yangchuanju网友，是否能找到一个反例？

太阳

10楼命题
时空伴随者网友，是否能找到反例？

太阳

已知:\(2ac^3-act^2+2ac+2c=ct^2\)，\(t\ne3k\)，\(t\ne5y\)
整数\(a\ne0\)，\(c\ne0\)，\(k＞0\)，\(y＞0\)，奇数\(t＞1\)，素数\(p＞0\)
求证:\(t=p\)
时空伴随者网友，找到反例
a=1799, c=1230, t=[37, 47]
a=647, c=7758, t=[19, 577]
发现a≠3k，c=3y，c是3的倍数
已知:\(2ac^3-act^2-2ac-2c=ct^2\)，整数\(a\ne0\)，\(c\ne0\)，奇数\(t＞1\)，素数\(p＞0\)
求证:\(t=p\)
是否能找到反例？
发现a=3k，c≠3y，a是3的倍数

太阳

奇数m＞1，t＞1，方程\(2ac^3-acm^2t^2-2ac-cm^2t^2-2c=0\)，是否有整数解？
DeepSeek，解答

yangchuanju

太阳 发表于 2025-4-27 10:02
已知:\(2ac^3-act^2+2ac+2c=ct^2\)，\(t\ne3k\)，\(t\ne5y\)
整数\(a\ne0\)，\(c\ne0\)，\(k＞0\)，\(y＞0 ...

1楼命题的8种变形式
2ac^2-at^2+2a+2=t^2，t^2=2*(ac^2+a+1)/(a+1)；
2ac^2-at^2-2a+2=t^2，t^2=2*(ac^2-a+1)/(a+1)；
2ac^2-at^2+2a-2=t^2，t^2=2*(ac^2+a-1)/(a+1)；
2ac^2-at^2-2a-2=t^2，t^2=2*(ac^2-a-1)/(a+1)；
2ac^2+at^2+2a+2=t^2，t^2=2*(ac^2+a+1)/(1-a)；
2ac^2+at^2-2a+2=t^2，t^2=2*(ac^2-a+1)/(1-a)；
2ac^2+at^2+2a-2=t^2，t^2=2*(ac^2+a-1)/(1-a)；
2ac^2-at^2+2a-2=t^2，t^2=2*(ac^2-a-1)/(1-a)；
限制条件参看原命题。
求证：8种变形式中的t都是素数。

yangchuanju

4楼、5楼后半部命题也有8种变形式，
其中4楼命题有t不能是3的倍数数、5的倍数数；
5楼命题中取消了t不能是3和5倍数数的限制——
2ac^3-act^2+2ac+2c=at^2，t^2=2*(ac^3+ac+c)/(a+ac)；
2ac^3-act^2-2ac+2c=at^2，t^2=2*(ac^3-ac+c)/(a+ac)；
2ac^3-act^2+2ac-2c=at^2，t^2=2*(ac^3+ac-c)/(a+ac)；
2ac^3-act^2-2ac-2c=at^2，t^2=2*(ac^3-ac-c)/(a+ac)；
2ac^3+act^2+2ac+2c=at^2，t^2=2*(ac^3+ac+c)/(a-ac)；
2ac^3+act^2-2ac+2c=at^2，t^2=2*(ac^3-ac+c)/(a-ac)；
2ac^3+act^2+2ac-2c=at^2，t^2=2*(ac^3+ac-c)/(a-ac)；
2ac^3+act^2-2ac-2c=at^2，t^2=2*(ac^3-ac-c)/(a-ac)；
限制条件参看原命题。
求证：8种变形式中的t都是素数。

yangchuanju

太阳 发表于 2025-4-27 07:37
已知:\(2ac^3-act^2-2ac-2c=ct^2\)，整数\(a\ne0\)，\(c\ne0\)，奇数\(t＞1\)，素数\(p＞0\)
求证:\(t=p\) ...

10楼命题部分整数解
a        c        t        分解式
-3        3        5        素数
-51        5        7        素数
-19        9        13        素数
-3        11        19        素数
-1683        29        41        素数
-67        33        47        素数
-3        41        71        素数
-2739        111        157        素数
-83        123        175        5*5*7
-3        153        265        5*53
-243        187        265        5*53
-339        221        313        素数
-627        313        443        素数
-51        495        707        7*101
-6963        531        751        素数
-3        571        989        23*43
-7443        671        949        13*73
-13123        729        1031        素数
-12483        869        1229        素数
-2259        1129        1597        素数

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2025-4-27 13:24
1楼命题的8种变形式
2ac^2-at^2+2a+2=t^2，t^2=2*(ac^2+a+1)/(a+1)；
2ac^2-at^2-2a+2=t^2，t^2=2*(a ...

