\(\Large\textbf{任何人给不出} N_{\infty}\textbf{的成员的必然性}\)

春风晚霞

方嘉琳《集合论》p35页
习题4:在实数集中，令\(A_n=\)(n，∞)(n=0，±1，±2，……)
求:\(\quad\displaystyle\bigcup_{n=-∞、}^∞ A_n\)及\(\displaystyle\bigcap_{n =-∞}^∞ A_n\)
​【解:】\(\quad A_n=\)(n，∞)(n=0，±1，±2，……)，\(\quad\therefore A_{|n|}\supset A_{|n+1|}\)
\(\quad\therefore\displaystyle\bigcup_{n=-∞}^∞  A_n=\)\(\left((0，-∞)\cup (-1，-∞)\cup (-2，-∞)\cup ……\cup (-k，-∞)…… \right)\)
\(\cup\)\(\left((0，∞)\cup (1，∞)\cup (2，∞)\cup……\cup (k，∞)……\right)\)
=​\(\left((0，-∞)\cup (-2，-∞)\cup ……\cup (-k，-∞)…… \right)\)
\(\cup\)\(\left((0，∞)\cup (2，∞)\cup ……\cup (k，∞)……\right)\)
……
=\(\left((0，-∞)……\cup (-k，-∞)…… \right)\)
\(\cup\)\(\left((0，∞)\
……
\cup (k，∞)……\right)\)
=(-∞，0)\(\cup\)（0，∞)=(-∞，∞）
\(\quad\therefore\displaystyle\bigcap_{n=-∞}^∞  A_n=\)\(\left((0，-∞)\cap (-1，-∞)\cap (-2，-∞)\cap ……\cap (-k，-∞)…… \right)\)
\(\cap\)\(\left((0，∞)\cap (1，∞)\cap (2，∞)\cap……\cap (k，∞)……\right)\)
\(\left(((0，-∞)\cap (0，∞))\cap ((-1，-∞)\cap (1，∞))\cap((-2，-∞)\cap (2，∞))-……\cup( (-k，-∞)\cap (k，∞))…… \right)=\phi\)
习题6:设f(x)是点集E 上的实函数，则\(\{x:f(x)=a\}=\)\(\displaystyle\bigcup_{n ∈N}\{x:a≤f(x)<a+\tfrac{1}{n}\).
【分析】要证集合A=集合B，可利用充分必要条件(即A=B\(\iff A\subseteq B且B\subseteq A\))进行证明。
【证明】(元素考察法）\(\forall y∈\{x:f(x)+a\}\implies\forall n有\{x:a≤f(y)<a+\tfrac{1}{n}\)\(\implies\)y∈\(\displaystyle\bigcap_{n ∈N}\{x:a≤f(y)<a+\tfrac{1}{n}\).
\(\implies\{x:f(x)+a\}\subseteq\displaystyle\bigcap_{n ∈N}\{x:a≤f(x)<a+\tfrac{1}{n}\).
反之\(\forall z∈\displaystyle\bigcap_{n ∈N}\{x:a≤f(x)<a+\tfrac{1}{n}\)\(\implies a≤f(z)<a+tfrac{1}{n}\implies z∈\{x:f(z)+a\}\)\(\implies\displaystyle\bigcap_{n ∈N}\{x:a≤f(x)<a+\tfrac{1}{n}\subseteq\{x:f(x)+a\}\)\(\implies\{x:f(x)+a\}=\)\(\displaystyle\bigcap_{n ∈N}\{x:a≤f(x)<a+\tfrac{1}{n}\)【证毕】

春风晚霞

elim 发表于 2024-8-16 01:59
集论白痴蠢疯顽瞎无法面对以下事实的根本原因，是因为种太孬：
因 \(m\not\in\small\displaystyle\bigg(\b ...

我以决意退出论坛，望先生自重。学术上的分歧并不重要，还望先生不要乘人之危赶尽杀绝。再过四小时后，若先生还要单方缠斗，我将认为先生侵权。望先生做人不要过分，小胜即可！

elim

集论白痴蠢疯顽瞎无法面对以下事实的根本原因，是因为种太孬：
因 \(m\not\in\small\displaystyle\bigg(\bigcap_{n< m}A_n\bigg)\cap A_m\cap\bigg(\bigcap_{n>m}A_n\bigg)=N_{\infty}\), 对任意\(m\in\mathbb{N}_+\) 均成立，
故 \(N_{\infty}=\varnothing.\)   所以孬种的任何\(N_{\infty}\)非空的’证明’都是痴人说梦．
既然\(N_{\infty}\)是空集，蠢疯当然给不出其成员．
正是：顽瞎力挺[蠢可达], 蠢疯死磕周民强. 集论白痴自捣蛋，归根结底种太孬

elim

主贴的等价关系可以用来定义极限集。这对熟悉数学
分析的函数列极限却对集论比较无感的网友很有帮助。
集列收敛当且仅当相应的特征函数列逐点收敛。
这件事导致极限集的\(\small N\text{-}\scriptsize\in\) 定义：
【定义】设\(\small\{E_n\},\;E\) 是\(\small\Omega\) 的子集合和子集序列，若
\(\forall x\in\small\Omega\,\exists N_x\,\forall n>N_x\,(x\in (E_n\cap E)\cup(E_n\cup E)^c)\)
则称\(\small\{E_n\}\)收敛到\(\small E\). 记作 \(\small\displaystyle\lim_{n\to\infty}E_n=E\,\)或\(\small\, E_n\to E.\)