辐边总和公式

朱明君

非标准二维平面图标准化转换规范针对多中心轮图、无外围环图、带孔洞图、多面体图及任意型图，分别通过包裹双层虚拟环、构建边界、三角剖分后包裹、剪裁展开处理及分步处理等规则，依托每层固定3节点且禁止同层互连的双层虚拟环，在保留原图拓扑结构且不破坏平面性的前提下，将复杂拓扑统一转化为“外-次外-中心”三层标准化结构，适配公式  w=6(n-4)  计算辐边数，为符合四色定理要求的图论分析（如着色问题）提供统一框架。

朱明君

非标准二维平面图转换为标准二维平面图的规范流程中，总节点个数  n  包含原图节点与双层虚拟环节点（每层虚拟环固定3个节点，两层共6个虚拟节点）。核心操作通过“三角剖分→剪面展开→添加虚拟环”三步，将复杂拓扑转化为“外3节点（外层虚拟环）-次外3节点（次外层虚拟环）-中心区域（原图及内层节点）”的三层结构，此时  n =  原图节点数  + 6 。

适配公式  w = 6(n - 4)  中， n  为包含虚拟环的总节点数，其逻辑为：总节点数扣除4个基准节点（虚拟环中外层3节点+次外层1节点，或基于最小解的基准设定）后，乘以6倍关系（源于分层结构的辐边连接规则），最终实现对标准化后图结构辐边数的统一计算，为四色着色等图论分析提供基于“总节点数”的标准化框架。

朱明君

我的方法核心是基于节点分层计数的归纳法，将图划分为外层、次外层、内层等层级，通过层间节点数差值（如 n - m - 1、m - d）构建辐边公式，脱离传统三角剖分依赖的“面”“度数”概念。从 n=4 等最小案例归纳出系数6（围内非基准节点的单位连接数），核心逻辑为“节点分层→数量关系→归纳系数”。
与传统三角剖分相比，无需欧拉公式和面划分，直接通过节点层级代数关系计算辐边数，属于针对环型多中心等特定结构的构造性公式，优势在于工程化建模的直观性——只需数清节点层级即可代入公式，规避抽象推导，适用于网络拓扑、分层系统等场景的跨层连接数计算，是“用节点计数替代拓扑分析”的创新实践。

朱明君

当辐边总和公式取 最小解  n=4, m=2, d=2  时：

参数含义：总节点数  n=4 （2个外围节点  m +2个围内节点  d ），外围节点构成最外层（最小环为2节点，实际为一条边），围内节点为内层核心。
公式代入：

w = 6(n - m - 1) + (m - d) = 6(4 - 2 - 1) + (2 - 2) = 6 \times 1 + 0 = 6
。
物理意义：
围内2个节点中，1个为“基准节点”（不贡献辐边），剩余1个非基准节点对应 6条辐边（核心系数6的来源），体现最小结构中围内非基准节点的固定连接需求；
外围节点数与围内节点数相等（ m=d=2 ），跨层连接数为0，辐边主要来自围内非基准节点的“6度连接”。

该案例是公式的 归纳起点——通过最小化的分层结构（2外围+2围内），验证系数6的合理性，进而推导任意节点数的辐边公式，确保“从特殊到一般”的归纳逻辑自洽。

朱明君

非标准二维平面图标准化流程

五类图转换规则

1.多中心轮图：外层+次外层各3虚拟节点，原中心嵌入内侧，通过辐边连次外层，统一为三层结构。
2.无外围环图：添加3节点双层虚拟环构建边界，原图节点嵌入内侧连次外层，形成标准分层。
3.带孔洞图：先三角剖分孔洞为三角形，再外层+次外层各3虚拟节点包裹，纳入中心区域。
4.多面体图：剪去1面展开为平面，外围面外添加双层3节点虚拟环，立体转平面分层。
5.任意型图：先三角剖分孔洞，再展开多面体部分，最后统一添加双层3节点虚拟环。

