\(\Large\textbf{有限是一个递归性质}\)

春风晚霞

elim孬种，实数理论、集合论、超穷数理论均是康托尔完善的，你的歪理邪说是不自洽的。peano公理与康托尔实正整数生成法则是一致的。peano公理提出时间为：1889年，而康托尔实正整数生成法则提出时间为：1879-1883年。所以elim说的【康托的序数理论和基数理论都引入了对应的算术并确立了超穷数的存在】是不对的。严格地讲，康托尔和皮亚诺对算术理论的发展和完善都作出不朽的贡献。所以elim扬皮抑康的谘法是不对的。对天康托尔有穷基数的无穷序列：1，2，…，\(\nu\)，\(\omega+1\)，\(\omega+2\)，…，\(\omega+\nu\)，2\(\omega+1\)，2\(\omega+2\)，……，根据康托尔的实正整截段理论，\(\omega\)，2\(\omega\)，3\(\omega\)，……的数学意义和地位与\(\mathbb{N}\)中的0一样只有后继而没有前趋。【基数序数（即康托尔实正整理论）虽然都\(\mathbb{N}\)的序扩充，但其算术与Peano 算术均不一致】这只是elim用小学一年级的有限（20以内的自然数）去理解小学四年级无限一样。Elim你说这两者能一样吗？

春风晚霞

elim孬种，实数理论、集合论、超穷数理论均是康托尔完善的，你的歪理邪说是不自洽的。peano公理与康托尔实正整数生成法则是一致的。peano公理提出时间为：1889年，而康托尔实正整数生成法则提出时间为：1879-1883年。所以elim说的【康托的序数理论和基数理论都引入了对应的算术并确立了超穷数的存在】是不对的。严格地讲，康托尔和皮亚诺对算术理论的发展和完善都作出不朽的贡献。所以elim扬皮抑康的谘法是不对的。对天康托尔有穷基数的无穷序列：1，2，…，\(\nu\)，\(\omega+1\)，\(\omega+2\)，…，\(\omega+\nu\)，2\(\omega+1\)，2\(\omega+2\)，……，根据康托尔的实正整截段理论，\(\omega\)，2\(\omega\)，3\(\omega\)，……的数学意义和地位与\(\mathbb{N}\)中的0一样只有后继而没有前趋。【基数序数（即康托尔实正整理论）虽然都\(\mathbb{N}\)的序扩充，但其算术与Peano 算术均不一致】这只是elim用小学一年级的有限（20以内的自然数）去理解小学四年级无限一样。Elim你说这两者能一样吗？

春风晚霞

elim孬种，实数理论、集合论、超穷数理论均是康托尔完善的，你的歪理邪说是不自洽的。peano公理与康托尔实正整数生成法则是一致的。peano公理提出时间为：1889年，而康托尔实正整数生成法则提出时间为：1879-1883年。所以elim说的【康托的序数理论和基数理论都引入了对应的算术并确立了超穷数的存在】是不对的。严格地讲，康托尔和皮亚诺对算术理论的发展和完善都作出不朽的贡献。所以elim扬皮抑康的谘法是不对的。对天康托尔有穷基数的无穷序列：1，2，…，\(\nu\)，\(\omega+1\)，\(\omega+2\)，…，\(\omega+\nu\)，2\(\omega+1\)，2\(\omega+2\)，……，根据康托尔的实正整截段理论，\(\omega\)，2\(\omega\)，3\(\omega\)，……的数学意义和地位与\(\mathbb{N}\)中的0一样只有后继而没有前趋。【基数序数（即康托尔实正整理论）虽然都\(\mathbb{N}\)的序扩充，但其算术与Peano 算术均不一致】这只是elim用小学一年级的有限（20以内的自然数）去理解小学四年级无限一样。Elim你说这两者能一样吗？

春风晚霞

elim 发表于 2025-1-31 00:13
康托是包括序数理论,基数理论的集合论的创始人, 但不
是集合论的完善者.他用柯西有理数序列构造了实数域.  ...

