可能是一个素数公式

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！！！！！！！！！！！！！！

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yangchuanju

(a^2+3)/(2^k-1)中的整数多如牛毛，比比皆是！
令k=2（第1个梅森素数3），a=3,6,9,12……皆整除；
令k=3（第2个梅森素数7），a=2,5,9,12,16,19,23,26……皆整除；
令k=5（第3个梅森素数31），a=11,20,42,51,73,82,104,114,135,144,166,175,197……皆整除；
令k=7（第4个梅森素数127），a=39,88,166，215,293……皆整除；
令k=9（不是梅森数），a=163,236,275,348,674,747,786,859……皆整除；
令k=11（梅森合数），因2^11-1=23*89，两个因子都是模6余5的，没有可整除的(a^2+3)/4，(a^2+3)/4自身及其素因子都是模6余1的；
令k=13（第5个梅森素数8191），a=181,8010,8372,16201,16561,24392,24754……皆整除（比值分布是4,7833,8551,32044,33492,72637,74809……）；
令k=15（不是梅森数），a=6428,9599,13806,15790,16977,18961……皆整除（比值分别为1261,2812,5817,7609,8799,10972……）；
令k=17（第6个梅森素数），10万内有a=43811,87260两个可整除（比值分布是14644,58093）；
令k=19（第7个梅森素数），底数a在10万以内没有找到可整除的(a^2+3)/4，尽管2^19-1模6余1；
令k=21（不是梅森数），底数a在10万以内没有找到可整除的(a^2+3)/4，尽管2^21-1的3个素因子都是模6余1；
令k=23（梅森合数），底数a在10万以内没有找到可整除的(a^2+3)/4，2^23-1的2个素因子都是模6余5；
令k=25（不是梅森数），底数a在10万以内没有找到可整除的(a^2+3)/4，尽管2^25-1的3个素因子都是模6余1；

对于k=17，2^17-1=131071，(43811^2+3)/4=479850931，相除等于3661=7*523（不是1，两代数式不相等，不是两代数式相等的第5个整数解）；
另一个87260^2+3=7614307603<10>=7*43*193*131071，不含因子4，也不是两代数式的整数解。

太阳

是否找到这两个整除式子？
\(\frac{a^2+3}{2^{37}-1}\)整除
\(\frac{a^2+3}{2^{67}-1}\)整除

yangchuanju

补上两个，在a=198413时，(a^2+3)/4中含有复合因子2^21-1=2097151，比值等于4693；
在a=1170797时，(a^2+3)/4中含有复合因子2^25-1=33554431，比值等于10213。

2^23-1同2^11-1一样，两个素因子都是模6余5的，不可能被a^2+3整除，因为a^2+3本身和它的素因子都是模6余1的。
其它的凡2^k-1之中含有模6余5素因子的都不能整除，如k=41,43,47等！
当k=31、37、67（因子分别为模6余1,11,11型）时，可能有能够整除的底数a，因相关数字大于10的15次方了，无法精确计算出有效的a值！

