梅森素数特别判定法

yangchuanju

令p=13，2^13-1=8191，r=1,2,3,……,4095，余数表为——                                               
r=r1        r2        r3        r4        r5        r6        (r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)
128        0        -2        2        2        2        0
1624        8063        0        -2        2        2        849193214
3470        128        0        -2        2        2        17700308222
0个数        1        2        4        8        16        大于0的个数是2

不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^13-1)=c有正整数解，则2^13-1是素数；
已求出方程的2个r3=0解，r=1624,3470，另2个可根据8191-1624=和8191-3470=求出，
全部余数之中，只有r2-r12之中都有余数0，个数分别为1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024再分别乘以2。

yangchuanju

令p=15，2^15-1=32767，r=1,2,3,……,16383，余数表为——                                               
r=r1        r2        r3        r4        r5        r6        (r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)
256        0        -2        2        2        2        0
5541        0        -2        2        2        2        0
8502        0        -2        2        2        2        1.59459E+11
13787        0        -2        2        2        2        1.10266E+12
16308        13890        2        2        2        2        2.15857E+12
4682        32766        32766        32766        32766        32766        14665229949
0个数        4        0        0        0        0        55

不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^15-1)=c在r=3-16383之间有55个正整数解（0表示无整数解），2^15-1虽是合数，但又有多组整数解，判断法不可用；
已求出方程的4个r2=0解，r=256,5541,8502,13787，还可根据32767-256=等关系求出4个0解，
全部余数之中，只有r2中有余数0，其余r3及以后都没有余数0。
主楼所说的判断法不适用于非梅森数的判定，但可用于梅森数的素合性判定。

以上所给结论是错误的，本来该系列没有正整数解，但由于计算误差错误地给出55个整数解，实际上它们都不是真正的整数，是四舍五入造成的假整数；
主楼给出的结论还是正确的，该判断法还是对非梅森数有效，不仅仅适用于配对梅森数的素合性！

太阳

不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^127-1)=c，2^127-1是素数，是否能快速找到整数解？
试除多少次？求出r最小值，找到整数解？

太阳

不定方程\(\left( r^4-4r^2+2\right)\div\left( 2^{127}-1\right)=c\)
求出\(r\)最小值，找到整数解，也是很困难的，难度大

yangchuanju

如果继续求下去，对于梅森素数2^17-1,2^19-1,2^31-1,2^61-1,2^127-1,……，不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)=c都有正整数解；
对于梅森合数2^23-1,2^29-1,2^37-1,2^41-1,2^43-1,……，不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)=c都没有正整数解；
对于非梅森数2^21-1,2^25-1,2^27-1,2^33-1,2^35-1,……，不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)=c也都没有正整数解；
结论——
对于不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)=c，如果有正整数解的2^p-1是素数，反之没有正整数解的2^p-1是合数！（P≥3的正整数）

太阳

不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^127-1)=c，2^127-1是素数，是否能快速找到整数解？
试除多少次？求出r最小值，找到整数解？
如果求r最小值，难度大，很难找到整数解，判断2^p-1大素数难度也是很大
1楼主帖，如果命题是正确，寻找2^p-1大素数有很大帮助，有很高科研价值
这个命题不可能是正确，肯定是错误的命题
方程有整数解，合数的素因子构成整数解，素数也构成整数解，整数解越多，基本上判断是合数

yangchuanju

太阳 发表于 2024-9-3 23:21
不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^127-1)=c，2^127-1是素数，是否能快速找到整数解？
试除多少次？求出r最小值， ...

2^127-1素性判定次数
试除法
直接用2^127-1平方根以内的奇数试除，最多2^63.5/2次≈6.5219*10^18；
直接用2^127-1平方根以内的素数试除，最多2^63.5/ln(2^63.5)≈2.9635*10^17次；
仅用2^127-1平方根以内的模8余7和余1的素数试除，最多≈2.9635*10^17/2次；
仅用2^127-1平方根以内的254k+1型素数试除，最多≈***次？
仅用2^127-1平方根以内的127k*2+1,127k*8+1,127k*10+1,127k*16+1,……127k*(8n+2)+1,127k*8n型素数试除，最多≈***次？

LL检验法
只用126次。

不定方程(r^4-4*r2+2)/(2^127-1)=c有无正整数解法
比直接用2^127-1平方根以内的奇数试除的最多2^63.5/2次≈6.5219*10^18次还要多的多，全试一遍要2^127-1次，仅试一半数字还要2^126次。

太阳

已知：整数r，整数c>0，素数p≥3，1≤r≤2^p-1，
求证：如果(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)=c，则2^p-1是素数；否则如果(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)≠c，则2^p-1是合数。
命题是错误的，找到一个反例
(r^4-4*r^2+2)/(2^23-1)=c，r=555182

yangchuanju

太阳 发表于 2024-9-4 13:46
已知：整数r，整数c>0，素数p≥3，1≤r≤2^p-1，
求证：如果(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)=c，则2^p-1是素数；否 ...

的确是一个反例，猜想不成立！

太阳