太阳素数公式剖析

太阳

请再次编辑一下，把a=21，a=39，改为c=21，c=39，注意a＝(c-1)/2，c=21，a＝10
方程组(一)
已知：整数a＞0，b＞0，m＞0，t＞0，2a=c-1，b=a^2-2c，
奇数c＞9，n＞0，素数p＞0
方程＝[a×(a+1)×(b-c+1)^n+m^2]/t-c＝0，有整数解
方程＝[a×(a+1)×(b+c-1)^n+m^2]/t-c＝0，有整数解
求证：c=p
a＝21，
方程(10*11*(58+20)+m^2)/t=21，m＝3，有整数解
方程(10*11*(58-20)+m^2)/t=21，没有整数解，
无法判断21是合数，是素数
a＝39
方程(19*20*(283-38)+m^2)/t=39，没有整数解
方程(19*20*(283+38)+m^2)/t=39，m＝18
无法判断39是合数，是素数
这那里有问题？素数公式是正确的，找不到反例

太阳

素数公式是正确的，找不到反例的

太阳

例子
(309485009821345068724781055*309485009821345068724781056*(95780971304118053647396687339984265048100782787788801-1)+m^2)/t=2^89-1
m＝212529955929516448851997431
(309485009821345068724781055*309485009821345068724781056*(95780971304118053647396687339984265048100782787788801+1)+m^2)/t=2^89-1
m＝13564349396056578825963023
方程有整数解，判断2^89-1是素数

yangchuanju

太阳 发表于 2024-5-26 18:36
素数公式是正确的，找不到反例的

稍稍扩大检索范围，将c和m都扩大到1000，
167个素数中两方程都无整数解的43个，方程1无解2有解的45个，方程1有解2无解的43个，两方程都有整数解的36个：
两无解        1无2有        1有2无        两有解
17        3        5        19
23        7        11        31
47        13        29        61
53        37        41        79
83        43        59        109
107        67        71        139
113        73        89        151
137        97        101        181
167        103        131        199
173        127        149        211
197        157        179        229
227        163        191        241
233        193        239        271
257        223        251        331
263        277        269        349
293        283        281        379
317        307        311        409
347        313        359        421
353        337        389        439
383        367        401        499
443        373        419        541
467        397        431        571
503        433        449        601
557        457        461        619
563        463        479        631
587        487        491        661
593        523        509        691
617        547        521        709
647        577        569        739
653        607        599        751
677        613        641        769
683        643        659        811
743        673        701        829
773        727        719        859
797        733        761        919
827        757        809        991
857        787        821        ——
863        823        839        ——
887        853        881        ——
947        877        911        ——
953        883        929        ——
977        907        941        ——
983        937        971        ——
——        967        ——        ——
——        997        ——        ——

yangchuanju

332个奇合数之中两方程都无整数解的227个，方程1无解2有解的67个，方程1有解2无解的35个，两方程都有整数解的3个：
两方程都有整数解的合数分别是c=361=19*19,589=19*31,961=31*31；
例c=361,a=180,对于方程1，令m=69和292有整数解；对于方程2，令m=56和305有整数解！
稍稍扩大了一点点c和m的取值范围，就轻松地找到了3个反例，太阳先生还有什么话可说？


