\(\Large\textbf{群环域简介}\)

elim

从数学基础的视角看，数是某些代数系统(群环域)的成员的统称。所以
要理解数，严格地需要了解代数系统。关于代数系统的研究，是近代数
学家哲学家开始的。他们的工作的本质是对存在并应用了几千年的数学
活动，研究的数的直觉认知进行逻辑梳理。
以下是一些定义. 这些内容可以在【集合论】和【抽象代数/近世代数】
教科书中找到.  我贴在这里是要提供一个尽可能简单的介绍.

集合\(A\)与\(B\)的直积是集合\(A\times B:=\{(a,b)\mid a\in A, \,b\in B\}\)
称 \(f\)为\(A\)到\(B\)的映射, 记作 \(f: A\to B\), 如果以下三条成立：
\((1)\quad f\subset A\times B\) 即 \(f\) 是 \(A\times B\) 的子集(\(A\)到\(B\)的关系)．
\((2)\quad \forall a\in A\,\exists b\in B\,((a,b)\in f)\) 即\(A\)的元皆参与了关系\(f\)．
\((3)\quad (a,b),(a,c)\in f\implies b=c.\;\)即\(b\)由\(a,\;f\)唯一确定，
记作\(b=f(a).\)   记\(A\)到\(B\)的映射全体(集合)为\(B^A.\)

称 \(f(E):=\{f(x)\mid x\in E\},\;(E\subset A)\) 为\(E\)在\(f\)下的像．
设 \(f\in B^A,\)   若\(x\ne y\implies  f(x)\ne f(y)\;(\forall x,y\in A)\)
则称\(f\)为单射；若 \(f(A)=B\),  则称\(f\)为满射．
既单又满的映射叫作双射或1-1对应．此时称 \(A,B\)
对等．称彼此对等的集合具有相同的基数．故基数是对等这一
等价关系下的等价类．
\(A^n = \{(a_1,\ldots, a_n)\mid a_k\in A\;(k=\overline{1,n})\}\) 到 \(A\) 的映射叫作
\(A\) 的\(n\) 元运算。
【定义】集合\(S\)称为归纳集，如果它满足以下条件
\(\qquad(\varnothing\in S)\wedge\big((E\in S)\implies (E\cup\{E\}\in S)\big)\)
【注记】归纳集是集合论中的一个概念，集合论只有一种
数学对象：集合。故\(S\)的元素\(E\)仍是集合,\(\small E\cup\{E\}\)
有意义. 归纳集是含空集且含其每个元的[后继]的集合。
【无穷公理】归纳集存在。记 \(\varnothing\) 为 \(0\).
令\(\mathbb{N} = \displaystyle{\small\bigcap}\{S\mid S 为归纳集\}\), 则 \(\mathbb{N}\) 是最小归纳集。
称 \(s:\;\mathbb{N}\to\mathbb{N}\;\big(n\mapsto s(n) = n\cup\{n\}\big)\) 为\(\mathbb{N}\)上的后继映射.
Peano 公理在这种语境下可以称述为
\((p_1)\quad\forall n\in\mathbb{N}\,\exists!\,n'\;(s(n) = n');\)  (\(s\) 是映射)
\((p_2)\quad\forall n\in\mathbb{N}\,(s(n)\ne 0);\)   (\(0\)不是后继)
\((p_3)\quad (s(x)=s(y))\implies (x=y);\)   (\(s\) 是单射)\(\\\)
\((p_4)\quad\small\forall S\subset\mathbb{N}\,\big(((0\in S)\wedge(n\in S\implies s(n)\in S))\implies(S=\mathbb{N})\big)\)
\(\qquad\quad(\mathbb{N}\)是最小归纳集, 数学归纳法原理)
【证】令 \(S=\{0\}\cup s(\mathbb{N})\). 则易见 \(0,\,s(0)\in S.\) 又若
\(\qquad\;\,0\ne n\in S,\)则有\(m\in\mathbb{N}\)使\(n=s(m)\in s(\mathbb{N})\),
\(\qquad\subset\mathbb{N},\;\;\therefore s(n)\in s(\mathbb{N})\subset S.\)据 (p_4), \(S=\mathbb{N}\)
\(\qquad\;\)此即 \(s(\mathbb{N})=\mathbb{N}-\{0\}.\small\quad\square\)

以下建立\(\mathbb{N}\)中的算术. 简记\(s(n)\)为\(n'\).
【加法】定义 \((a_1)\quad n + 0 = n,\qquad(a_2)\quad n+m'=(n+m)'\)
【注记】令 \(S=\{m\in\mathbb{N}: n+m\,\text{有定义}\,(\forall n\in\mathbb{N})\}\), 据\((a_1)\),
\(\qquad\quad\;0\in S,\) 且由\((a_2)\)知\(\,m\in S\implies m'\in S\). 据\((p_4)\),
\(\qquad\quad\;S = \mathbb{N}\) 即\((a_1),(a_2)\) 定义了\(\mathbb{N}\)中任意二成员的和.