       elim于2025-1-31 00:13发帖（其实仍是宿帖），为防elim耍赖，故将其全文抄录于后。elim称：【康托是包括序数理论,基数理论的集合论的创始人, 但不是集合论的完善者[1].他(指康托尔)用柯西有理数序列构造了实数域.所谓构造实数域, 就是给出具体的代数结构使之满足实数域公理.实数域公理定义了何谓实数域[2], 而实数域构造则证明满足公理的结构的存在性.  抽象代数证明了满足实数公理的诸构造是代数同构的.  所以本质上只有一个实数域，没有完善实数域这回事[3].康托没有称包括无穷序数的良序集Ω的成员为自然数，因为他清楚Ω是\(\mathbb{N}\)的序扩充但不是代数扩充: 若Ω能代数扩充为整数环\(\mathbb{Z}\), 则方程n+1=\(\omega\)就应该在Ω中有解.但这是不可能的[4]，对畜生不如的蠢疯更不可能.所以康托的序数, 基数根基念与自然数概念彼此不可取代，超穷序数的存在不蕴含超限自然数的存在[5]．无论孬种蠢疯咋扑腾，他仍为畜生中的孬种, 孬种里的畜生。】现仅就elim的胡说八道，分层次回复于后：
       [1]、是的，【康托是包括序数理论,基数理论的集合论的创始人, 但不是集合论的完善者】。那么集合论的最终完善者是谁呢？数学人都知道，集合论是在数学公理化基础上由逐步完善的。参与逐步完善集合论工作的学者较多，不过绝对没有elim这样的学渣！因为任何一本介绍集合论的专著和论文中都找不到【无穷交就是一种骤变】这样的非数学论述！
       [2]、学渣elim认为康托尔【用柯西有理数序列构造了实数域.所谓构造实数域, 就是给出具体的代数结构使之满足实数域公理.实数域公理定义了何谓实数域】，康托尔用谁的理论【构造出【所谓构造实数域】在现行的代数理论中没有专门介绍。北京大学徐竟、徐明曜著《近世代数初步》一书称英国数学家亚瑟、凯茉（Arthur Cayley 1821-1895）是群、环、域理论的带头人（参见该书P27页），因此elim的康托尔【用柯西有理数序列构造了实数域.所谓构造实数域】值得商榷。
       [3]、什么是数域？,北大数学教材《近世代数初步》P36页、《高等代数》P2、北工大《基础代数》P250页、北师大《近世代数基础》P89页……都认为“若数集F对代数运算（加、减、乘、除（除数不能为零）封闭，则称数集F（连同其运算）为数域”。并且这些教科书在相应的章节给出了同构、同态等定义。但都没有数域不含超穷数的说法。更没有完善数域与不完善数域的提法。
       [4]、elin的【自然数皆有限数】不是\(\mathbb{N}\)是数域或其子域的立论基础。因为数集\(\mathbb{N}\)对算术运算（加、减法）都不封闭，所以数集\(\mathbb{N}\)连环都不是，当然更谈不上是域了。至于elim的“反例”【方程n+1=\(\omega\)就应该在Ω中有解】，是elim对\(\omega\)的无知（对这个问题读都可参阅康托尔著《超穷数理论基础》43页）。
        [5]、自然数是Giuseppe Peano体系中的概念，它与康托尔实正整数理论是一致的。它们相互兼容，谈不上谁取代谁的问题。
       最后说说畜生elim刚愎自用，既无数学素养，也无人伦素养。你妈的巴子，你我年龄相两代，就是你的父母也不会像你这样口无遮拦，骂老子【畜生中的孬种, 孬种里的畜生】。再者学术上的分歧与你他妈的是孬种还是野种，是畜生还是人渣有多大的联系？

