求和\(\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}}{k}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{k2^n+1}\)

王守恩

接主帖。

\(\small\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}}{k}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^n*k+1}=\sum_{k=1}^\infty\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{k-1}}{2^n*k^2+k}=\bigg(\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2+k}\bigg)\frac{2^{\infty}-1}{2^{\infty}}=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2+k}=1\)

1. N[\!\(\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(k = 1\), \(\[Infinity]\)]
   
2. \(\*FractionBox[SuperscriptBox[\((\(-1\))\), \(k - 1\)], \(k\)]
   
3. \(\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(n = 0\), \(\[Infinity]\)]
   
4. \*FractionBox[\(1\), \(k*\*SuperscriptBox[\(2\), \(n\)] + 1\)]\)\)\)]

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"1"。每一步电脑出来都是"1"。

elim

王守恩 发表于 2024-1-9 22:30
接主帖。

\(\small\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}}{k}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^n* ...

电脑数值计算都不是证明。也就是说，电脑顶多回答然的问题，没法独立回答所以然的问题。

elim

现在的 ChatGPT 也无法取代人脑。

王守恩

\(\small\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}}{k}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^n*k+1}=1\)

这样就可以了(中间=都是多余的)。电脑肯定是对的, 在催促我们去找思路。
一路走来使用频率最大的是pi,让人捉摸不透的是pi。2楼,3楼,5楼,6楼就是奔这目标去的。pi变化太大了！

elim

王守恩 发表于 2024-1-11 00:40
\(\small\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}}{k}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^n*k+1}=1\)

...

电脑不知道所以然，可以说在催促人找思路。不过你这个式子也没有给出思路。

王守恩

elim 发表于 2024-1-12 02:07
电脑不知道所以然，可以说在催促人找思路。不过你这个式子也没有给出思路。

嗨！看到 "1" 我会跳到天花板上去(高兴)！太好了！愚也是这样想的！
电脑是最好的老师(你还找得到第2个吗)？无私一点都不保留(错的肯定是我们)。
当然你在按Enter时，尽可能先停顿一下。

elim

电脑那点东西都是人教的．它再强大也整不出深刻的数学定理．精彩的还是人搞出的东西．

王守恩

\(一路走来使用频率最大的是\pi,让人捉摸不透的是\pi。2楼,3楼,5楼,6楼就是奔这目标去的。\pi变化太大了！\)

\(\displaystyle求和\ \sum_{n=1}^\infty\frac{n+1}{\pi^n}\)

elim

易见 \(f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(n+1)x^n\implies 1+f (x)=1+2x+3x^2+\cdots\)
\(\quad =(1+x+x^2+\cdots)’=\frac{d}{dx}\frac{1}{1-x}=\frac{1}{(1-x)^2}\implies f(x)= \frac{1}{(1-x)^2}-1\)
所以 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n+1}{\pi^n}=\frac{\pi^2}{(\pi-1)^2}-1\) 还是可以轻易求出的．

王守恩

\(\displaystyle求和\ \sum_{n=1}^\infty\frac{n+1}{a^n}=\frac{2a-1}{(a-1)^2}\)

1. Table[Sum[(n + 1)/a^n, {n, \[Infinity]}], {a, 2, 15}]

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{3, 5/4, 7/9, 9/16, 11/25, 13/36, 15/49, 17/64, 19/81, 21/100, 23/121, 25/144, 27/169, 29/196}
一些题目跟着电脑揣摩揣摩，可以有想法。一些题目跟着电脑揣摩揣摩，还是不能揣摩什么。

1. Table[Round[N[Sum[a^n/n^n, {n, \[Infinity]}]]], {a, 1, 29}]

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{1, 3, 7, 12, 20, 32, 51, 79, 122, 187, 284, 429, 647, 971, 1454, 2171, 3235, 4812, 7145,
10595, 15690, 23207, 34290, 50615, 74647, 109998, 161967, 238324, 350448}