核心逻辑

通过“三角剖分孔洞→剪面展开多面体→添加双层3节点虚拟环”，将非标准图转化为“外3-次外3-中心”三层结构。

- 虚拟环：固定边界，屏蔽复杂拓扑，适配辐边公式 w=6(n-4)，简化为单中心轮图着色。
- 规范性：保持平面性，虚拟环为拓扑等价变换，确保四色算法统一应用。

朱明君

对于任意二维平面图，无论其是否存在孔洞、多中心、多面体投影等复杂结构，均可通过添加两层各3个节点的虚拟环（外层3节点、次外层3节点），将原图作为中心区域纳入“外-次外-中心”标准分层结构。此时，外层节点数 m=3、次外层节点数 d=3，代入辐边总和公式 w=6(n-m-1)+(m-d) 化简为 w=6(n-4)——仅需统计总节点数 n，扣除外层3节点和1个基准节点后，剩余部分按每个节点贡献6条边计算，即可屏蔽原图所有复杂结构差异，实现辐边总和的统一高效计算。

朱明君

二维平面图转换遵循单中心轮规范，基于辐边总和公式

一，标准二维平面图，
1，由外向内，两层或两层以上的环形结构的二维平面图，无需考虑中心区域的结构。
2，单中心轮图，
应用辐边总和公式，将上述标准二维平面图转换为单中心轮图，以简化着色过程。
即原图→新图。

非标准二维平面图标准化流程
五类图转换规则
1.多中心轮图：外层+次外层各3虚拟节点，原中心嵌入内侧，通过辐边连次外层，统一为三层结构。
2.无外围环图：添加3节点双层虚拟环构建边界，原图节点嵌入内侧连次外层，形成标准分层。
3.带孔洞图：先三角剖分孔洞为三角形，再外层+次外层各3虚拟节点包裹，纳入中心区域。
4.多面体图：剪去1面展开为平面，外围面外添加双层3节点虚拟环，立体转平面分层。
5.任意型图：先三角剖分孔洞，再展开多面体部分，最后统一添加双层3节点虚拟环。
核心逻辑
通过“三角剖分孔洞→剪面展开多面体→添加双层3节点虚拟环”，将非标准图转化为“外3-次外3-中心”三层结构。

虚拟环：固定边界，屏蔽复杂拓扑，适配辐边公式 w=6(n-4)，简化为单中心轮图着色。
规范性：保持平面性，虚拟环为拓扑等价变换，确保四色算法统一应用

朱明君

**完整表述：**  

任意二维平面图（包括标准和非标准）均可通过以下步骤转换为单中心轮图：  
1. **标准化处理**：对非标准图（如多中心、无外围环、带孔洞等）进行三角剖分、剪开多面体等操作；  
2. **添加虚拟结构**：固定添加双层虚拟环（外层和次外层各3个节点），形成“外3-次外3-中心”的三层标准结构；  
3. **辐边约束**：根据公式 \( w = 6(n-4) \)（\( n \)为含虚拟节点的总节点数）调整连接关系；  
4. **单中心化**：将所有连接收敛至单一中心节点，生成单中心轮图；  
5. **着色简化**：转换后的结构可直接应用四色定理完成着色。  

**核心**：通过虚拟环和公式约束，将任意平面图的拓扑复杂性统一简化为标准单中心轮图问题。

朱明君

**完整表述：**  

当辐边总和公式取最小解 \( n=4 \)（2个外围节点 \( m \) + 2个围内节点 \( d \)）时，外围节点构成最简环（单边连接），围内1个基准节点（不消耗辐边）和1个非基准节点（需6条辐边）。此时公式 \( w = 6(n - m - 1) + (m - d) \) 退化为 \( w=6 \)，验证了非基准节点的固定连接需求（6辐边）和跨层平衡条件（\( m=d \) 时连接数为0）。该最小案例作为归纳起点，通过拓扑约束（平面性、三角剖分）和数学归纳法，严格推导出一般公式 \( w = 6(n-4) \)，确保从极简结构到复杂图的全域适用性，同时保持四色兼容性。

朱明君

**完整表述：**  

在最小结构（n=4）中，围内两个节点各需3条辐边，共计6条辐边，对应公式系数6。由于基准节点（如中心点）的辐边已被系统默认包含，因此在计算时需要将围内节点数减1（即d-1），从而准确反映实际需要额外建立的6条辐边连接。这一调整确保了公式在极简情况下的自洽性，并为复杂结构的推广奠定了基础。  

**核心点：**  
- 围内节点分为基准节点（默认连接）和非基准节点（需额外辐边）  
- 系数6对应每个非基准节点3条径向+3条切向的拓扑需求  
- 减1操作排除基准节点的重复计算，维持公式普适性