构造 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n\in\{a_n\}\)反例的一条思路

elim

归纳地定义一有理数序列如次： \(a_1=2,\,a_{n+1}={\large\frac{a_n^2+2}{2a_n}}\;(n\in\mathbb{N}^+).\)
于是\(\{a_n\}\)为正项有理数序列由其通项的归纳定义保证，
\(\because{\small a_1^2-2>0,\;a_{n+1}^2-2=}\big(\frac{a_n^2+2}{2a_n}\big)^2{\small-2=}\big(\frac{a_n^2-2}{2a_n}\big)^2\small>0,\;\therefore a_n^2>2\_(\forall n)\)
\(\therefore a_{n+1}-a_n=-{\large\frac{a_n^2-2}{2a_n}}< 0,\;\{a_n\}\)单调减有下界. 对\(a_{n+1}=\large\frac{a_n^2+2}{2a_n}\)
两边取极限得 \(a=\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n,\;a=\small\frac{a^2+2}{2a},\;a=\sqrt{2}.\)

春风晚霞

根据威尔斯特拉斯极限定义中的〖对任给的ε>0，存在\(N_ε>0\)，当n>\(N_ε>0\)时，恒有|\(a_n-a|<ε\)，则称常数a是数列\(\{a_n\}\)的极限，记为\(\displaystyle\lim_{n→∞}a_n=a\)〗以及无穷大的定义〖若整序变量\(x_n\)，由某项开始，其绝对值变成且保持着大于预先给定的任意大数E>0，当n>\(N_E\)时恒有|\(x_n |>N_E\)则称变量\(x_n\)为无穷大〗（参见菲赫全哥尔茨《数学分析原理》两卷四册版第一卷第一分册P59页无穷大的定义)，整序变量\(N_ε\)(也就是正整数)把自然数集N分成两个部分，且自然数集N=\(\{n｜n≤N_ε，n∈N\}\bigcup\{n｜n>N_ε，n∈N\}\)，所以\(a_n=\begin{cases}
f(x)\;\;x∈\{n｜n≤N_ε，n∈N\}&①\\a\;\;\;x∈\{n｜n>N_ε，n∈N\}&②
\end{cases}\)所以当n→∞(即n∈\(\{n｜n>N_ε，n∈N\}\)时，\(a_n=a\)！

&#8203;elim读过数学，也知道威尔斯特拉斯极限定义.但他只知其然不知其所以然。他也不愿对隐含在定义中的关键词语作深入的分析，甚至什么是∞，什么是n→∞都不知道？故此闹出不少笑话，真丢人丟到家了！

elim

老春头为什么要把\(\color{red}{\lim a_n=a}\) 篡改成 \(\color{blue}{a_n=a}\)?

春风晚霞

elim 发表于 2024-5-5 06:04
老春头为什么要把\(\color{red}{\lim a_n=a}\) 篡改成 \(\color{blue}{a_n=a}\)?

       根据威尔斯特拉斯极限定义中的〖对任给的ε>0，存在\(N_ε>0\)，当n>\(N_ε>0\)时，恒有|\(a_n-a|<ε\)，则称常数a是数列\(\{a_n\}\)的极限，记为\(\displaystyle\lim_{n→∞}a_n=a\)〗以及无穷大的定义〖若整序变量\(x_n\)，由某项开始，其绝对值变成且保持着大于预先给定的任意大数E>0，当n>\(N_E\)时恒有|\(x_n |>N_E\)则称变量\(x_n\)为无穷大〗（参见菲赫全哥尔茨《数学分析原理》两卷四册版第一卷第一分册P59页无穷大的定义)，整序变量\(N_ε\)(也就是正整数)把自然数集N分成两个部分，且自然数集N=\(\{n｜n≤N_ε，n∈N\}\bigcup\{n｜n>N_ε，n∈N\}\)， 所以\(a_n=\begin{cases}
f(x)\;\;x∈\{n｜n≤N_ε，n∈N\}&①\\\\a\;\;\;x∈\{n｜n>N_ε，n∈N\}&②
\end{cases}\)所以当n→∞(即n∈\(\{n｜n>N_ε，n∈N\}\)时，\(a_n=a\)！
       &#8203;elim读过数学，也知道威尔斯特拉斯极限定义.但他只知其然不知其所以然。他更不愿对隐含在定义中的关键词语作深入的分析，甚至什么是∞，什么是n→∞都不知道？他的一切胡说八道都缘于他的臆想，故此闹出不少笑话，真丢人丟到家了！

elim

\(\Large\textbf{老春头为何要把}[a_n\textbf{趋于}a]\textbf{篡改成}[a_n=a]?\)

