F(abc)≠2m，m就是素数

太阳

太阳

已知：ac+a^3*b*c^4-a^3*b*c^3+a^2*b^2*c^2≠2m，|a|>2，|c|>2，
整数a≠0，b≠0，c≠0，奇数m>1，素数p>0，
求证：m=p
方程含有四个未知数，未知数最高次数是4，叫做四元四次方程
四元八程方程那里来的？

太阳

已知：ac+a^3*b*c^4-a^3*b*c^3+a^2*b^2*c^2≠2m，|a|>2，|c|>2，
整数a≠0，b≠0，c≠0，奇数m>1，素数p>0，
求证：m=p
将不等式改成等式，其右端随意给定一个奇数m，总有一大堆整数解满足不等式，其中不乏|a|>2、|c|>2的整数解，这些m怎么会都是素数呢？
请你找一个反例出来？

太阳

三元四次方程，判断它是否有整数解，难度极大，四元四次方程没有求根公式

yangchuanju

太阳 发表于 2025-5-9 08:45
已知：ac+a^3*b*c^4-a^3*b*c^3+a^2*b^2*c^2≠2m，|a|>2，|c|>2，
整数a≠0，b≠0，c≠0，奇数m>1，素数p>0 ...

令m=15，方程ac+a^3*b*c^4-a^3*b*c^3+a^2*b^2*c^2=15有17组整数解——
{{-15,0,-1},{-5,-30,-3},{-5,0,-3},{-3,-60,-5},{-3,0,-5},{-1,-210,-15},{-1,0,-15},{1,-4,-1},{1,0,15},{1,4,-1},{1,240,15},{3,0,5},{3,90,5},{5,0,3},{5,60,3},{15,0,1},{15,30,1}}

15≠30，它们都不是不等式ac+a^3*b*c^4-a^3*b*c^3+a^2*b^2*c^2≠2m的解；
m是素数吗？

yangchuanju

令2m=30，方程ac+a^3*b*c^4-a^3*b*c^3+a^2*b^2*c^2=30有39组整数解——
{{-30,0,-1},{-30,60,-1},{-15,0,-2},{-15,90,-2},{-10,0,-3},{-10,120,-3},{-6,-1,1},{-6,0,-5},{-6,1,1},{-6,180,-5},{-5,0,-6},{-5,210,-6},{-3,0,-10},{-3,330,-10},{-2,0,-15},{-2,480,-15},{-1,-2,2},{-1,-1,-2},{-1,0,-30},{-1,4,2},{-1,7,-2},{-1,930,-30},{1,-870,30},{1,0,30},{2,-420,15},{2,0,15},{3,-270,10},{3,0,10},{5,-150,6},{5,-1,1},{5,0,6},{5,1,1},{6,-120,5},{6,0,5},{10,-60,3},{10,0,3},{15,-30,2},{15,0,2},{30,0,1}}

它们都不是不等式ac+a^3*b*c^4-a^3*b*c^3+a^2*b^2*c^2≠30的解；
m=15是素数吗？

太阳

方程没有整数解，判断它是素数，逆命题，方程有整数解，判断它是合数
方程ac+a^3*b*c^4-a^3*b*c^3+a^2*b^2*c^2=2*15，有整数解，判断15是合数

