7904639, 1193, 1477271183, 9387802769, 15423094826093
A(1)=97——最小的emirps素数，恰1个就是97；
A(2)=13——最小的恰连续2个emirps素数就是13,17；
A(3)=71——最小的恰连续3个emirps素数就是71,73,79；
（71、73、79 是 emirps，而前一个和下一个素数 67 和 83 不是 emirps）
A(4)=733——最小的恰连续4个emirps素数就是733,739,743,751；
（前一个727反转后还是727；后一个757反转后也还是它自己）

yangchuanju

具有7-10个连续可逆（反转）素数emirps的第一个（开始）素数

A103169
七个连续素数的开始，其数字反转也是素数。
2、727、733、1193、1201、1213、1217、11897、18719、79379、125627、334759、334771、743989、910909、920957、928429、941449、 1093571、1215079、1407181、1466533、1518863、1648553、1770829、 3170743, 3300593, 7321943, 7682687, 7755581

A103170
八个连续素数的开始，其数字反转也是素数。
727, 1193, 1201, 1213, 334759, 7904639, 7904651, 9094009, 9685771, 11875307, 12503017, 19776443, 32906869, 35414443, 37376201, 70252333, 71161309, 73694129, 77454067, 91528739, 91528777, 91528807, 93907523

A103171
九个连续素数的开始，其数字反转也是素数。
1193、1201、7904639、91528739、91528777、120890249、154984343、174625597、302706311、302706319、312700789、318629783、707 262887、756791029、777528457、777528461、778286917、778286947、923780981、924408493、924408497、958610069

A103172
十个连续素数的开始，其数字反转也是素数。
1193、91528739、302706311、777528457、778286917、924408493、1177842077、1477271183、1477271249、1801280717、1811906567、7 060718569、9338212141、9387802769、9387802807、9387802817、9427522387、9427522409、9944534927

yangchuanju

数字的各种变换操作辫异和区别（兼更正前文的不确切甚至错误的论述）

1——反转：
将一个横排（横写）的阿拉伯数字改成从右到左倒读——俗称“反转”或“可逆”。
当变换操作涉及的原数和变换后的数字都是素数时且不相同时，即是emirp，如113变成311。
反转后的数字如果与原数相同，则称为“回文——palindromic”，如果这个回文数是素数，即为回文素数。

2——旋转：
将一个横排（横写）的阿拉伯数字绕其中心点旋转180度，如果仍旧是正常的阿拉伯数字，如1061旋转180度后变成1901，这种操作称之为“旋转——rotated”。旋转180度后阿拉伯数字0,1,8还是0,1,8，但6和9旋转后变成9和6；数字2,3,4,5,7认为不能旋转。

3——反转+旋转：
将一个仅含数字0,1,8,6,9的阿拉伯数字从右到左倒读（倒排），同时绕其中心点旋转180度，可形成4个不同或相同的数字。
前面的各个帖子都将这种操作称之为“倒置”，可能欠妥。究竟如何称呼为好？

改为“颠倒”怎么样？
A048895在给出Bemirps素数时的标题是
Bemirps: primes that yield a different prime when turned upside down with reversals of both being two more different primes.
译作汉语为：Bemirps：当颠倒时产生不同素数的素数，并且两者反转为两个以上不同的素数。

如果变换涉及的4个数字都是素数，则成为Bemirps素数，如由1061左右倒排得1601，再将1061和1601旋转180度又得1901和1091两数，已查知1061,1091,1601,1901都是素数，故它们是一组Bemirps素数。
应该还有更多的数经过“反转+旋转”变换后变成不全是素数，或者有的相等有的不等，只不过这种数字没有专门名称罢了。

yangchuanju

4——水平对称数：
将一个横排（横写）的阿拉伯数字绕水平中心线垂直反转，如果反转后仍旧是正常的阿拉伯数字，如810垂直反转后还是810。
计算机字体的3垂直反转后形状不变，有时也把3归进去。其余数字2,4,5,6,7,9不能进行反转操作。这种数字称之为“水平对称数——Horizontally symmetric numbers”

A007284给出5万个水平对称数，最小的一些数是：
0, 1, 3, 8, 10, 11, 13, 18, 30, 31, 33, 38, 80, 81, 83, 88, 100, 101, 103, 108, 110, 111, 113, 118, 130, 131, 133, 138, 180, 181, 183, 188, 300, 301, 303, 308, 310, 311, 313, 318, 330, 331, 333, 338, 380, 381, 383, 388, 800, 801, 803, 808, 810, 811, 813, 818……

其中有不少素数，如3,11,13,31,83,101,103,113……

A125308给出1万个水平对称素数，最小的一些素数是：
3, 11, 13, 31, 83, 101, 103, 113, 131, 181, 311, 313, 331, 383, 811, 881, 883, 1013, 1031, 1033, 1103, 1181, 1301, 1303, 1381, 1801, 1811, 1831, 3001, 3011, 3083, 3181, 3301, 3313, 3331, 3803, 3833, 3881, 8011, 8081, 8101, 8111, 8311, 8803, 8831, 10103 ……
这类素数还有一个专有名字——Reflectable primes，可反射素数：沿其书写线进行镜面反射时不变的素数。必须仅包含数字 0、1、3 或 8。

yangchuanju

5——垂直对称数：
将一个横排（横写）的阿拉伯数字绕重组中心线水平反转，如果反转后仍旧是正常的阿拉伯数字，如810垂直反转后还是810。
计算机字体的2和5水平反转后变成5和2，有时也把2和5归进去。其余数字3,4,6,7,9不能进行操作反转。这种数字称之为“垂直对称数——Vertically symmetric numbers”

A053701给出1万个垂直对称数，最小的一些数是：
0, 1, 8, 11, 25, 52, 88, 101, 111, 181, 205, 215, 285, 502, 512, 582, 808, 818, 888, 1001, 1111, 1251, 1521, 1881, 2005, 2115, 2255, 2525, 2885, 5002, 5112, 5252, 5522, 5882, 8008, 8118, 8258, 8528, 8888, 10001, 10101, 10801, 11011, 11111, 11811……

其中也有不少素数，如11,101,181,15121,18181,115211,121151,151121……
这些数字绕数值中垂线反转后原数字0,1,8还是0,1,8；但2变成5，5变成2（仅适用于计算机字体），故15121仍变成15121，还是它本身，素性不变。

yangchuanju

1中的反转，数字字体没有反转，3还是3,，4还是4，……。

5中的绕中垂线反转，数字字体发生变异，2变成5、5变成2（仅适用于计算机字体），这种操作要求所有数字只能是0,1,8,2和5。

4中的绕水平轴线反转，数字2,4,5,6,7,9字体也发生变异，但0,1,8和3不变（计算机字体之3），故这种操作要求所有数字只能是0,1,3,8。

yangchuanju

与2对应的素数称为“频闪素数——Strobogrammatic primes”，这里仅使用数字0,1,8,6,9，旋转180度不变的素数。
A007597给出该类素数10000个，最小的一些频闪素数是：
11, 101, 181, 619, 16091, 18181, 19861, 61819, 116911, 119611, 160091, 169691, 191161, 196961, 686989, 688889, 1008001, 1068901, 1160911, 1180811, 1190611, 1191611, 1681891, 1690691, 1880881, 1881881, 1898681, 1908061, 1960961, 1990661, 6081809, 6100019, 6108019……