再编制几个误差贴

yangchuanju · 发表于 2023-11-20 14:20

误差1：
哪些偶数的连乘积要减2？
所有奇素数加1都是偶数，这些偶数减1都是素数，即p+1类偶数的双计哥猜数都要减2，折算成单计哥猜数减1就行了。

误差2：
哪些偶数的连乘积要加小素数对？加多少对？
设p是偶数N平方根内的一个素数，如果N-p是一个素数，在用素数p双筛时，p被筛掉，就要补加上，双计加2，单计加1；有几个这样的素数p就加几对或几个。
偶数平方根 3 5 7 小素对
2 1 — — — 0
4 2 — — — 0
6 2 — — — 0
8 2 — — — 0
10 3 7 — — 1
12 3 9 — — 0
14 3 11 — — 1
16 4 13 — — 1
18 4 15 — — 0
20 4 17 — — 1
22 4 19 — — 1
24 4 21 — — 0
26 5 23 21 — 1
28 5 25 23 — 1
30 5 27 25 — 0
32 5 29 27 — 1
34 5 31 29 — 2
36 6 33 31 — 1
38 6 35 33 — 0
40 6 37 35 — 1
42 6 39 37 — 1
44 6 41 39 — 1
46 6 43 41 — 2
48 6 45 43 — 1
50 7 47 45 43 2
52 7 49 47 45 1
54 7 51 49 47 1
56 7 53 51 49 1
58 7 55 53 51 1
60 7 57 55 53 1
62 7 59 57 55 1
64 8 61 59 57 2
66 8 63 61 59 2
68 8 65 63 61 1
70 8 67 65 63 1
72 8 69 67 65 1
74 8 71 69 67 2
76 8 73 71 69 2
78 8 75 73 71 2
80 8 77 75 73 1
82 9 79 77 75 1
84 9 81 79 77 1
86 9 83 81 79 2
88 9 85 83 81 1
90 9 87 85 83 1
92 9 89 87 85 1
94 9 91 89 87 1
96 9 93 91 89 1
98 9 95 93 91 0
100 10 97 95 93 1

yangchuanju · 发表于 2023-11-20 14:20

无小素对偶数
A244408
1 4
2 6
3 8
4 12
5 18
6 24
7 30
8 38
9 98
10 122
11 126
12 128
13 220
14 302
15 308
16 332
17 346
18 488
19 556
20 854
21 908
22 962
23 992
24 1144
25 1150
26 1274
27 1354
28 1360
29 1362
30 1382
31 1408
32 1424
33 1532
34 1768
35 1856
36 1928
37 2078
38 2188
39 2200
40 2438
41 2512
42 2530
43 2618
44 2642
45 3458
46 3818
47 3848
48 4618
49 4886
50 5372
51 5978
52 6002
53 6008
54 7426
55 9596
56 9602
57 10268
58 10622
59 11438
60 11642
61 12886
62 13148
63 13562
64 14198
65 14678
66 16502
67 18908
68 21368
69 22832
70 23426
71 23456
72 43532
73 54244
74 63274
a(74) = 63274 可能是最后一项。Oliveira e Silva 的工作表明没有更多低于 4*10^18 的项。下面最大的 p 是 p = 9781，2k = 3325581707333960528，其中 sqrt(2k) = 1823617752。 - Jens Kruse Andersen，2014 年 7 月 3 日