yangchuanju

方程ac+a^3*b*c^4-a^3*b*c^3+a^2*b^2*c^2=10,14,22,26，……，都有整数解，5,7,11,13，……是合数还是素数？
2m        解组数        整数解
10        19        {{-10,0,-1},{-10,20,-1},{-5,0,-2},{-5,30,-2},{-2,0,-5},{-2,60,-5},{-1,-1,2},{-1,0,-10},{-1,3,2},{-1,110,-10},{1,-90,10},{1,-3,1},{1,0,10},{1,3,1},{2,-40,5},{2,0,5},{5,-10,2},{5,0,2},{10,0,1}}
14        21        {{-14,0,-1},{-14,28,-1},{-7,0,-2},{-7,42,-2},{-2,-2,1},{-2,0,-7},{-2,2,1},{-2,112,-7},{-1,0,-14},{-1,210,-14},{1,-182,14},{1,-5,-1},{1,-3,2},{1,0,14},{1,1,2},{1,3,-1},{2,-84,7},{2,0,7},{7,-14,2},{7,0,2},{14,0,1}}
22        17        {{-22,0,-1},{-22,44,-1},{-11,0,-2},{-11,66,-2},{-2,-1,-1},{-2,0,-11},{-2,5,-1},{-2,264,-11},{-1,0,-22},{-1,506,-22},{1,-462,22},{1,0,22},{2,-220,11},{2,0,11},{11,-22,2},{11,0,2},{22,0,1}}
26        19        {{-26,0,-1},{-26,52,-1},{-13,0,-2},{-13,78,-2},{-2,0,-13},{-2,364,-13},{-1,0,-26},{-1,702,-26},{1,-650,26},{1,-7,-2},{1,-5,1},{1,0,26},{1,1,-2},{1,5,1},{2,-312,13},{2,0,13},{13,-26,2},{13,0,2},{26,0,1}}
34        21        {{-34,0,-1},{-34,68,-1},{-17,0,-2},{-17,102,-2},{-2,-3,1},{-2,0,-17},{-2,3,1},{-2,612,-17},{-1,0,-34},{-1,1190,-34},{1,-1122,34},{1,-7,-1},{1,-4,2},{1,0,34},{1,2,2},{1,5,-1},{2,-544,17},{2,0,17},{17,-34,2},{17,0,2},{34,0,1}}
38        17        {{-38,0,-1},{-38,76,-1},{-19,0,-2},{-19,114,-2},{-2,0,-19},{-2,760,-19},{-1,0,-38},{-1,1482,-38},{1,-1406,38},{1,0,38},{2,-684,19},{2,-3,1},{2,0,19},{2,3,1},{19,-38,2},{19,0,2},{38,0,1}}

如果先生只对非0整数解，或者正整数解感兴趣，自己踢除就是了！

yangchuanju

方程ac+a^3*b*c^4-a^3*b*c^3+a^2*b^2*c^2=20,28,……，也都有整数解，10,14，……是合数还是素数？
2m     解组数    整数解
20        27        {{-20,0,-1},{-20,40,-1},{-10,0,-2},{-10,60,-2},{-5,-1,1},{-5,0,-4},{-5,1,1},{-5,100,-4},{-4,0,-5},{-4,120,-5},{-2,0,-10},{-2,220,-10},{-1,0,-20},{-1,420,-20},{1,-380,20},{1,0,20},{2,-180,10},{2,0,10},{4,-80,5},{4,-1,1},{4,0,5},{4,1,1},{5,-60,4},{5,0,4},{10,-20,2},{10,0,2},{20,0,1}}
28        23        {{-28,0,-1},{-28,56,-1},{-14,0,-2},{-14,84,-2},{-7,0,-4},{-7,140,-4},{-4,0,-7},{-4,224,-7},{-2,0,-14},{-2,420,-14},{-1,0,-28},{-1,812,-28},{1,-756,28},{1,0,28},{2,-364,14},{2,0,14},{4,-168,7},{4,0,7},{7,-84,4},{7,0,4},{14,-28,2},{14,0,2},{28,0,1}}

如果先生只对非0整数解，或者正整数解，或者大于2的正整数解感兴趣，再或者只对大于2的正整数解感兴趣，自己挑出就是了！

太阳

方程ac+a^3*b*c^4-a^3*b*c^3+a^2*b^2*c^2=10，2m，m=5
方程ac+a^3*b*c^4-a^3*b*c^3+a^2*b^2*c^2=14，2m，m=7
方程ac+a^3*b*c^4-a^3*b*c^3+a^2*b^2*c^2=22，2m，m=11
方程ac+a^3*b*c^4-a^3*b*c^3+a^2*b^2*c^2=26，2m，m=13
当\(|a|＞2\)，b≠0，\(|c|＞2\)，方程没有整数解，判断5是素，7是素数，11是素数，13是素数