\(a\)取值小于\(2^k-1\)最多2个整数解，判断\(2^k-1＝p\)是素数

太阳

已知:整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(\frac{a^2+1}{c}＝\frac{2^k+1}{3}\)，素数\(k＞0\)，\(p＞0\)
方程\(\frac{a^2+1}{c}-\frac{2^k+1}{3}＝0\)，\(\frac{2^k+1}{3}\)范围内最多2个整数解，\(\frac{2^k+1}{3}＞a\)
结论:\(\frac{2^k+1}{3}＝p\)
已知:整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(\frac{a^2+2}{c}＝\frac{2^k+1}{3}\)，素数\(k＞0\)，\(p＞0\)
方程\(\frac{a^2+2}{c}-\frac{2^k+1}{3}＝0\)，\(\frac{2^k+1}{3}\)范围内最多2个整数解，\(\frac{2^k+1}{3}＞a\)
结论:\(\frac{2^k+1}{3}＝p\)
已知:整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(\frac{a^2+3}{c}＝\frac{2^k+1}{3}\)，素数\(k＞0\)，\(p＞0\)
方程\(\frac{a^2+3}{c}-\frac{2^k+1}{3}＝0\)，\(\frac{2^k+1}{3}\)范围内最多2个整数解，\(\frac{2^k+1}{3}＞a\)
结论:\(\frac{2^k+1}{3}＝p\)

yangchuanju

太阳 发表于 2024-4-14 23:38
已知:整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(\frac{a^2+1}{c}＝\frac{2^k+1}{3}\)，素数\(k＞0\)，\(p＞0\)
方程\(\fr ...

梅森数的判断还没有讲清楚呢，为什么急于转话题？
2^257-1是一个三合数，三个素因子都模6余1，对于不定方程(a^2+3)/(2^257-1)=c，每个2^257-1数段都应该有8个整数解才对！

太阳

2^257-1是一个三合数，三个素因子都模6余1，对于不定方程(a^2+3)/(2^257-1)=c，每个2^257-1数段都应该有8个整数解才对！
使用数学软件，(a^2+3)/(2^257-1)=c，2^257-1范围内没有找到整数解，不知道什么原因？找到整数解
例如(a^2+3)/(2^499-1)=c，2^499-1范围内没有找到整数解，不知道什么原因？找不到整数解

太阳

(208468730449502204375391757229082852012824386724465851021823115350579015126500197305695759854933022980222787221776976033968090400117352395862969131226332556959850901700210780601798930671617495772143746624752311652793439059997884684490938027341141237293699041475990315400833503804682768125012900748044485121842260062442668110845995438301951066586934470869829938468691891352110918508429540968478760569756695323817861962477348575179460571425109716356085545167592728863712033740971904432173200512^2+3)/(2^1637-1)＝7111790280901291782100732645140382246216393531117247538879451159591884009909715499256875878132350132296760537876204799329931499036225076775660985097235269083320661445152847011794661863201660117389677781552273880970272322334270766594071474979749817141788295418804752823179546133845589389921277253512512196529157217068589972514877438289302331275670358006957037284847912879990998105561457730694413731510433210674729853128539598021321297225742906978131512717935878899767273894123207263033999357
方程(a^2+3)/(2^1637-1)=c，2^1637-1范围内找到整数解
方程(a^2+3)/(2^257-1)=c，2^257-1范围内没有找到整数解，不知道什么原因？找到整数解

太阳

yangchuanju 发表于 2024-4-15 07:53
梅森数的判断还没有讲清楚呢，为什么急于转话题？
2^257-1是一个三合数，三个素因子都模6余1，对于不定 ...

