【资料】爱沙尼亚高中数学竞赛，\( \sqrt{119}a+\sqrt{17} b \preceq 2ab\)

dodonaomikiki

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波斯猫猫老师地10号楼资料整理如下\\


是否存在正实数a和b满足\\
\sqrt{ 119}a+\sqrt{ 17}b&    \preceq    2ab，且a^2+b^2  \preceq      2\sqrt{ 2023}\\

思路：\\
条件   \Longrightarrow  \\
  (2a-\sqrt{ 17}(2b-√119)&  \succeq   \sqrt{ 2023}      \succeq           (a^2+b^2)/2\\
其中2a&＞\sqrt{ 17   }，2b＞\sqrt{ 119}\\

令2a-\sqrt{ 17   }&=x，2b-\sqrt{ 119   }=y  \\
\Longrightarrow     xy & \succeq    \sqrt{ 2023}  \succeq       [(x+\sqrt{ 17}    )^2+(y+\sqrt{ 119}   ^2]/8\\

考虑双曲线xy&=\sqrt{  2023}在第一象限上\\
任意一点(x=\sqrt{ 119}t，y=\sqrt{ 17   }/t)与圆:  \\

(x+\sqrt{ 17})^2+(y+\sqrt{    119})^2&=8√2023的距离d(必有最小值)\\

有d^2&=(\sqrt{ 119}t+√17)^2+(\sqrt{ 17}/t+\sqrt{ 119}^2\\
令其导数为零，解得(t＞0)\\

唯一正实数解t&=7^{-1/6}\\
代之有  \Longrightarrow    d^2_{min}&=17[49^{1/6}+1]^3\\

经检验有:\\
17[49^{1/6}+1]^3&＞8√2023\\
即双曲线xy=√2023在第一象限\\

的部分与圆相离\\
亦即不存在正实数满足xy&≥√2023  \succeq    [(x+√17)^2+(y+√119)^2]/8\\

从而，不存在正实数a和b满足:\\
√119a+√17b&  \preceq      2ab，且a^2+b^2  \preceq      2√2023\\

\end{align*}