不用验证都有素数对的偶数

yangchuanju

不用验证都有素数对的偶数                               
互素数        2        6        30        210        2310        30030
p        90        900        4800        18000        40000        65000
ppc        1000        2.3万        22万        147万        ——        ——
8p7c        5000        22万        376万        3878万        ——        ——
48p57c        18000        ——        3880万        5.9亿        ——        ——
480p675c        45000        ——        1.98亿        40亿        ——        ——

yangchuanju

竖着看11楼给出的《不用验证都有素数对的偶数》表第1-2列，
互素数        2
p        90
ppc        1000
8p7c        5000
48p57c        18000
480p675c        45000
在与2互素的互素数（即奇数）中，如果所有素数p连排，不用验证的偶数最大是90：       
偶数        奇素数        奇p/奇c        偶数        奇素数        奇p/奇c
6        2        0.666666667        54        15        0.555555556
8        3        0.75        56        15        0.535714286
10        3        0.6        58        15        0.517241379
12        4        0.666666667        60        16        0.533333333
14        5        0.714285714        62        17        0.548387097
16        5        0.625        64        17        0.53125
18        6        0.666666667        66        17        0.515151515
20        7        0.7        68        18        0.529411765
22        7        0.636363636        70        18        0.514285714
24        8        0.666666667        72        19        0.527777778
26        8        0.615384615        74        20        0.540540541
28        8        0.571428571        76        20        0.526315789
30        9        0.6        78        20        0.512820513
32        10        0.625        80        21        0.525
34        10        0.588235294        82        21        0.512195122
36        10        0.555555556        84        22        0.523809524
38        11        0.578947368        86        22        0.511627907
40        11        0.55        88        22        0.5
42        12        0.571428571        90        23        0.511111111
44        13        0.590909091        92        23        0.5
46        13        0.565217391        94        23        0.489361702
48        14        0.583333333        96        23        0.479166667
50        14        0.56        98        24        0.489795918
52        14        0.538461538        100        24        0.48
从表中一眼就看出，不大于86的偶数的“奇p/奇c”都大于0.5，
当所有素数p密排时都有pp交叉，它们都有素数对存在，可以不再验证。
请注意，原表给出的最大偶数是90，不太正确，由于90之前的88刚好是22p+22c，没有pp交叉；
这不影响大局，因为表中给出的偶数都是大约数，暂且不一一校对修改啦，请谅解！

yangchuanju

当将所有素数都密排时，不用验证之最大偶数是86，那么大于86的偶数还能不能不验证呢？
再看表的第三行“ppc  1000”，
如果将奇数列中的素数按2p夹带1c密排，形成ppcppc的结构，只要ppc与倒排的cpp有交叉，就不用验证啦！
如果偶数中的ppc/ccc>1或p/(p+c)>1/3=0.3333，就不用验证啦，
当ppc/ccc=1时，正倒奇数列中的ppc与cpp节刚刚开始接触，但没有pp交叉；
比值稍稍大一点点还不行，ppc与cpp节至少要交叉两个数。
完整节交叉时ppc+cpp、ppc+pcp、ppc+ppc都有p+p素数对；
不完整节pp+pp不必多说，但对于pc+cp来说是没有p+p素数对的，因而要求ppc/ccc>1或p/(p+c)>1/3=0.3333才行！
偶数1000以内有167个奇素数，333个奇合数，可组成83个ppc节，83个ccc节，1个不完整节pc，
正倒密排后中部为ppcpcccc与ccccpcpp对齐，没有p+p，偶数1000又取得稍稍大了一点点！

再看表的第四行“8p7c  5000”，
如果将奇数列中的素数按8p夹带7c密排，形成pccpcppcppcpccp的结构，
如果偶数中的8p7c/15c>1或p/(p+c)>8/30=0.266667，就不用验证啦，
当p/(p+c)=8/30=0.266667时，正倒奇数列中的pccpcppcppcpccp与pccpcppcppcpccp节刚刚开始接触，但没有pp交叉；
pccpcppcppcpccp左右对称，没有正倒差别，
经验证完整节交叉时总有p+p素数对存在，分别为3,4,6,8个；
不完整节交叉时不全有p+p素数对，因而还是要求8p7c/15c>1或p/(p+c)>8/30=0.266667才行！
偶数5000以内有668个奇素数，1832个奇合数，可组成83个8p7c节，83个15c节，1个不完整节4p6c，
正倒密排后中部为4p6c与6c4p不完整节对齐，有p+p存在！
pccpcppccc
cccppcpccp