春风晚霞

       elim于2025-1-31 00:13发帖（其实仍是宿帖），为防elim耍赖，故将其全文抄录于后。elim称：【康托是包括序数理论,基数理论的集合论的创始人, 但不是集合论的完善者[1].他(指康托尔)用柯西有理数序列构造了实数域.所谓构造实数域, 就是给出具体的代数结构使之满足实数域公理.实数域公理定义了何谓实数域[2], 而实数域构造则证明满足公理的结构的存在性.  抽象代数证明了满足实数公理的诸构造是代数同构的.  所以本质上只有一个实数域，没有完善实数域这回事[3].康托没有称包括无穷序数的良序集Ω的成员为自然数，因为他清楚Ω是\(\mathbb{N}\)的序扩充但不是代数扩充: 若Ω能代数扩充为整数环\(\mathbb{Z}\), 则方程n+1=\(\omega\)就应该在Ω中有解.但这是不可能的[4]，对畜生不如的蠢疯更不可能.所以康托的序数, 基数根基念与自然数概念彼此不可取代，超穷序数的存在不蕴含超限自然数的存在[5]．无论孬种蠢疯咋扑腾，他仍为畜生中的孬种, 孬种里的畜生。】现仅就elim的胡说八道，分层次回复于后：
       [1]、是的，【康托是包括序数理论,基数理论的集合论的创始人, 但不是集合论的完善者】。那么集合论的最终完善者是谁呢？数学人都知道，集合论是在数学公理化基础上由逐步完善的。参与逐步完善集合论工作的学者较多，不过绝对没有elim这样的学渣！因为任何一本介绍集合论的专著和论文中都找不到【无穷交就是一种骤变】这样的非数学论述！
       [2]、学渣elim认为康托尔【用柯西有理数序列构造了实数域.所谓构造实数域, 就是给出具体的代数结构使之满足实数域公理.实数域公理定义了何谓实数域】，康托尔用谁的理论【构造出【所谓构造实数域】在现行的代数理论中没有专门介绍。北京大学徐竟、徐明曜著《近世代数初步》一书称英国数学家亚瑟、凯茉（Arthur Cayley 1821-1895）是群、环、域理论的带头人（参见该书P27页），因此elim的康托尔【用柯西有理数序列构造了实数域.所谓构造实数域】值得商榷。
       [3]、什么是数域？,北大数学教材《近世代数初步》P36页、《高等代数》P2、北工大《基础代数》P250页、北师大《近世代数基础》P89页……都认为“若数集F对代数运算（加、减、乘、除（除数不能为零）封闭，则称数集F（连同其运算）为数域”。并且这些教科书在相应的章节给出了同构、同态等定义。但都没有数域不含超穷数的说法。更没有完善数域与不完善数域的提法。
       [4]、elin的【自然数皆有限数】不是\(\mathbb{N}\)是数域或其子域的立论基础。因为数集\(\mathbb{N}\)对算术运算（加、减法）都不封闭，所以数集\(\mathbb{N}\)连环都不是，当然更谈不上是域了。至于elim的“反例”【方程n+1=\(\omega\)就应该在Ω中有解】，是elim对\(\omega\)的无知（对这个问题读都可参阅康托尔著《超穷数理论基础》43页）。
        [5]、自然数是Giuseppe Peano体系中的概念，它与康托尔实正整数理论是一致的。它们相互兼容，谈不上谁取代谁的问题。
       最后说说畜生elim刚愎自用，既无数学素养，也无人伦素养。你妈的巴子，你我年龄相两代，就是你的父母也不会像你这样口无遮拦，骂老子【畜生中的孬种, 孬种里的畜生】。再者学术上的分歧与你他妈的是孬种还是野种，是畜生还是人渣有多大的联系？

