方程\(\frac{a^2-m^2}{c}＝b\)，没有负整数解，求证:\(c＝p\)

yangchuanju · 发表于 2024-7-10 21:08

再加上一个附加条件，b不能是幂数，又有什么用呢？

白新岭 · 发表于 2024-7-11 00:00

方程<span class="MathJax_Preview" style="color: inherit;"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1-Frame" tabindex="0" data-mathml="<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mi>c</mi></mfrac><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mo>＝</mo></mrow><mi>b</mi></math>" role="presentation" style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="8.769ex" height="3.716ex" viewBox="0 -1149 3775.4 1599.9" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -1.047ex;" aria-hidden="true"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g transform="translate(120,0)"><rect stroke="none" width="2308" height="60" x="0" y="220"></rect><g transform="translate(60,462)"><use transform="scale(0.707)" xlink:href="http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2061492&extra=page%3D1&page=2#MJMATHI-61" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.5)" xlink:href="http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2061492&extra=page%3D1&page=2#MJMAIN-32" x="748" y="513"></use><use transform="scale(0.707)" xlink:href="http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2061492&extra=page%3D1&page=2#MJMAIN-2212" x="983" y="0"></use><g transform="translate(1245,0)"><use transform="scale(0.707)" xlink:href="http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2061492&extra=page%3D1&page=2#MJMATHI-6D" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.5)" xlink:href="http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2061492&extra=page%3D1&page=2#MJMAIN-32" x="1242" y="513"></use></g></g><use transform="scale(0.707)" xlink:href="http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2061492&extra=page%3D1&page=2#MJMATHI-63" x="1415" y="-488"></use></g><g transform="translate(2548,0)"><text font-family="STIXGeneral,'Arial Unicode MS',serif" stroke="none" transform="scale(49.871) matrix(1 0 0 -1 0 0)">＝</text></g><use xlink:href="http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2061492&extra=page%3D1&page=2#MJMATHI-62" x="3345" y="0"></use></g></svg><span class="MJX_Assistive_MathML" role="presentation"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mi>c</mi></mfrac><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mo>＝</mo></mrow><mi>b</mi></math></span></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1">\frac{a^2-m^2}{c}＝b</script>，没有负整数解，求证:<span class="MathJax_Preview" style="color: inherit;"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-2-Frame" tabindex="0" data-mathml="<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>c</mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mo>＝</mo></mrow><mi>p</mi></math>" role="presentation" style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="4.03ex" height="2.326ex" viewBox="0 -750.1 1734.9 1001.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.584ex;" aria-hidden="true"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xlink:href="http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2061492&extra=page%3D1&page=2#MJMATHI-63" x="0" y="0"></use><g transform="translate(433,0)"><text font-family="STIXGeneral,'Arial Unicode MS',serif" stroke="none" transform="scale(49.871) matrix(1 0 0 -1 0 0)">＝</text></g><use xlink:href="http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2061492&extra=page%3D1&page=2#MJMATHI-70" x="1231" y="0"></use></g></svg><span class="MJX_Assistive_MathML" role="presentation"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>c</mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mo>＝</mo></mrow><mi>p</mi></math></span></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-2">c＝p</script>
http://www.mathchina.com/bbs/for ... 2&fromuid=37263
(出处: 数学中国)
一直以来，yangchuanju先生的领悟能力无人能比，如果能遇见良师益友，您的前途无可限量，必能达到一个无人能及的高度：我对yangchuanju先生的评价：字里行间有真谛，先生摸把白师启。这里的，先生就是指：yangchuanju先生。

白新岭 · 发表于 2024-7-11 00:03

也不知道咋搞的，就是乱码。或许对于英语超长者，不在话下。

太阳 · 发表于 2024-7-11 00:09

已知:整数\(a\ne0\)，\(c\ne1\)，\(m＞0\)，\(n＞1\)，\(t＞0\)
\(\sqrt[n]{b}\ne t\)，\(2m＝b-1\)，奇数\(b＞0\)，素数\(p＞0\)
方程\(\frac{a^2-m^2}{c}-b=0\)，没有负整数解
求证:\(b＝p\)
这个命题是正确，是找不到了反例的

太阳 · 发表于 2024-7-11 00:21

已知:整数\(a\ne0\)，\(c\ne1\)，\(m＞0\)，\(n＞1\)，\(t＞0\)
\(\sqrt[n]{b}\ne t\)，\(2m＝b-1\)，奇数\(b＞0\)，素数\(p＞0\)
方程\(\frac{a^2-m^2}{c}-b=0\)，没有负整数解
求证:\(b＝p\)
这个命题是正确，判断方程有没有负整数解？难度非常大，无法判断

太阳 · 发表于 2024-7-11 00:41

以前写过类似的题目，判断方程有没有负整数解？十分困难
在数学研发论坛发了一帖子，找到方程有负整数解，难度极大，计算量也大
首先找到素因子，通过大量计算，才能确定有没有负整数解？难度极大

yangchuanju · 发表于 2024-7-11 06:05

既然太阳先生方程中的参数m不能是负数，又2m=b-1，而b=2m+1要为负数，这样的参数b存在吗？
不计m，方程的负整数解中的a，b，c都必须是负数才符合要求；
既然b不存在，故方程不会有负整数解！

如果方程整数解中的b可以是正整数，仅要求a和c是负整数，那就另当别论了，
因为a取正取负不影响方程的整数解有无的问题。

若改命题中的条件2m=b-1为2m=b+1，则b=2m-1；令m=1，则b=1，仍就不是负整数解。
太阳先生的命题是一个矛盾命题，不可能有m取正，a、b、c都为负数的负整数解！

太阳 · 发表于 2024-7-11 09:41

b取奇数，m=(b-1)/2，这样就可以，b值决定m值，先取b值，后决定m值

太阳 · 发表于 2024-7-11 09:48

例子:\(\frac{a^2-38^2}{c}-77=0\)，\(a\)和\(c\)是负数，难道这个方程不是有负整数解吗？这错了吗？
例子:\(\frac{a^2-35^2}{c}-71=0\)，\(a\)和\(c\)是正整数，难道这个方程有整数解吗？这错了吗？

yangchuanju · 发表于 2024-7-11 20:57

太阳发表于 2024-7-11 09:48
例子:\(\frac{a^2-38^2}{c}-77=0\)，\(a\)和\(c\)是负数，难道这个方程不是有负整数解吗？这错了吗？
例子 ...

例子：(a^2-35^2)/c-71=0，a和c是正整数，难道这个方程有整数解吗？

请问太阳先生：
下面这些数值是不是方程(a^2-35^2)/c-71=0的整数解？
a m b c
36 35 71 1
106 35 71 141
107 35 71 144
177 35 71 424
178 35 71 429
248 35 71 849
249 35 71 856
319 35 71 1416
320 35 71 1425
390 35 71 2125
391 35 71 2136
461 35 71 2976
462 35 71 2989
532 35 71 3969
533 35 71 3984
603 35 71 5104
604 35 71 5121
674 35 71 6381
675 35 71 6400
745 35 71 7800
746 35 71 7821
816 35 71 9361
817 35 71 9384
887 35 71 11064
888 35 71 11089
958 35 71 12909
959 35 71 12936
……

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