yangchuanju · 发表于 2023-11-20 14:23

本帖最后由 yangchuanju 于 2023-11-20 06:30 编辑

误差3：
用3筛，最大误差±2/3；用3,5筛最大误差±1.6；用3,5,7筛最大误差±2.285714；用3,5,7,11筛最大误差±5.662328；……

用前n个奇素数p1,p2,p3,…pn对一段连续偶数的奇数对筛分所产生的最大误差（猜想）
2,3,5筛最大误差1.6=8/5=2^3/5；
2,3,5,7筛最大误差2.285714=16/7=2^4/7；
2,3,5,7,11筛最大误差5.662338=62.285714/7≈2^6/11；
猜想2,3,5,7，……p筛最大误差约为2^(p/2+1/2)/p。
当p=47时，最大误差约为2^24/47=356962.0426，
误差除以47#（=614889782588491410——18位）约等于5.8053*10^(-13)，
47#的哥德巴赫猜想素数对数按比47#小3个数量级估算，误差比约为5.8*10^(-10)。
素数阶乘单哥最大误差3 两减两减后/单哥
p p# 0.66*波因*p#/ln(p#)^2 (2^(p/2+0.5)/p -2-误差3 ——
2 2 2.747407055 1.414213562 -0.666806507 -0.242703937
3 6 2.466980774 1.333333333 -0.866352559 -0.351179291
5 30 4.564258683 1.6 0.964258683 0.211262934
7 210 15.51227063 2.285714286 11.22655634 0.723721021
11 2310 90.36915589 5.818181818 82.55097408 0.91348617
13 30030 723.2392668 9.846153846 711.393113 0.983620699
17 510510 8069.989858 30.11764706 8037.872211 0.996020113
19 9699690 108359.5932 53.89473684 108303.6985 0.999484174
23 223092870 1828666.705 178.0869565 1828486.618 0.99990152
29 6469693230 39822267.28 1129.931034 39821135.35 0.999971575
31 2.0056E+11 962271722.2 2114.064516 962269606.2 0.999997801
37 7.42074E+12 28240741781 14169.94595 28240727609 0.999999498
41 3.0425E+14 9.37803E+11 51150.04878 9.37803E+11 0.999999945
43 1.30828E+16 3.33599E+13 97541.95349 3.33599E+13 0.999999997
47 6.1489E+17 1.31561E+15 356962.0426 1.31561E+15 1

yangchuanju · 发表于 2023-11-20 17:31

本帖最后由 yangchuanju 于 2023-11-20 22:04 编辑

7楼和13楼对连乘积筛分法的误差3给出两种截然不同的估计，是不同的统计方法造成的：

其中13楼的误差估计值是对至少一个连续的含p#/2个偶数的数域进行筛分得到的最大误差，例用素数3,5,7联筛，至少要统计210/2=105个连续偶数，或者105k个连续偶数，误差最大值是±2.285714=±2^4/7；

7楼的误差则是对某个或某些偶数进行筛分得到的误差，例偶数30000、30030、30060，平方根内最大素数是173，用根内所有素数进行筛分，其间最大误差达到59-63，由于各个用于筛分的素数的误差有正有负，最终误差为7-18；故7楼取误差3最大值为173是可以的。
在那里并没有对173#/2个连续偶数进行筛分和统计。

yangchuanju · 发表于 2023-11-21 08:27

本帖最后由 yangchuanju 于 2023-11-21 01:11 编辑

18480连乘积双计误差
素数连乘积筛余误差
3 6160 6160 0
5 4928 4928 0
7 4224 4224 0
11 3840 3840 0
13 3249.230769 3250 -0.769230769
17 2866.968326 2866 0.968325792
19 2565.182186 2564 1.182186235
23 2342.122866 2352 -9.877134307
29 2180.597151 2192 -11.40284918
31 2039.913464 2046 -6.086536332
37 1929.647871 1918 11.64787104
41 1835.518707 1804 31.5187066
43 1750.145743 1708 42.1457435
47 1675.671457 1632 43.67145654
53 1612.438571 1564 48.43857139
59 1557.779637 1506 51.77963677
61 1506.704895 1452 54.70489458
67 1461.728629 1396 65.72862907
71 1420.553175 1352 68.55317473
73 1381.63391 1314 67.63390967
79 1346.655836 1278 68.655836
83 1314.206298 1250 64.20629779
89 1284.673572 1220 64.67357199
97 1258.185457 1204 54.18545711
101 1233.270894 1184 49.2708936
103 1209.323886 1166 43.32388596
107 1186.719701 1156 30.71970117
109 1164.945028 1136 28.94502776
113 1144.326532 1124 20.32653169
127 1126.305641 1118 8.305641428
131 1109.110135 1114 -4.889864548

最小误差 -11.40284918
最大误差 68.655836

偶数18480的单哥571，双哥1142；
误差1=0，误差2=14*2=28，筛余1114+28=1142=双哥；
连乘积等于1109.11，综合误差-4.89；筛分过程中最大综合误差68.66，最小-11.40。
最大综合误差不超过131.

