请证明mk是梅森素数

太阳 · 发表于 2024-10-24 07:42

梅森素数M3、M5、M7、M13、M17、M19、M31、M61、
M89、M107、M127，M521，M607、M1279，等等，12组整数解，有2组正整数解
2^k-1，梅森二合数，k=37，67，101，103，139，269，271，281
373，379，457，881，1063，1637，4243，有4组正整数解
梅森三合数，没有找到整数解

yangchuanju · 发表于 2024-10-24 13:23

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-10-24 18:54 编辑

梅森素数127的12组整数解构成
a^2+ab+b^2-127=0
当a只取正号时，a=(4*127-3b^2)^0.5/2-b/2，
当b也只取正号时由a=(4*127-3b^2)^0.5/2-b/2算得
b a
6 7
7 6
13 -6
在a计算式第1项取负号时有
b a
6 -13
7 -13
13 -7
在b可取负号时有
b a
-6 13
-7 13
-13 7
-6 -7
-7 -6
-13 6
共12组整数解，其中正整数解2组；
对于原方程，两个参变量a和b是等同的，可以互换，
然互换后没有新的整数解出现，仍是12组。

太阳 · 发表于 2024-10-24 13:55

本帖最后由太阳于 2024-10-24 14:27 编辑

yangchuanju 发表于 2024-10-24 13:23
当b也只取正号时由a=(4*127-3b^2)^0.5/2-b/2算得
b a
6 7

\(k\)取素数，\(c＝2^k-1\)，判断方程\(a^2+ab+b^2-c=0\)是否有正整数解？
如果不能快速判断它是否有正整数解？判断梅森素数难度大
k取值变大，a最大值可能是小于\(\sqrt{2^k-1}\)，a最大值接近\(\sqrt{2^k-1}\)

太阳 · 发表于 2024-10-24 17:29

yangchuanju 发表于 2024-10-24 13:23
当b也只取正号时由a=(4*127-3b^2)^0.5/2-b/2算得
b a
6 7

a=(4*127-3b^2)^0.5/2-b/2算得
如何算出a=7，b=6，这两个值？

yangchuanju · 发表于 2024-10-25 05:43

对于太阳命题a^2+ab+b^2-c=0,
当c=7,31,127时分别有12组整数解；
经计算知当c=7*31=217,7*127=889,31*127=3937时分别有24组整数解；
而当c=7*31*127=27559时有48组整数解。

yangchuanju · 发表于 2024-10-25 06:03

2^29-1的第3素因子2089，2^43-1的第3素因子2099863，对于太阳命题a^2+ab+b^2-c=0各有12组整数解；
二因子积4386613807就有24组整数解；
二因子积再分别乘以7,31,127各有48组整数解；
二因子积乘以7*31有96组整数解；
二因子积乘以7*31*127有192组整数解；……