两无解        两无解        两无解        1无2有        1有2无        两有解
9        375        699        21        55        361
15        377        705        39        95        589
25        385        707        49        121        961
27        387        711        57        145       
33        391        713        91        155       
35        393        715        93        205       
45        405        717        111        209       
51        407        725        129        295       
63        411        729        133        305       
65        413        731        147        319       
69        415        735        169        341       
75        423        737        183        355       
77        425        747        201        395       
81        429        749        217        445       
85        435        753        219        451       
87        437        759        237        505       
99        441        765        247        545       
105        447        767        259        551       
115        455        771        273        605       
117        459        775        291        649       
119        465        783        301        655       
123        473        785        309        671       
125        475        789        327        695       
135        477        791        343        745       
141        483        795        381        755       
143        485        799        399        779       
153        493        801        403        781       
159        495        803        417        841       
161        497        805        427        869       
165        501        807        453        895       
171        513        815        469        899       
175        515        819        471        905       
177        517        825        481        955       
185        519        833        489        979       
187        525        835        507        995       
189        527        837        511        ——       
195        529        843        543        ——       
203        531        845        553        ——       
207        533        847        559        ——       
213        535        851        579        ——       
215        537        855        597        ——       
221        539        861        633        ——       
225        549        865        637        ——       
231        555        867        651        ——       
235        561        873        669        ——       
243        565        875        679        ——       
245        567        879        687        ——       
249        573        885        703        ——       
253        575        891        721        ——       
255        581        893        723        ——       
261        583        897        741        ——       
265        585        901        763        ——       
267        591        909        777        ——       
275        595        913        793        ——       
279        603        915        813        ——       
285        609        917        817        ——       
287        611        923        831        ——       
289        615        925        849        ——       
297        621        927        871        ——       
299        623        933        889        ——       
303        625        935        903        ——       
315        627        943        921        ——       
321        629        945        931        ——       
323        635        951        939        ——       
325        639        957        949        ——       
329        645        959        973        ——       
333        657        963        993        ——       
335        663        965        ——        ——       
339        665        969        ——        ——       
345        667        975        ——        ——       
351        675        981        ——        ——       
357        681        985        ——        ——       
363        685        987        ——        ——       
365        689        989        ——        ——       
369        693        999        ——        ——       
371        697        ——        ——        ——       

yangchuanju

经查合数91=7*13，方程1无整数解，方程2有整数解；在m不大于91时方程2的整数解有4组——m=18,31,60,73，其中18+73=31+60=91；
对照组合数21=3*7，方程1无解，方程2有解，但在21以内只有2组整数解3+18；
合数39=3*13，方程1无解，方程2有解，但在39以内只有2组整数解18+21。

经再查，素数3和5当m不大于c时都只有1组整数解，其余素数如果有整数解则为2组；
合数91=7*13，7和13当m不大于c时都有2组整数解，从而导致91有4组整数解。

对于反例361=19*19，589=19*31，961=31*31，其中的素因子19和31都是两个方程都有2组整数解的素数，从而导致它们的两个方程都有整数解。
下一个两方程都有整数解的素数是61，可以猜想——
合数19*61=1159，31*61=1891，61*61=3721的整数解组数都是4组。

c=1159
a=(1159-1)/2=579
b=a^2-2c=579^2-2*1159=332923
b-c+1=332923-1159+1=331765
b+c-1=332923+1159-1=334081
a*(a+1)*(b-c+1)=111413322300
a*(a+1)*(b+c-1)=112191081420
经检查，对于方程1，当m=159,525,634,1000时都有整数解，其中159+1000=525+634=1159；
对于方程2，当m=39,571,588,1120时都有整数解，其中39+1120=571+588=1159。

太阳

方程组(一)
已知：整数a＞0，b＞0，m＞0，t＞0，2a=c-1，b=a^2-2c，
奇数c＞9，n＞0，素数p＞0
方程＝[a×(a+1)×(b-c+1)^n+m^2]/t-c＝0，有整数解
方程＝[a×(a+1)×(b+c-1)^n+m^2]/t-c＝0，有整数解
求证：c=p
a=961
方程(480*481*(228478-960)+m^2)/t=961，有整数解
m=141
方程(480*481*(228478+960)+a^2)/x=961，有整数解
a=460
是反例

yangchuanju

太阳 发表于 2024-5-27 05:17
方程组(一)
已知：整数a＞0，b＞0，m＞0，t＞0，2a=c-1，b=a^2-2c，
奇数c＞9，n＞0，素数p＞0

