素数公式:2^k-1

yangchuanju

又查明
代数式2^k-1，当指数k是偶数时，都是3的倍数；当指数k是奇数时，代数式值皆模8余7，模6余1；
当指数k是奇数时，代数式2^k-1的各个素因子或模6余1或模6余5，其中模6余5的素因子要是双数，模6余1的素因子个数不限；
如2^11-1=2047=23*89，2047模6余1，23和89都模6余5；
2^23-1=8388607=47*178481，8388607模6余1，47和178481都模6余5；
2^29-1=536870911=233*1103*2089，536870911模6余1，233和1103模6余5，2089模6余1；……

两个代数式要相等，因为它们等于同一个数字，其素因子必然要相同，
如(3^2+3)/4=2^2-1=3，(5^2+3)/4=2^3-1=7，(11^2+3)/4=2^5-1=31，(181^2+3)/4=2^13-1=8191，都是模6余1素数（3除外）；
在众多的2^k-1（k是奇数或奇素数）之中应该还有素因子都是模6余1的——
如2^9-1=511=7*73，7和73都是模6余1的；但太阳先生不考虑它，因为指数不是素数，2^k-1不是梅森数。

有没有指数k是素数，2^k-1是梅森合数，两代数式值相等的？可能有，如果有则太阳命题即被推翻。
有没有指数k是素数，2^k-1是梅森素数，两代数式值相等的？也可能有，第5个、第6个、乃至几十个、几百个都可能有。
然而问题是在茫茫数海中靠通过挨个数去试验，能称得起“素数公式”吗？
截至当前，人们已经在2^p-1之中找到了51个梅森素数，并没有哪个人承认2^p-1是素数公式呀？

k        2^k-1        分解式        模6余数
1        1        1        1
3        7        7        1
5        31        31        1
7        127        127        1
9        511        7×73        11
11        2047        23×89        55
13        8191        8191        1
15        32767        7×31×151        111
17        131071        131071        1
19        524287        524287        1
21        2097151        7^2×127×337        111
23        8388607        47×178481        55
25        33554431        31×601×1801        111
27        134217727        7×73×262657        111
29        536870911        233×1103×2089        551
31        2147483647        2147483647<10>        1
33        8589934591        7×23×89×599479        1551
35        34359738367        31×71×127×122921        1515
37        137438953471         223×616318177        11
39        549755813887         7×79×8191×121369        1111
41        2199023255551         13367×164511353        55
43        8796093022207         431×9719×2099863        551
45        35184372088831         7×31×73×151×631×23311        111111
47        140737488355327         2351×4513×13264529        515
49        562949953421311         127×4432676798593<13>        11

wlc1

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太阳

\(k＞13\)，试证：\(4\times2^k－7\)，没有整数平方根，这个命题是假命题，素数公式找到了，素数公式是存在的

yangchuanju

太阳 发表于 2024-3-28 20:28
\(k＞13\)，试证：\(4\times2^k－7\)，没有整数平方根，这个命题是假命题，素数公式找到了，素数公式是存在 ...

太阳先生胸有成竹地宣称
“4*2^k-7，没有整数平方根，这个命题是假命题”，
又说“素数公式找到了，素数公式是存在的”，

那就给出你的第5例吧！

多次声明：
即使你给出第5列。第6例，乃至数十个、数百个，那也称不起是“素数公式”，
因为在2^p-1之中已经找到了51个素数，但没有人把2^p-1称之为素数公式呀！

太阳

方程没有整数解，推出素数公式\(2^k-1\)

太阳

16楼，素数公式\(2^k-1\)，有些梅森数代入方程，没有整数解，它们也是梅森素数
例如:\(2^{17}-1\)，\(2^{19}-1\)，\(2^{31}-1\)，等等，梅森数代入方程，没有整数解，它们也是梅森素数

yangchuanju

太阳 发表于 2024-3-28 22:47
16楼，素数公式\(2^k-1\)，有些梅森数代入方程，没有整数解，它们也是梅森素数
例如:\(2^{17}-1\)，\(2^{1 ...

前27个梅森素数乘4减3的数值及分解式
(2^k-1)*4-3=2^k*4-7=2^(k+2)-7

状态        k        位数        2^k*4-7及分解式
FF        2        1        (3)^2 = (3)^2
FF        3        2        (5)^2 = (5)^2
FF        5        3        (11)^2 = (11)^2
FF        7        3        505 = 5 · 101
FF        13        5        (181)^2 = (181)^2
FF        17        6        524281 = 269 · 1949
FF        19        7        2097145 = 5 · 419429
FF        31        10        8589934585<10> = 5 · 1717986917<10>
FF        61        19        9223372036854775801<19> = 157 · 1973 · 29775769179641<14>
FF        89        28        2475880078570760549798248441<28> = 199 · 79657 · 259936331 · 600877024277<12>
FF        107        33        649037107316853453566312041152505<33> = 5 · 61 · 101 · 1497849757<10> · 14066306002447140313<20>
FF        127        39        680564733841876926926749214863536422905<39> = 5 · 17579 · 19917551 · 388749042452671751702769089<27>
CF        521        158        2^521*4-7<158> = 16656839 · 1648523506...59<151>
FF        607        184        2^607*4-7<184> = 5 · 101 · 1184285091659377753987<22> · 3552382476...23<160>
CF        1279        386        2^1279*4-7<386> = 5 · 8326345755...69<385>
CF        2203        664        2^2203*4-7<664> = 5^2 · 39679 · 73765999103<11> · 8068326845...53<647>
CF        2281        688        2^2281*4-7<688> = 887 · 7717 · 3700871 · 3528322771<10> · 11547681376279<14> · 1728784792...21<652>
CF        3217        970        2^3217*4-7<970> = 11717 · 1197941 · 13207981 · 273643286335337<15> · 2043068605...09<938>
CF        4253        1281        2^4253*4-7<1281> = 503 · 23227 · 10211107 · 6397313269...83<1267>
CF        4423        1333        2^4423*4-7<1333> = 5^2 · 661 · 6911771067...77<1328>
CF        9689        2918        2^9689*4-7<2918> = 1120591 · 4517926447<10> · 3778345718...33<2902>
CF        9941        2994        2^9941*4-7<2994> = 157 · 8817535859...93<2991>
CF        11213        3377        2^11213*4-7<3377> = 6841 · 9743 · 425103797 · 3972776145...51<3360>
C        19937        6003        2^19937*4-7<6003> = 1726169918...81<6003>
CF        21701        6534        2^21701*4-7<6534> = 1874377 · 9575003665...13<6527>
CF        23209        6988        2^23209*4-7<6988> = 45751 · 276206087 · 1275250552...93<6975>
CF        44497        13396        2^44497*4-7<13396> = 3067 · 37567 · 2966584755...29<13388>

太阳

太阳

yangchuanju 发表于 2024-3-29 08:40
前27个梅森素数乘4减3的数值及分解式
(2^k-1)*4-3=2^k*4-7=2^(k+2)-7

素数公式是存在的，有些梅森数代入方程，没有整数解，它们也是梅森素数