继续下去，采用48p夹带57c、480p夹带675c的密排方法，
不用验证的偶数增大到18000和45000，相应的奇数列中的素数分率降低了48/210=0.22857和480/2310=0.20779；
至此不便继续升级加大啦，对于30030系统中的最小比是5760/30030=0.19181，而偶数65000的奇数列中的素数分率是0.19975，
大于0.19181，密排素合数节有交叉，但不用验证之最大偶读不能继续升级加大了，至此到头！
（这里的最大偶数还是65000，与早期采用另一种密排方法得到的最大偶数是65000，两数一致。）

重生888@

yangchuanju 发表于 2023-12-19 00:28
当将所有素数都密排时，不用验证之最大偶数是86，那么大于86的偶数还能不能不验证呢？
再看表的第三行“pp ...

怪不得，老弟不正面回答我的问题，原来如此！
你记得吗？白新岭在你的帖子后面说，你理解力特强，不敢公布自己的核心机密！
可是我不怕，网友的眼睛是雪亮的！

yangchuanju

进一步扩大不用验证都有素数对的偶数
互素数        2        6        30        210        2310        30030
p        90        900        4800        18000        40000        65000
ppc        1000        2.3万        22万        147万        500万        1000万
8p7c        5000        22万        376万        3878万        1亿        8亿
48p57c        18000        100万        3880万        5.9亿        30亿        220亿
480p675c        45000        500万        1.98亿        40亿        320亿        2000亿
5760p9255c        65000        1000万        8亿        220亿        2000亿        18000亿

18000亿以内共有66227858344个素数，在30030系统中去掉7个，平均分配到5760个与30030互素的互素数列中，每列平均有11497892个素数；
列中有奇数共59940060个，奇合数48442168个；素数比素合数等于0.1918232，素数比合数等于0.237353；
每个pc完整节长15015，内含5760素数，9255合数；
每列中的素数可组成1996个完整pc组合节，剩余932素数；
每列中的合数扣除完整pc节中的合数剩余29969188个，可组成1995个长15015的完整cc节，剩余14265个合数；
完整pc节比完整cc节多1个，与剩余的932p+14263c节交叉，应该有p+p素数对存在。

重生888@

一个有意思的人！..........................

yangchuanju

与6互素的互素数中不用验证偶数的精确计算
前面几楼给出的不用验证都有素数对的最大偶数都是大约数，
互素数        2        6
p        90        900
ppc        1000        2.3万
（11楼表的左上角）

那精确的最大偶数又是多少呢？
对于与2互素的奇数系统，前面给出过精确值——86，不再是90。
86以内有22个奇素数，43个奇数对，22/43>0.5，不用验证就知它必有素数对存在，所有素数密排后有p+p素数对存在。
对于偶数88内有22个奇素数，44奇数对，22/44=0.5，密排后素数集合刚刚靠近，但不交叉，不能从此得出不用验证之结论。
之后是波动区，对于90可以认为是不需验证的，但以后都不再有交叉的p+p素数对存在的偶数了，92以后都必须用其它方法验证。
偶数        奇素数        比值
86        22        0.511627907
88        22        0.5
90        23        0.511111111
92        23        0.5
94        23        0.489361702
96        23        0.479166667
98        24        0.489795918
100        24        0.48

yangchuanju

表中90的下边给定数字是1000，右边给定数字是900，其实它俩都是大约数字；详细计算知它应该是962和934。
纵向计算至6互素系统，最大偶数只考虑ppc节的构成数量，ppc和ccc交叉情况；
横向计算至6互素系统，最大偶数只考虑2与6互素的互素数列中的素数占比即可。

先纵向计算，966以内共有161个奇素数，322个奇合数，采用2p夹带1c的方法，组成80个ppc节，剩余1p；
80个ppc节夹带80个c，还有242个合数，再组成80个完整ccc节，剩余2个c；
正倒排列后中部是ppc pcc ccc和ccc ccp cpp，pp不交叉；
对于994来说，中部是ppc pc ccc和ccc cp cpp，还是没有pp交叉；表观看964的素合比已大于1/3，应该可以啦，实际上还是大了一点；
但对于992来说，中部是ppc p ccc和ccc p cpp，开始有pp交叉了！
最大偶数应该是962！