单计误差约等于双计误差的一半。

yangchuanju · 发表于 2023-11-26 13:16

本帖最后由 yangchuanju 于 2023-11-26 05:19 编辑

分别对偶数30060-30030-30000中的31个偶数，用2,3,5,7，……173进行双筛，误差3的最大、最小值如下表，
素数 30060-30030max min 30030-30000max min
3 0.666666667 -0.666666667 0.666666667 -0.666666667
5 1.6 -1.6 1.6 -1.6
7 1.142857143 -0.857142857 0.857142857 -1.142857143
11 1.963636364 -1.018181818 1.018181818 -1.963636364
13 1.956043956 -0.901098901 0.901098901 -1.956043956
17 7.468648998 -7.618616677 4.477052359 -6.458952812
19 6.198958936 -9.553499132 6.290341238 -7.256217467
23 10.18165816 -11.50536877 10.68266772 -9.581059673
29 11.68637139 -13.20494813 10.49765615 -9.740163411
31 14.74166861 -19.90140309 11.75587188 -5.75789133
37 19.37027216 -13.72926043 20.63393286 -6.149356663
41 26.27903937 -7.123156056 30.80362004 -1.166461216
43 40.53109075 -5.149794344 40.85926562 3.103335887
47 48.50849114 -7.107448613 56.18440326 2.572625722
53 62.4138311 3.047549448 71.19631257 -6.09049223
59 67.51844699 5.04880698 88.64728502 -4.053526391
61 82.97685857 11.70294446 88.46212814 -6.051771428
67 93.24620607 17.03750035 93.24620607 -2.379356929
71 104.2533552 17.93785245 104.2533552 8.701751717
73 111.5485115 22.21352773 101.2601126 13.03869003
79 116.8763973 20.89166627 111.2535275 17.5693561
83 125.2890143 19.11114419 121.7293461 19.50744391
89 125.2600477 19.10864656 118.1317841 21.06907438
97 126.9454075 20.96207653 113.8816442 20.32538213
101 122.5504489 19.77470868 117.5473542 16.45755278
103 119.3358771 17.17714152 114.3910949 17.12827991
107 119.7595056 15.39812953 108.869766 16.5464429
109 109.195111 24.12476936 108.3583942 18.3148899
113 102.0412152 21.55618937 109.2547058 18.0438299
127 96.63272799 26.57105253 105.3136868 11.06676171
131 83.07835518 28.08905172 100.3776 10.50085695
137 79.446869 20.21913856 102.6640584 10.43515101
139 66.14084856 16.63325167 93.51781293 8.601551716
149 61.93812441 13.81938252 85.91354699 5.398846324
151 57.45178929 11.23899335 78.77561921 6.386941075
157 51.30590662 7.095821462 73.46857668 2.465565981
163 45.55982188 3.35231445 66.80025059 -1.270207834
167 40.09203958 -2.112982729 62.37150507 -8.728049657
173 32.96958826 -13.63117371 56.24004258 -14.12513965
极值 126.9454075 -19.90140309 121.7293461 -14.12513965

yangchuanju · 发表于 2023-11-26 13:17

本帖最后由 yangchuanju 于 2023-11-26 05:29 编辑

分别对偶数30060-30030-30000中的31个偶数，用2,3,5,7，……173进行双筛，误差3的最大、最小值见上楼表，
其中用素数2和3联筛的最大、最小误差是±2/3=±0.666667；
用素数2,3,5联筛的最大、最小误差是±8/5=±1.6；
用素数2,3,5,7联筛，因为连续偶数个数不够105个，最大、最小误差±2.285714都没有出现，
同样对于2-11、2-13、……2-173联筛出现的最大正误差126.9、最大负误差-19.9都不是真正的极限误差；
上面的最大正负误差一般出现在39个素数（3-173）的中部，而在最大素数167,173等处，综合误差并不太太。
正误差最大值126.9出现在素数97处，已经知道它不是用素数2-97对97#进行联筛的最大误差;
97#=2.31*10^36，双计素数对约为2.73*10^33（哈李公式计算值），乘以0.263等于7.17*10^32，
笔者曾经猜想用2-p对p#中的偶数进行连续筛分，最大误差不超过2^(p/2+0.5)/p，当联筛素数达到2-13时小了一些，现改为
猜想用2-p对p#中的偶数进行连续筛分，最大误差不超过素数对的0.263倍（大傻推荐误差值），怎么样？