第2、第3约简式的整数解及其正反例                       
2ac^2-at^2-2a+2=t^2，t^2=2*(ac^2-a+1)/(a+1)；                       
a=1,t=c不计                       
a        c        t        分解式
97        10        14        2*7
3361        58        82        2*41
97        59        83        素数
2161        87        123        3*41
1921        116        164        4*41
3313        343        485        5*97
-47        5        7        素数
-1679        29        41        素数
-719        737        1043        7*149反例
-1583        955        1351        7*193反例
                       
2ac^2-at^2+2a-2=t^2，t^2=2*(ac^2+a-1)/(a+1)；                       
a=1,t=c不计                       
a        c        t        分解式
11        2        3       
3        4        5       
17        5        7       
33        10        14       
291        12        17       
11        14        19       
107        22        31       
561        29        41       
17        32        44       
3        40        49        反例
1121        58        82       
33        61        85       
417        63        89       
9803        70        99       
387        80        113       
107        130        183       
593        184        260       
17        203        279       
11        274        371        7*53反例
3777        285        403       
2251        302        427        7*61反例
1137        353        499        素数
3        396        485       
387        468        661        素数
113        500        704       
3267        500        707        7*101反例
81        503        707        7*101反例
要想没有反例，必须规定t不能是任意素数的倍数数！                       

yangchuanju

1楼命题有8种变形式
(1)2ac^2-at^2+2a+2=t^2，t^2=2*(ac^2+a+1)/(a+1)；
(2)2ac^2-at^2-2a+2=t^2，t^2=2*(ac^2-a+1)/(a+1)；
(3)2ac^2-at^2+2a-2=t^2，t^2=2*(ac^2+a-1)/(a+1)；
(4)2ac^2-at^2-2a-2=t^2，t^2=2*(ac^2-a-1)/(a+1)；
(5)2ac^2+at^2+2a+2=t^2，t^2=2*(ac^2+a+1)/(1-a)；
(6)2ac^2+at^2-2a+2=t^2，t^2=2*(ac^2-a+1)/(1-a)；
(7)2ac^2+at^2+2a-2=t^2，t^2=2*(ac^2+a-1)/(1-a)；
(8)2ac^2-at^2+2a-2=t^2，t^2=2*(ac^2-a-1)/(1-a)；
限制条件参看原命题。
下面仅对第4、第3变形式进行分析——

(4)2ac^2-at^2-2a-2=t^2，t^2=2*(ac^2-a-1)/(a+1)；               
令a=-3，t^2=2*(-3c^2+3-1)/(-3+1)=3c^2-2               
a        c        t
-3        3        5
-3        11        19
-3        41        71
-3        153        265
-3        571        989
或令a=3，t^2=2*(3c^2-3-1)/(3+1)=(3c^2-4)/2               
a        c        t
3        2        2
3        18        22
3        178        218

2ac^2-at^2-2a-2=t^2，t^2=2*(ac^2-a-1)/(a+1)；
令a=-3，t^2=2*(-3c^2+3-1)/(-3+1)=3c^2-2
t^2=3c^2-2整数解
c=±1/6(3(2-sqrt(3))^n+sqrt(3)(2-sqrt(3))^n+3(2+sqrt(3))^n-sqrt(3)(2+sqrt(3))^n),
t=±1/2((2-sqrt(3))^n+sqrt(3)(2-sqrt(3))^n+(2+sqrt(3))^n-sqrt(3)(2+sqrt(3))^n),n∈Z,n>=0

令a=3，t^2=2*(3c^2-3-1)/(3+1)=(3c^2-4)/2
t^2=(3c^2-4)/2整数解
c=±1/3(3(5-2sqrt(6))^n+sqrt(6)(5-2sqrt(6))^n+3(5+2sqrt(6))^n-sqrt(6)(5+2sqrt(6))^n),
t=±1/2(2(5-2sqrt(6))^n+sqrt(6)(5-2sqrt(6))^n+2(5+2sqrt(6))^n-sqrt(6)(5+2sqrt(6))^n),n∈Z,n>=0

仅a=±3，就要无穷多组整数解，其中哪能都是素数？

yangchuanju

（接上楼）
(3)2ac^2-at^2+2a-2=t^2，t^2=2*(ac^2+a-1)/(a+1)；               
令a=3，t^2=2*(3c^2+3-1)/(3+1)=(3c^2+2)/2               
a        c        t
3        4        5
3        40        49
3        396        485
或令a=-3，t^2=2*(-3c^2-3-1)/(-3+1)=3c^2+4               
a        c        t
-3        2        4
-3        8        14
-3        30        52
-3        112        194
-3        418        724
               
2ac^2-at^2+2a-2=t^2，t^2=2*(ac^2+a-1)/(a+1)；               
令a=3，t^2=2*(3c^2+3-1)/(3+1)=(3c^2+2)/2               
c=±((5-2sqrt(6))^n-(5+2sqrt(6))^n)/sqrt(6),               
t=±1/2((5-2sqrt(6))^n+(5+2sqrt(6))^n),n∈Z,n>=0               
               
令a=-3，t^2=2*(-3c^2-3-1)/(-3+1)=3c^2+4               
c=±((2-sqrt(3))^n-(2+sqrt(3))^n)/sqrt(3),               
t=-(2-sqrt(3))^n-(2+sqrt(3))^n,n∈Z,n>=0               
c=±((2-sqrt(3))^n-(2+sqrt(3))^n)/sqrt(3),               
t=(2-sqrt(3))^n+(2+sqrt(3))^n,n∈Z,n>=0               

仅a=±3，就要无穷多组整数解，其中哪能都是素数？               

yangchuanju

对1楼命题的第5-8种变形式不再分析；
对4-5楼命题的8种变形式不再分析；
对将t^2换成m^2*t^2的变形式不再分析，因为第一类命题中的t内含诸多二合数、三合数，将t换成mt没有任何价值！