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【A1】(加法结合律) \(\forall x,y,z\in\mathbb{N}\,(x+(y+z)=(x+y)+z)\)
【证】令 \(S = \{z\in\mathbb{N}\mid \forall x,y\in\mathbb{N}\;\big(x+(y+z)=(x+y)+z\big)\}\)
\(\text{(i)}\;\because\;\;x+(y+0) = x+y = (x+y)+0,\quad\therefore\;\;0\in S.\)
\(\text{(ii)}\,\because\color{red}{\;x+(y+z')}\overset{(a_2)}{=}x+(y+z)'\overset{(a_2)}{=}(\color{blue}{x+(y+z))'}\)
\(\quad\;\;\overset{z\in S}{=}((\color{blue}{x+y)+z)'}\overset{(a_2)}{=}\color{red}{(x+y)+z'.}\;\therefore\,z\in S\implies z'\in S\)
\(\therefore\quad S=\mathbb{N},\quad\forall x,y,z\in\mathbb{N}\,(x+(y+z)=(x+y)+z)\quad\square\)
【A2】(加法交换律) \(\forall x,y,\in\mathbb{N}\,(x+y=y+x)\)
【证】令 \(1=0',\;T=\{n\in\mathbb{N}\mid n+1=1+n\},\)
\(\qquad\;S = \{y\in\mathbb{N}\mid \forall x\in\mathbb{N}\;\big(x+y=y+x\big)\}\)
\(\because\quad\;0+1\overset{1=0'}{=}0+0'\overset{(a_2)}{=}(0+0)'\overset{(a_1)}{=}0'\overset{1=0'}{=}1\overset{(a_1)}{=}1+0,\)
\(\therefore\quad\; 0\in T.\) 假定 \(1+y \overset{y\in T}{=} y+1= y+0' = (y+0)'=y',\)则
\(\qquad\;1+y'=(1+y)'=(y+1)'=(y')'=y'+1,\;T=\mathbb{N}\)
\(\qquad\)注意到\(0+0=0+0,\,(0+x=x+0)\implies \)
\(\qquad 0+x'=(0+x)'=(x+0)'=x'=x'+0\)
\(\qquad\)即 \(0\in S,\) 假定 \(y\in S,\) 则 \(x+y'=x+(y+1)\)
\(\qquad\overset{(A_1)}{=}(x+y)+1\overset{y\in S}{=}(y+x)+1\overset{(y+x)\in T}{=\hspace{-2px}=\hspace{-2px}=}1+(y+x)\)
\(\qquad\overset{(A_1)}{=}(1+y)+x\overset{y\in T}{=}y'+x.\quad\square\)

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自然数是叫作有加法乘法幺元\(0,\,1\)的有序交换半环\((\mathbb{N},\,+,\,\cdot)\)的论域
\(\mathbb{N}\)的成员的统称. 为完成自然数的定义，引入了集合，映射的概念,
引入了归纳集,\(\mathbb{N}\), 无穷公理, peano 自然数公理，peano 算术.
本贴将完成所需要的全部定义及构造从而完成自然数的完整定义. 整数环
\(\mathbb{Z},\)有理数域\(\mathbb{R}\) 将以自然数半环的逐次代数扩充被引入.

【A3】(加法消去律)\(\forall x,y,z\in\mathbb{N}\;\big((x+z=y+z)\implies (x=y)\big)\)
【证】令 \(S=\{z\in\mathbb{N}:\;\forall x,y\in\mathbb{N}\,(x+z=y+z)\implies(x=y)\}\)\(\\\)
\(\qquad\,\)易见 \(0\in S.\)设 \(z\in S,\)则 \((x+z'=y+z')\implies (x+z)'=(y+z)'\)
\(\qquad\;\overset{p_3}{\implies}{x+z=y+z}\overset{z\in S}{\implies}(x=y)\)即\(z'\in S.\;\therefore\; S=\mathbb{N}\quad\square\)

【乘法】定义 \((m_1)\;n\times 0=0,\quad(m_2)\;n\times m'=n\times m+n\)

未完待编辑