yangchuanju · 发表于 2023-11-26 13:27

偶数30030双筛误差
素数连乘积筛余误差
3 10010 10010 0
5 8008 8008 0
7 6864 6864 0
11 6240 6240 0
13 5760 5760 0
17 5082.352941 5080 2.352941176
19 4547.368421 4544 3.368421053
23 4151.94508 4152 -0.054919908
29 3865.60404 3866 -0.395959915
31 3616.210231 3612 4.210231047
37 3420.739408 3402 18.73940775
41 3253.874071 3230 23.87407078
43 3102.531091 3062 40.53109075
47 2970.508491 2922 48.50849114
53 2858.413831 2796 62.4138311
59 2761.518447 2694 67.51844699
61 2670.976859 2588 82.97685857
67 2591.246206 2498 93.24620607
71 2518.253355 2414 104.2533552
73 2449.260113 2348 101.2601126
79 2387.253527 2276 111.2535275
83 2329.729346 2208 121.7293461
89 2277.375878 2162 115.3758776
97 2230.419674 2124 106.419674
101 2186.252948 2076 110.2529477
103 2143.801434 2032 111.8014342
107 2103.730379 1996 107.7303794
109 2065.129822 1964 101.1298219
113 2028.578852 1928 100.5788516
127 1996.632728 1900 96.63272799
131 1966.149786 1886 80.14978557
137 1937.446869 1858 79.446869
139 1909.569936 1844 65.56993563
149 1883.938124 1822 61.93812441
151 1858.985302 1802 56.98530157
157 1835.30396 1796 39.30396015
163 1812.784893 1788 24.78489316
167 1791.074894 1784 7.074894435
173 1770.368826 1784 -13.63117371
误差极值 121.7293461 -13.63117371

yangchuanju · 发表于 2023-11-26 14:02

用素数2和3，对连续偶数进行双筛，3偶数一循环，误差3分别为-2/3, 2/3,0;
用素数2,3和5对连续偶数进行联筛，15偶数一循环，中间没有0误差偶数，（开头或结尾偶数误差为0不提）;
用素数2,3和7对连续偶数进行联筛，21偶数一循环，又可分成3个小段，小段长7，每小段有一个0误差偶数;
用素数2,5和7对连续偶数进行联筛，35偶数一循环，中间没有0误差偶数，（开头或结尾偶数误差为0不提）;
用素数2,3和11对连续偶数进行联筛，33偶数一循环，中间没有0误差偶数，（开头或结尾偶数误差为0不提）;
用素数2,5和11对连续偶数进行联筛，55偶数一循环，又可分成5个小段，小段长11，每小段有一个0误差偶数;
用素数2,7和11对连续偶数进行联筛，77偶数一循环，中间没有0误差偶数，（开头或结尾偶数误差为0不提）;
用素数2,3和13对连续偶数进行联筛，39偶数一循环，又可分成3个小段，小段长13，每小段有一个0误差偶数;
用素数2,5和13对连续偶数进行联筛，65偶数一循环，中间没有0误差偶数，（开头或结尾偶数误差为0不提）;
用素数2,7和13对连续偶数进行联筛，91偶数一循环，中间没有0误差偶数，（开头或结尾偶数误差为0不提）;
用素数2,11和13对连续偶数进行联筛，143偶数一循环，中间没有0误差偶数，（开头或结尾偶数误差为0不提）;……

二筛 — 循环节小段数*长
3 5 15 ——
3 7 21 3*7
5 7 35 ——
3 11 33 ——
5 11 55 5*11
7 11 77 ——
3 13 39 3*13
5 13 65 ——
7 13 91 ——
11 13 143 ——
3 17 51 ——
5 17 85 ——
7 17 119 ——
11 17 187 ——
13 17 221 ——

yangchuanju · 发表于 2023-11-26 14:04

用素数2,3,5和7对连续偶数进行联筛，105偶数一循环，又可分成3个小段，小段长35，每小段有一个0误差偶数;
其它三筛的循环节长、小段数和小段长见下表：

三筛 — — 循环节小段数*长
3 5 7 105 3*35
3 5 11 165 5*33
3 7 11 231 3*77
5 7 11 385 5*77
3 5 13 195 3*65
3 7 13 273 3*91
5 7 13 455 ——
3 11 13 429 3*33
5 11 13 715 5*55
7 11 13 1001 ——

四筛 — — — 循环节小段数*长
3 5 7 11 1155 15*77
3 5 7 13 1365 3*455
3 5 11 13 2145 15*143
3 7 11 13 3003 3*1001
5 7 11 13 5005 5*1001

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