不定方程(a^2-m^2)/(2m+1)=c的整数解

yangchuanju · 发表于 2024-7-17 21:20

m=7507，b=15015=3*5*7*11的15组负整数解及0解：
a c
137 -3752
578 -3731
787 -3712
1138 -3667
1502 -3603
2503 -3336
3217 -3064
3503 -2936
4427 -2448
4582 -2355
4868 -2175
5428 -1791
5792 -1519
6143 -1240
6793 -680
7507 0

yangchuanju · 发表于 2024-7-18 05:25

yangchuanju 发表于 2024-7-17 21:11
没有负整数解的m和b：
m b 负整数解个数分解式
1 3 0 3 is prime

有一组负整数解的m和b：
m b a 负整数解c
7 15 2 -3
10 21 4 -4
16 33 5 -7
17 35 3 -8
19 39 7 -8
22 45 13 -7
25 51 8 -11
27 55 17 -8
28 57 10 -12
31 63 4 -15
32 65 7 -15
34 69 11 -15
37 75 13 -16
38 77 17 -15
42 85 8 -20
43 87 14 -19
45 91 32 -11
46 93 16 -20
47 95 28 -15
49 99 5 -24
……

有三组负整数解的m和b：
m b a1 c1 a2 c2 a3 c3
52 105 17 -23 32 -16 38 -12
82 165 17 -39 28 -36 38 -32
97 195 7 -48 32 -43 58 -31
115 231 17 -56 38 -51 94 -19
127 255 8 -63 43 -56 77 -40
136 273 32 -64 46 -60 59 -55
142 285 28 -68 47 -63 47 -63

太阳 · 发表于 2024-7-19 11:50

负整数解是由b素因子决定的，b有3个素数子，负整数解就有3个

太阳 · 发表于 2024-7-19 11:50

负整数解是由b素因子决定的，如果b有3个素数子，负整数解就有3个

yangchuanju · 发表于 2024-7-20 08:05

不定方程(a^2-m^2)/(2m+1)=c与(a^2-m^2)/(2m-1)=c的对立和统一
b即不定方程中的分母，b=2m+1或b=2m-1；
(a^2-m^2)/(2m+1)=c，当a取0-3000，b=3时正整数解个数是1998，b不能等于1；
(a^2-m^2)/(2m-1)=c，当a取0-3000，b皆小2，个数错一格，b=1时正整数解个数是2999，b=3时才是是1998。
当b=2m±1是素数或单素数的幂数时都没有负整数解；
当不定方程有负整数解时b=2m±1是合数或多个不同素因子的幂合数；
m b=2m+1 b=2m-1 加1负整数解减1负整数解
1 3 1 0 0
2 5 3 0 0
3 7 5 0 0
4 9 7 0 0
5 11 9 0 0
6 13 11 0 0
7 15 13 1 0
8 17 15 0 1
9 19 17 0 0
10 21 19 1 0
11 23 21 0 1
12 25 23 0 0
13 27 25 0 0
14 29 27 0 0
15 31 29 0 0
16 33 31 1 0
17 35 33 1 1
18 37 35 0 1
19 39 37 1 0
20 41 39 0 1
21 43 41 0 0
22 45 43 1 0
23 47 45 0 1
24 49 47 0 0
25 51 49 1 0
26 53 51 0 1
27 55 53 1 0
28 57 55 1 1
29 59 57 0 1
30 61 59 0 0
31 63 61 1 0
32 65 63 1 1
33 67 65 0 1
34 69 67 1 0
35 71 69 0 1
36 73 71 0 0
37 75 73 1 0
38 77 75 1 1
39 79 77 0 1
40 81 79 0 0
41 83 81 0 0
42 85 83 1 0
43 87 85 1 1
44 89 87 0 1
45 91 89 1 0
46 93 91 1 1
47 95 93 1 1
48 97 95 0 1
49 99 97 1 0
50 101 99 0 1
51 103 101 0 0
52 105 103 3 0
53 107 105 0 3
54 109 107 0 0
55 111 109 1 0
56 113 111 0 1
57 115 113 1 0
58 117 115 1 1
59 119 117 1 1
60 121 119 0 1
61 123 121 1 0
62 125 123 0 1
63 127 125 0 0
64 129 127 1 0
65 131 129 0 1
66 133 131 1 0
67 135 133 1 1
68 137 135 0 1
69 139 137 0 0
70 141 139 1 0
71 143 141 1 1
72 145 143 1 1
73 147 145 1 1
74 149 147 0 1
75 151 149 0 0
76 153 151 1 0
77 155 153 1 1
78 157 155 0 1
79 159 157 1 0
80 161 159 1 1
81 163 161 0 1
82 165 163 3 0
83 167 165 0 3
84 169 167 0 0
85 171 169 1 0
86 173 171 0 1
87 175 173 1 0
88 177 175 1 1
89 179 177 0 1
90 181 179 0 0
91 183 181 1 0
92 185 183 1 1
93 187 185 1 1
94 189 187 1 1
95 191 189 0 1
96 193 191 0 0
97 195 193 3 0
98 197 195 0 3
99 199 197 0 0
100 201 199 1 0
……