elim

康托是包括序数理论,基数理论的集合论的创始人, 但不
是集合论的完善者.他用柯西有理数序列构造了实数域.
所谓构造实数域, 就是给出具体的代数结构使之满足实
数域公理.实数域公理定义了何谓实数域, 而实数域构造
则证明满足公理的结构的存在性.  抽象代数证明了满足
实数公理的诸构造是代数同构的.  所以本质上只有一个
实数域，没有完善实数域这回事.
康托没有称包括无穷序数的良序集\(\Omega\)的成员为自然数，
因为他清楚\(\Omega\)是\(\mathbb{N}\)的序扩充但不是代数扩充: 若\(\Omega\)能代
数扩充为整数环\(\mathbb{Z}\), 则方程\(n+1=\omega\)就应该在\(\Omega\)中有解.
但这是不可能的，对畜生不如的蠢疯更不可能.
所以康托的序数, 基数概念与自然数概念彼此不可取代.
超穷序数的存在不蕴含超限自然数的存在．
无论孬种蠢疯咋扑腾，他仍为畜生中的孬种, 孬种里的畜生

春风晚霞

       elim于2025-1-31 22:52再发宿帖），为防elim耍赖，故将其全文抄录于后。elim称：【康托是包括序数理论,基数理论的集合论的创始人, 但不是集合论的完善者[1].他(指康托尔)用柯西有理数序列构造了实数域.所谓构造实数域, 就是给出具体的代数结构使之满足实数域公理.实数域公理定义了何谓实数域[2], 而实数域构造则证明满足公理的结构的存在性.  抽象代数证明了满足实数公理的诸构造是代数同构的.  所以本质上只有一个实数域，没有完善实数域这回事[3].康托没有称包括无穷序数的良序集Ω的成员为自然数，因为他清楚Ω是\(\mathbb{N}\)的序扩充但不是代数扩充: 若Ω能代数扩充为整数环\(\mathbb{Z}\), 则方程n+1=\(\omega\)就应该在Ω中有解.但这是不可能的[4]，对畜生不如的蠢疯更不可能.所以康托的序数, 基数根基念与自然数概念彼此不可取代，超穷序数的存在不蕴含超限自然数的存在[5]．无论孬种蠢疯咋扑腾，他仍为畜生中的孬种, 孬种里的畜生。】现仅就elim的胡说八道，分层次回复于后：
       [1]、是的，【康托是包括序数理论,基数理论的集合论的创始人, 但不是集合论的完善者】。那么集合论的最终完善者是谁呢？数学人都知道，集合论是在数学公理化基础上由逐步完善的。参与逐步完善集合论工作的学者较多，不过绝对没有elim这样的学渣！因为任何一本介绍集合论的专著和论文中都找不到【无穷交就是一种骤变】这样的非数学论述！
       [2]、学渣elim认为康托尔【用柯西有理数序列构造了实数域.所谓构造实数域, 就是给出具体的代数结构使之满足实数域公理.实数域公理定义了何谓实数域】，康托尔用谁的理论【构造出【所谓构造实数域】在现行的代数理论中没有专门介绍。北京大学徐竟、徐明曜著《近世代数初步》一书称英国数学家亚瑟、凯茉（Arthur Cayley 1821-1895）是群、环、域理论的带头人（参见该书P27页），因此elim的康托尔【用柯西有理数序列构造了实数域.所谓构造实数域】值得商榷。
       [3]、什么是数域？,北大数学教材《近世代数初步》P36页、《高等代数》P2、北工大《基础代数》P250页、北师大《近世代数基础》P89页……都认为“若数集F对代数运算（加、减、乘、除（除数不能为零）封闭，则称数集F（连同其运算）为数域”。并且这些教科书在相应的章节给出了同构、同态等定义。但都没有数域不含超穷数的说法。更没有完善数域与不完善数域的提法。
       [4]、elin的【自然数皆有限数】不是\(\mathbb{N}\)是数域或其子域的立论基础。因为数集\(\mathbb{N}\)对算术运算（加、减法）都不封闭，所以数集\(\mathbb{N}\)连环都不是，当然更谈不上是域了。至于elim的“反例”【方程n+1=\(\omega\)就应该在Ω中有解】，是elim对\(\omega\)的无知（对这个问题读都可参阅康托尔著《超穷数理论基础》43页）。
        [5]、自然数是Giuseppe Peano体系中的概念，它与康托尔实正整数理论是一致的。它们相互兼容，谈不上谁取代谁的问题。
       最后说说畜生elim刚愎自用，既无数学素养，也无人伦素养。你妈的巴子，你我年龄相差两代，就是你的父母也不会像你这样口无遮拦，骂老子【畜生中的孬种, 孬种里的畜生】。再者学术上的分歧与你他妈的是孬种还是野种，是畜生还是人渣有多大的联系？