春风晚霞

       根据威尔斯特拉斯极限定义中的〖对任给的ε>0，存在\(N_ε>0\)，当n>\(N_ε>0\)时，恒有|\(a_n-a|<ε\)，则称常数a是数列\(\{a_n\}\)的极限，记为\(\displaystyle\lim_{n→∞}a_n=a\)〗以及无穷大的定义〖若整序变量\(x_n\)，由某项开始，其绝对值变成且保持着大于预先给定的任意大数E>0，当n>\(N_E\)时恒有|\(x_n |>N_E\)则称变量\(x_n\)为无穷大〗（参见菲赫全哥尔茨《数学分析原理》两卷四册版第一卷第一分册P59页无穷大的定义)，整序变量\(N_ε\)(也就是正整数)把自然数集N分成两个部分，且自然数集N=\(\{n｜n≤N_ε，n∈N\}\bigcup\{n｜n>N_ε，n∈N\}\)， 所以\(a_n=\begin{cases}
f(x)\;\;x∈\{n｜n≤N_ε，n∈N\}&①\\\\a\;\;\;x∈\{n｜n>N_ε，n∈N\}&②
\end{cases}\)所以当n→∞(即n∈\(\{n｜n>N_ε，n∈N\}\)时，\(a_n=a\)！
       &#8203;elim读过数学，也知道威尔斯特拉斯极限定义.但他只知其然不知其所以然。他更不愿对隐含在定义中的关键词语作深入的分析，甚至什么是∞，什么是n→∞都不知道？他的一切胡说八道都缘于他的臆想，故此闹出不少笑话，真丢人丟到家了！

春风晚霞

elim 发表于 2024-5-5 10:36
从最近蠢疯顽瞎的帖子看，他少说有这么一些问题：

1）初等集合论尚未入门，但自视甚高.

elim多少还有一点自知之明，自画像也较客观。elim坦诚地认为他的帖子存在以下问题：
1）初等集合论尚未入门，但自视甚高.
2）误读康托的实数理论，混淆作为基本列等价类的实数(集合)，与所含的基本列(有理数序列)。
3）完全误读极限理论。
4）幻想现代数学理论就是芝诺、惠施理论。
5）不了解皮亚诺意义下的自然数，认为自然数集是有限集.
6）数学思维能力与范、曹相当，但不及范、曹男人。
7）刚愎自用，常以数学教皇自居。
8）主题重叠，烂贴成串。过于自信，胡搅蛮缠！放肆撒泼，不讲学术道德。
9）强盗逻辑逆袭奇经八脉，邪灵附身!

痛打落水狗

关于\(n\to\infty\)到底是什么，大家都知道本人几月前曾经给春婊列过一些参考文献。现在看到春婊一会儿红字一会儿蓝字地张贴大字报，相信大家都能明白，春婊这辈子是看不懂这些内容了。

春风晚霞

痛打落水狗 发表于 2024-5-5 21:12
关于\(n\to\infty\)到底是什么，大家都知道本人几月前曾经给春婊列过一些参考文献。现在看到春婊一会儿红字 ...

tdlsg婊子，你算什么东西？老子与e氏交流，有你龟儿子啥事？你资料多，你读懂了一句吗？你不是elim，哪里凉快，你滾哪里去吧！

elim

从最近蠢疯顽瞎的帖子看，他少说有这么一些问题：

1）初等集合论尚未入门，但自视甚高.
2）误读康托的实数理论，混淆作为基本列等价类的实数(集合)
    与所含的基本列(有理数序列)
3）完全误读极限理论, 把\([a_n\textbf{趋于}a]\textbf{篡改成}[a_n=a]\)
4）幻想现代数学理论就是他狗屁不通的蠢氏可达.
5）不了解皮亚诺意义下的自然数系, 认为存在无穷大自然数.
6）数学能力与任在深相当，并已无法学习
7）幻虐性狂躁，惊恐性好斗。
8）重叠烂贴成串，自信全无．
9）八股匪气逆袭奇经八脉，邪灵附身．