每个2^257-1数段都应该有8个整数解才对！
如何确定有8个整数解？

yangchuanju

太阳 发表于 2024-4-15 11:20
每个2^257-1数段都应该有8个整数解才对！
如何确定有8个整数解？

2^257-1<78>=
535006138814359<15>*1155685395246619182673033<25>*374550598501810936581776630096313181393<39>
2^257-1是一个三因子合数，3个素因子都是模6余1的，在2^257-1以内应该有多个整数解。

在素数535006138814359<15>内应有2个涉p1的整数解；
在素数1155685395246619182673033<25>内应有2个涉p2的整数解；
在素数374550598501810936581776630096313181393<39>内应有2个涉p3的整数解；

在535006138814359<15>*1155685395246619182673033<25>内应有2*1155685395246619182673033<25>个涉p1的整数解，应有2*535006138814359<15>个涉p2的整数解；
其中有没有涉p1,p2的共同整数解无法断定；有可能没有共同整数解；
有没有涉p1,p3；p2,p3的共同整数解也无法断定；有可能没有涉p1,p2,p3的共同整数解。

若涉p1,p2；p1,p3；p2,p3；p1,p2,p3的共同整数解都存在，则在2^257-1范围内就有8个整数解；8个整数解分别加2^257-1还都是它们的整数解。
如7*13*19等三合数就有8个整数解。

yangchuanju

令不定方程(a^2+3)/m=c的分母m等于（a,m,c都是正整数）：
7*13=91,7*19=133,13*19=247,7*31=217,13*31=403,19*31=589等二合数，第一数段中各有4个整数解；
7*13*19=1729，7*13*31=2821，7*19*31=4123等三合数，第一数段中猜想各有8个整数解；
7*13*19*31=53599等四合数，第一数段猜想有16个整数解；
7*13*19*31*37=1983163等五合数，第一数段猜想有32个整数解；
7*13*19*31*37*43=85276009等六合数，第一数段猜想有64个整数解；……

分母m        a        a^2+3        商c
91        19        364        4
91        33        1092        12
91        58        3367        37
91        72        5187        57
133        23        532        4
133        61        3724        28
133        72        5187        39
133        110        12103        91
1729        72        5187        3
1729        110        12103        7
1729        422        178087        103
1729        604        364819        211
1729        1125        1265628        732
1729        1307        1708252        988
1729        1619        2621164        1516
1729        1657        2745652        1588
53599        5259        27657084        516
53599        7026        49364679        921
53599        9249        85544004        1596
53599        13722        188293287        3513
53599        15139        229189324        4276
53599        15489        239909124        4476
53599        17712        313714947        5853
53599        23602        557054407        10393
53599        29997        899820012        16788
53599        35887        1287876772        24028
53599        38110        1452372103        27097
53599        38460        1479171603        27597
53599        39877        1590175132        29668
53599        44350        1966922503        36697
53599        46573        2169044332        40468
53599        48340        2336755603        43597

yangchuanju

素指数k的不定方程(a^2+3)/(2^k-1)=c在(2^k-1)数域内有两个整数解
证：设第一个整数解t已经求得，则
(t^2+3)/(2^k-1)=c
[(2^k-1-t)^2+3]/(2^k-1)
=[(2^k-1)^2-2t*(2^k-1)+t^2+3]/(2^k-1)
=(2^k-1)-2t+c
是整数，是不定方程的第二个整数解。
证毕！

素指数k的不定方程(a^2+3)/(2^k-1)=c在每个(2^k-1)数域内都有两个整数解
证：设第一对整数解t1和t2已经求得，则
(t1^2+3)/(2^k-1)=c1
(t2^2+3)/(2^k-1)=c2
[(2^k-1+t1)^2+3]/(2^k-1)
=[(2^k-1)^2+2*t1*(2^k-1)+t1^2+3]/(2^k-1)
=(2^k-1)-2*t1+c1
[(2^k-1+t2)^2+3]/(2^k-1)
=[(2^k-1)^2+2*t2*(2^k-1)+t2^2+3]/(2^k-1)
=(2^k-1)-2*t2+c2
都是整数，是不定方程的第二对整数解。
同理继续加上若干个2^k-1，都可得到一组整数解。
证毕！

太阳

太阳

yangchuanju 发表于 2024-4-15 12:26
素指数k的不定方程(a^2+3)/(2^k-1)=c在(2^k-1)数域内有两个整数解
证：设第一个整数解t已经求得，则
(t^2 ...

不定方程(a^2+3)/(2^37-1)=c，c取素数，可能找到1个整数解？