elim

定义有限为\(\mathbb{N}\)的元素的一种性质：
\(\text{(i)}\;\;\)是有限数;\(\quad\text{(ii)}\;\;\)若\(n\)是有限数, 则后继\(n'\)也是有限数.
令 \(S=\{n\in\mathbb{N}:\;n 是有限数\}\), 由上定义易见
\(\quad (0\in S)\wedge(n\in S\implies n'\in S).\) 据Peano 公理,
\(\quad S=\mathbb{N}.\) 即自然数皆有限数.
【注记】自然数皆有限数，\(\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty\{m\in\mathbb{N}:m>n\}=\varnothing\)
\(\qquad\quad\)都是极其浅显的东西. 甚至没人把它们作为定理或
\(\qquad\quad\)习题提出来。
蠢疯不知自然数与超穷数的本质区别，是其种孬的明证．

春风晚霞

一、皮亚诺公理（Peano axioms）
1、0是一个自然数：这定义了自然数系统的起点。
2、每一个确定的自然数a都有一个确定的后继数a'，且a'也是自然数：这引入了“后继”的概念，即每个数都有一个“下一个”数。
3、0不是任何自然数的后继数：这确保了自然数系统的线性结构。
4、不同的自然数有不同的后继数：即如果a ≠ b，那么S(a) ≠ S(b)。
5、归纳公理：如果一个性质对0成立，且当它对自然数n成立时对S(n)也成立，那么它对所有自然数成立。这是整个系统的核心，保证了自然数的无限性和完整性。
二、\(\mathbb{N}\)是无限集，则必有\(\mathbb{N}\)必含超穷数！
【证明】:\( \because\quad\mathbb{N}\)是无限集(由于\(\mathbb{N}\)与其真子集对等，故\(\mathbb{N}\)是无限集。)
\(\quad\quad\therefore\nu=\displaystyle\lim_{n\to \infty}n\in\mathbb{N}\)(自然数集的良序性)
\(\quad\quad\therefore\nu+1=\displaystyle\lim_{n\to \infty}(n+1)\in\mathbb{N}\)( Peano axioms第二条)
\(\quad\quad\therefore\nu+2=\displaystyle\lim_{n\to \infty}(n+2)\in\mathbb{N}\)( Peano axioms第二条)
…………
\(\quad\quad\therefore\nu+j=\displaystyle\lim_{n\to \infty}(n+j)\in\mathbb{N}\)( Peano axioms第二条)
…………
\(\quad\quad\therefore\mathbb{N}\)必含超穷数！（Peano axioms）【证毕】
三、elim胡搅蛮缠，皆其【无穷交就是一种臭骤变】张目。其论证千篇一律均为徝环论证！所以论坛诸君千万要警惕elim欺己骗人的把戏！

elim

定义有限为\(\mathbb{N}\)的元素的一种性质：
\(\text{(i)}\;\;\)是有限数;\(\quad\text{(ii)}\;\;\)若\(n\)是有限数, 则后继\(n'\)也是有限数.
令 \(S=\{n\in\mathbb{N}:\;n 是有限数\}\), 由上定义易见
\(\quad (0\in S)\wedge(n\in S\implies n'\in S).\) 据Peano 公理,
\(\quad S=\mathbb{N}.\) 即自然数皆有限数.
【注记】自然数皆有限数，\(\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty\{m\in\mathbb{N}:m>n\}=\varnothing\)
\(\qquad\quad\)都是极其浅显的东西. 甚至没人把它们作为定理或
\(\qquad\quad\)习题提出来。
蠢疯不知自然数与超穷数的本质区别，是其种孬的明证．