yangchuanju · 发表于 2024-7-20 08:06

不定方程[a^2-(b+1)^2]/b=c与[a^2-(b-1)^2]/b=c的对立和统一
不定方程中不再出现参数m；
[a^2-(b+1)^2]/b=c，当a取0-3000，b=3时正整数解个数是1997，负整数解个数是2；
[a^2-(b-1)^2]/b=c，当a取0-3000，b=3时正整数解个数是1998，负整数解个数是1；
两个不定方程不论b是什么数，总是都有负整数解存在的；
不论b取什么样的正整数，只要a=1，总有一组负整数解——
[1^2-(b±1)^2]/b=-b±2，都是整数；
除非太阳先生另行规定整数a≠1。

太阳先生的原“素数公式”命题是(a^2-b^2-2b-1)/c-b=0，相当于不定方程[a^2-(b+1)^2]/b=c，
不定方程[a^2-(b+1)^2]/b=c不论a取什么数字，总至少有2组负整数解存在，去掉a=1还至少有有一组负整数解存在（a=b-1，c=-4)！
只有对不定方程[a^2-(b-1)^2]/b=c，去掉a=1的一组负整数解，才有b是素数或单素数的幂数时才不再有负整数解；
翻过来，没有负整数解的奇数b就是素数或单素数的幂数啦！

b b+1负整数解 b-1负整数解
1 2 0
3 2 1
5 2 1
7 2 1
9 2 1
11 2 1
13 2 1
15 4 3
17 2 1
19 2 1
21 4 3
23 2 1
25 2 1
27 2 1
29 2 1
31 2 1
33 4 3
35 4 3
37 2 1
39 4 3
41 2 1
43 2 1
45 4 3
47 2 1
49 2 1
51 4 3
53 2 1
55 4 3
57 4 3
59 2 1
61 2 1
63 4 3
65 4 3
67 2 1
69 4 3
71 2 1
73 2 1
75 4 3
77 4 3
79 2 1
81 2 1
83 2 1
85 4 3
87 4 3
89 2 1
91 4 3
93 4 3
95 4 3
97 2 1
99 4 3
101 2 1
103 2 1
105 8 7
107 2 1
109 2 1
111 4 3
113 2 1
115 4 3
117 4 3
119 4 3
121 2 1
123 4 3
125 2 1
127 2 1
……

yangchuanju · 发表于 2024-7-20 08:08

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-7-20 21:12 编辑

太阳发表于 2024-7-19 11:50
负整数解是由b素因子决定的，如果b有3个素数子，负整数解就有3个

太阳先生：
可不可以这样发帖——
素数公式还是被我们找到了！
已知整数a>1，n>1，奇数b>1，素数p≥3，b≠p^n，
不定方程[a^2-(b-1)^2]/b=c没有负整数解，
求证：b=p

太阳先生，素数公式的奖品不要独吞嗷！

太阳 · 发表于 2024-7-20 20:24

已知整数a>1，n>1，奇数b>1，素数p>3，b≠p^n，
不定方程[a^2-(b-1)^2]/b=c没有整数解，
求证：b=p
使用数学软件找不到反例，对于这个命题应该也是正确的
但是判断它没有整数解，十分困难，不能称为素数公式

yangchuanju · 发表于 2024-7-21 21:32

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-7-22 18:06 编辑

不定方程(a^2-m^2)/(2m+1)与[a^2-(b-1)^2]/b=c实际上是同一类不定方程，
因为b=2m+1，m=(b-1)/2，m^2=(b-1)^2/4，
不定方程(a^2-m^2)/(2m+1)=c实际上是[4*a^2-(b-1)^2]/b=4c；
第二个不定方程也可表示成[a^2-(b-1)^2]/b=c；
两个不定方程实际上都有一定数量的负整数解，最少的一个是c=-1或-4，
太阳先生不计及负整数解c=-1，故他认为不定方程1当2m+1=b是素数时无负整数解，
太阳先生进一步反推说，如果方程1无负整数解，则b=2m+1便是素数，否则就是合数。

如果不定方程(a^2-m^2)/(2m+1)=c有负整数解，则a不能大于m，
分解分式分子不定方程变成(a+m)*(a-m)/(2m+1)=c
不定方程的负整数解来自a-m，实际上求出(a-m)/(2m+1)=c/(a+m)的负整数解即是原不定方程的负整数解，
改写一下就变成求(m-a)/(2m+1)=c的正整数解的问题，式中a<m。
不定方程(m-a)/(2m+1)=c如果有正整数解，则2m+1是合数，否则是素数或单素数的幂数。

太阳 · 发表于 2024-7-22 10:53

已知整数a>1，n>1，奇数b>1，素数p≥3，b≠p^n，
不定方程[a^2-(b-1)^2]/b=c没有负整数解，
求证：b=p
没有负整数解，判断b是素数，找一个正整数解，判断b是合数，十分困难，难度也大

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不定方程(a^2-m^2)/(2m+1)=c的整数解

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