yangchuanju · 发表于 2024-10-25 06:32

2^37-1的一二三级平方减2整数解——
一级不定方程 (r^2-2)/(2^37-1)=c
二级不定方程 (r^4-4*r^2+2)/(2^37-1)=c
三级不定方程 ((r^4-4*r^2+2)^2-2)/(2^37-1)=c
r 一级二级三级
524288 0
137438429183 0
51771251156 0
85667702315 0
16737334630 524288 0
44278164893 524288 0
93160788578 524288 0
120701618841 524288 0
40157425356 51771251156 0
67698255619 51771251156 0
69740697852 51771251156 0
97281528115 51771251156 0
11919966872 85667702315 0
49095532651 85667702315 0
88343420820 85667702315 0
125518986599 85667702315 0
35340057598 137438429183 0
64923330094 137438429183 0
72515623377 137438429183 0
102098895873 137438429183 0
10214003326 16737334630 524288 0
46487268958 16737334630 524288 0
90951684513 16737334630 524288 0
127224950145 16737334630 524288 0
12352375079 44278164893 524288 0
44348897205 44278164893 524288 0
93090056266 44278164893 524288 0
125086578392 44278164893 524288 0
11446639680 93160788578 524288 0
47719905312 93160788578 524288 0
89719048159 93160788578 524288 0
125992313791 93160788578 524288 0
13585011433 120701618841 524288 0
45581533559 120701618841 524288 0
91857419912 120701618841 524288 0
123853942038 120701618841 524288 0
4050821556 40157425356 51771251156 0
40324087188 40157425356 51771251156 0
97114866283 40157425356 51771251156 0
133388131915 40157425356 51771251156 0
6189193309 67698255619 51771251156 0
38185715435 67698255619 51771251156 0
99253238036 67698255619 51771251156 0
131249760162 67698255619 51771251156 0
8891860161 69740697852 51771251156 0
27381405471 69740697852 51771251156 0
110057548000 69740697852 51771251156 0
128547093310 69740697852 51771251156 0
6753488408 97281528115 51771251156 0
25243033718 97281528115 51771251156 0
112195919753 97281528115 51771251156 0
130685465063 97281528115 51771251156 0
23815753635 11919966872 85667702315 0
56921927552 11919966872 85667702315 0
80517025919 11919966872 85667702315 0
113623199836 11919966872 85667702315 0
8673255963 49095532651 85667702315 0
48028016321 49095532651 85667702315 0
89410937150 49095532651 85667702315 0
128765697508 49095532651 85667702315 0
22583117281 88343420820 85667702315 0
55689291198 88343420820 85667702315 0
81749662273 88343420820 85667702315 0
114855836190 88343420820 85667702315 0
9905892317 125518986599 85667702315 0
49260652675 125518986599 85667702315 0
88178300796 125518986599 85667702315 0
127533061154 125518986599 85667702315 0
29978935405 35340057598 137438429183 0
63085109322 35340057598 137438429183 0
74353844149 35340057598 137438429183 0
107460018066 35340057598 137438429183 0
42921617122 64923330094 137438429183 0
61411162432 64923330094 137438429183 0
76027791039 64923330094 137438429183 0
94517336349 64923330094 137438429183 0
2510074193 72515623377 137438429183 0
41864834551 72515623377 137438429183 0
95574118920 72515623377 137438429183 0
134928879278 72515623377 137438429183 0
10432607524 102098895873 137438429183 0
28922152834 102098895873 137438429183 0
108516800637 102098895873 137438429183 0
127006345947 102098895873 137438429183 0

yangchuanju · 发表于 2024-10-25 06:35

2^37-1的一级、二级、三级整数解个数分别是4、8、64组。
太阳先生仅作为“反例”找到了一个三级整数解呀！

yangchuanju · 发表于 2024-10-25 06:55

2^37-1两素因子223和616318177的1 2 3级整数解分别为2 4 8个——
223 616318177
一级整数解各2个
15 524288
208 615793889
二级整数解各4个
54 96743851
87 96743851
136 519574326
169 519574326
三级整数解各8个
19 26011539
49 44801485
85 220655268
111 263405683
112 352912494
138 395662909
174 571516692
204 590306638
两两组合得二因子积的整数解分别为4,16,64个。

yangchuanju · 发表于 2024-10-25 07:06

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-10-25 07:07 编辑

一些小梅森数的1 2 3级整数解个数——
k=47中的问号可能是64，
k=113,151中的问号不知，
其余问号可能是16。
k 素性一级整数解二级整数解三级整数解
3 素数 2 0 0
5 素数 2 4 8
7 素数 2 4 8
11 2合数 4 0 0
13 素数 2 4 8
17 素数 2 4 8
19 素数 2 4 8
23 2合数 4 16 0
29 3合数 8 0 0
31 素数 2 4 8
37 2合数 4 16 64
41 2合数 4 0 0
43 3合数 8 0 0
47 3合数 8 ? 0
53 3合数 8 0 0
59 2合数 4 ？ 0
61 素数 2 4 8
67 2合数 4 0 0
71 3合数 8 0 0
73 3合数 8 0 0
79 3合数 8 0 0
83 2合数 4 0 0
89 素数 2 4 8
97 2合数 4 0 0
101 2合数 4 ? 0
103 2合数 4 0 0
107 素数 2 4 8
109 2合数 4 0 0
113 5合数 ? 0 0
127 素数 2 4 8
131 2合数 4 0 0
137 2合数 4 ? 0
139 2合数 4 ? 0
149 2合数 4 ? 0
151 5合数 ? 0 0

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