再横向计算，从平均看，934以内156个素数（未计2和3），每个互素数列78个，占比大于0.5；（936的占比等于0.5）
可取934为最大偶数。
若细分一些，1000以内模6余1的素数要比余5的素数少许多个，应以模6余1的素数占比为准计算最大偶数，
这是因为模6余2的偶数的素数对由1+1构成，模6余4偶数的素数对由5+5构成，模6余0偶数的素数对由1+5构成；
900-1000以内，模6余1数列中素数占比为0.4933-0.48，都小于0.5，偶数还要更小一些。
查知偶数600以内有50个模6余1素数，模6余1数列中有100奇数，50奇合数，素合比刚好等于0.5；
正倒两奇数列对齐排列后素合数刚好靠近但还没有交叉；
对于598,596合数分别减少1个和2个，有了pp交叉；
然而对于偶数600，是由模6余1和余5的两个不同奇数列合成的，余5数列中的素数较多，偶数600还是有素数对的；
对于偶数598，由5+5合成，有素数对存在；596由1+1合成，已有pp交叉，有素数对；596不能算是最大偶数。
之后的720以内有模6余1素数60个，模6余1数列中素合比等于0.5；722,724的素合比小于0.5了；
720由1+5合成，722由1+1合成，素合比小于0.5，不再有pp交叉，没有素数对了；
自此可知在与6互素的互素数系统中，不用验证的最大偶数是720。

分的很细，固然很好，能够计算出确凿最大偶数，但无太大意义，还是按照重生的“一样多”（平均数）处理吧！

yangchuanju

不用验证都有素数对的偶数表（左上角）               
互素数        2        6
p        86        934
ppc        962        ——
               
偶数        奇素数        比值
962        161        0.334719335
964        161        0.334024896
966        161        0.333333333

偶数        奇素数        模6余1素数        余5素数        1比值        5比值        15混比
596        107        50        56        0.503355705        0.563758389        ——
598        107        50        56        0.501672241        0.56187291        ——
600        108        50        57        0.5        0.57        ——
602        109        51        57        0.508305648        0.568106312        ——
718        126        60        65        0.501392758        0.543175487        ——
720        127        60        66        0.5        0.55        模6余1素数列最大偶数
722        127        60        66        0.498614958        0.548476454        ——
724        127        60        66        0.497237569        0.546961326        ——
932        157        76        80        ——        ——        0.502145923
934        157        76        80        ——        ——        0.501070664
936        157        76        80        ——        ——        0.5

yangchuanju

给定一个大偶数N，其内素数个数是确定的，若在与2互素的奇数列中讨论有无素数对问题，只需减去偶素数2即可；其余奇素数都存在于奇数列中，两奇数列正倒对齐排列，
1,3,5,7,……,N-7,N-5,N-3,N-1
N-1,N-3,N-5,N-7,……,7,5,3,1
如果有素数与素数相对，则有素数对存在！
如果奇数列中的素数密集排列，形成
3,5,7,11,……;1,9,15,21,……
……,21,15,9,1;……,11,7,5,3
只有在数列中的素合比大于0.5时才有素数与素数成对出现，才能确定这个偶数必有素数对存在，
此乃不用验证的原理！
该方法只能处理不大于86的偶数。

为提高互素数列中的素数分率，可在与6互素的互素数列、与30,210,2310,30030，……互素的互素数列中讨论有无素数对问题；
在与6,30,210,2310,30030，……互素的互素数列之中，素数分率分布提高6/2,30/8,210/48,2310/480,30030/5760，……倍；
虽然各互素数系统中的素数分率有所提高，但有限的素数分散到2,8,48,480,5760，……互素数列之中，各个互素数列中的素数个数减少的更快更猛；
对于偶数98858来说，内只有9987个素数，减去2,3,5,7等素数后，分散到30030互素系统的5760互素数列后每列中的素数个数平均为1.73个；
98858除以30030等于3.29，每列中的素合数平均1.6-1.7个，素合比稍稍大于0.5；故98858为直接密排的最大极限，不再是65000。

为进一步加大不用验证的偶数，我们采用了2p夹带1c，8p夹带7c，48p夹带57c，480p夹带675c，5760p夹带9255c等技术，
相当于三生素数、九生素数、48生互素数、480生互素数、5760生互素数密排，
（48,480,5760生最密素数的宽度大于210,2310,30030，故改为某某生互素数）
亦相当于在与6,30,210，……互素的互素数系统中处理有无哥猜素数对的问题。
采用素夹带合的方法可使各个互素数列中的素数分率大大降低，可由直接密排奇数列中的素合比0.5降低到：
6互素系统中的2/6=0.333333，30互素系统中的8/30=0.266667，210互素系统中的48/210=0.2285714，
2310互素系统中的480/2310=0.207792，30030互素系统中的5760/30030=0.181802，……
采用此技术也是有上限的，已经计算出上限是98884，不再是65000！

两个技术联合使用，可使不用验证的偶数提高到若干亿之多；
能否推演到无穷大，待进一步探讨！