c=961=31*31，a=480，b=a^2-2c=228478，       
方程1有整数解m=141和820——       
(480*481*(228478-960)+141^2)/961=        54661161
(480*481*(228478-960)+820^2)/961=        54661840
方程2有整数解m=460和501——       
(480*481*(228478+960)+460^2)/961=        55122640
(480*481*(228478+960)+501^2)/961=        55122681

yangchuanju

又c=361,a=180,对于方程1，令m=69和292有整数解；对于方程2，令m=56和305有整数解！       
c=361=19*19，a=180，b=a^2-2c=31678，       
方程1有整数解m=69和292——       
(180*181*(31678-360)+69^2)/361=        2826441
(180*181*(31678-360)+292^2)/361=        2826664
方程2有整数解m=56和305——       
(180*181*(31678+360)+56^2)/361=        2891416
(180*181*(31678+360)+305^2)/361=        2891665

yangchuanju

太阳求素数公式方程组（一）
已知：整数a＞0，b＞0，m＞0，t＞0，2a=c-1，b=a^2-2c，
奇数c＞9，n＞0，素数p＞0
方程1＝[a×(a+1)×(b-c+1)^n+m^2]/t-c＝0，有整数解
方程2＝[a×(a+1)×(b+c-1)^n+m^2]/t-c＝0，有整数解
求证：c=p
对于奇素数c，可能两个方程都有整数解，或者只有一个方程有整数解，或者都没有整数解；
除素数3和5以外的奇素数，若有解则在1至c范围内一定有一对整数解，两个m的和等于c；
对于奇合数c，也可能两个方程都有整数解（为数不多），或者只有一个方程有整数解，或者都没有整数解（大部分合数都无解）；
对于奇合数c，若某个方程有整数解，则可能是2个，也可能是4个。

太阳方程组（一）方程1无解、方程2有解的合数的整数解组数：               
合数        分解式        整数解
21        3*7        2
39        3*13        2
49        7*7        2
57        3*19        2
93        3*31        2
111        3*37        2
129        3*43        2
147        3*7*7        2
169        13*13        2
183        3*61        2
201        3*67        2
219        3*73        2
237        3*79        2
291        3*97        2
309        3*103        2
327        3*109        2
343        7*7*7        2
381        3*127        2
417        3*139        2
453        3*151        2
471        3*157        2
489        3*163        2
507        3*13*13        2
543        3*181        2
579        3*193        2
597        3*199        2
633        3*211        2
669        3*223        2
687        3*229        2
723        3*241        2
813        3*271        2
831        3*277        2
849        3*283        2
921        3*307        2
939        3*313        2
993        3*331        2
91        7*13        4
133        7*19        4
217        7*31        4
247        13*19        4
259        7*37        4
273        3*7*13        4
301        7*43        4
399        3*7*19        4
403        13*31        4
427        7*61        4
469        7*67        4
481        13*37        4
511        7*73        4
553        7*79        4
559        13*43        4
637        7*7*13        4
651        3*7*31        4
679        7*97        4
703        19*37        4
721        7*103        4
741        3*13*19        4
763        7*109        4
777        3*7*37        4
793        13*61        4
817        19*43        4
871        13*67        4
889        7*127        4
903        3*7*43        4
931        7*7*19        4
949        13*73        4
973        7*139        4
               
太阳方程组（一）方程2无解、方程1有解的合数的整数解组数：               
合数        分解式        整数解
55        5*11        2
95        5*19        2
121        11*11        2
145        5*29        2
155        5*31        2
205        5*41        2
295        5*59        2
305        5*61        2
355        5*71        2
395        5*79        2
445        5*89        2
505        5*101        2
545        5*109        2
605        5*11*11        2
655        5*131        2
695        5*139        2
745        5*149        2
755        5*151        2
841        29*29        2
895        5*179        2
905        5*181        2
955        5*191        2
995        5*199        2
209        11*19        4
319        11*29        4
341        11*31        4
451        11*41        4
551        19*29        4
649        11*59        4
671        11*61        4
779        19*41        4
781        11*71        4
869        11*79        4
899        29*31        4
979        11*89        4