yangchuanju

k        2^k-1        分解式        模6余数
1        1        1        1
3        7        7        1
5        31        31        1
7        127        127        1
9        511        7×73        11
11        2047        23×89        55
13        8191        8191        1
15        32767        7×31×151        111
17        131071        131071        1
19        524287        524287        1
21        2097151        7^2×127×337        111
23        8388607        47×178481        55
25        33554431        31×601×1801        111
27        134217727        7×73×262657        111
29        536870911        233×1103×2089        551
31        2147483647        2147483647<10>        1
33        8589934591        7×23×89×599479        1551
35        34359738367        31×71×127×122921        1515
37        137438953471         223×616318177        11
39        549755813887         7×79×8191×121369        1111
41        2199023255551         13367×164511353        55
43        8796093022207         431×9719×2099863        551
45        35184372088831         7×31×73×151×631×23311        111111
47        140737488355327         2351×4513×13264529        515
49        562949953421311         127×4432676798593<13>        11
51        2.2518E+15        7×103×2143×11119×131071        11111
53        9.0072E+15        6361×69431×20394401        155
55        3.60288E+16        23×31×89×881×3191×201961        515551
57        1.44115E+17        7×32377×524287×1212847        1111
59        5.76461E+17        179951×3203431780337<13>        55
61        2.30584E+18        2305843009213693951<19>        1
63        9.22337E+18        7^2×73×127×337×92737×649657        1111111
65        3.68935E+19        31×8191×145295143558111<15>        111
67        1.47574E+20        193707721×761838257287<12>        11
69        5.90296E+20        7×47×178481×10052678938039<14>        1551
71        2.36118E+21        228479×48544121×212885833        551
73        9.44473E+21        439×2298041×9361973132609<13>        155
75        3.77789E+22        7×31×151×601×1801×100801×10567201        1111111
77        1.51116E+23        23×89×127×581283643249112959<18>        5511
79        6.04463E+23        2687×202029703×1113491139767<13>        511
81        2.41785E+24        7×73×2593×71119×262657×97685839        111111
83        9.67141E+24        167×57912614113275649087721<23>        55
85        3.86856E+25        31×131071×9520972806333758431<19>        111
87        1.54743E+26        7×233×1103×2089×4177×9857737155463<13>        155111
89        6.1897E+26        618970019642690137449562111<27>        1
91        2.47588E+27        127×911×8191×112901153×23140471537<11>        15151
93        9.90352E+27        7×2147483647<10>×658812288653553079<18>        111
95        3.96141E+28        31×191×524287×420778751×30327152671<11>        15151
97        1.58456E+29        11447×13842607235828485645766393<26>        55
99        6.33825E+29        7×23×73×89×199×153649×599479×33057806959<11>        15151111
101        2.5353E+30        7432339208719<13>×341117531003194129<18>        11
103        1.01412E+31        2550183799<10>×3976656429941438590393<22>        11
105        4.05648E+31        7^2×31×71×127×151×337×29191×106681×122921×152041        11151111151
107        1.62259E+32        162259276829213363391578010288127<33>        1
109        6.49037E+32        745988807×870035986098720987332873<24>        55
111        2.59615E+33        7×223×321679×26295457×319020217×616318177        111111
113        1.03846E+34        3391×23279×65993×1868569×1066818132868207<16>        15511
115        4.15384E+34        31×47×14951×178481×4036961×2646507710984041<16>        155551
117        1.66153E+35        7×73×79×937×6553×8191×86113×121369×7830118297<10>        111111111
119        6.64614E+35        127×239×20231×131071×62983048367<11>×131105292137<12>        155155
121        2.65846E+36        23×89×727×1786393878363164227858270210279<31>        5511
123        1.06338E+37        7×13367×3887047×164511353×177722253954175633<18>        15151
125        4.25353E+37        31×601×1801×269089806001<12>×4710883168879506001<19>        11111
127        1.70141E+38        170141183460469231731687303715884105727<39>        1

太阳

k=17，2^17-1=131071，(43811^2+3)/4=479850931，相除等于3661
k=25，2^25-1＝33554431，(1170797^2+3)/4=342691403803，相除等于10213
使用什么方法找到的？

yangchuanju

太阳 发表于 2024-3-30 07:52
k=17，2^17-1=131071，(43811^2+3)/4=479850931，相除等于3661
k=25，2^25-1＝33554431，(1170797^2+3)/4= ...

再补两个，在a=138985时，(a^2+3)/4中含有复合因子2^19-1=524287，比值等于9211=61*151（不是1，两代数式不相等，也不是两代数式相等的第5个整数解）;
在a=909589时，(a^2+3)/4中含有复合因子2^19-1=524287，比值等于394513=7*56359（不是1，两代数式不相等，也不是两代数式相等的第5个整数解）.