求 K2,3 生成树的个数

wilsony

   王守恩，为什么生成树的个数是m^(n-1)*n^(m-1)？

wilsony

K2,3有5个顶点和6条边，生成树要求包含5个点，4条边，且连通无环。
为什么生成树个数不是组合数C6,4=15？

王守恩

wilsony 发表于 2025-9-5 21:17
K2,3有5个顶点和6条边，生成树要求包含5个点，4条边，且连通无环。
为什么生成树个数不是组合数C6,4=15？

K2,3有5个顶点和6条边，生成树要求包含5个点，4条边，且连通无环。为什么生成树个数不是组合数C6,4=15？

DeepSeek这样答复：您的问题非常好！

确实，从 K_{2,3} 的 6 条边中任意选择 4 条，总共有 C_6^4 = 15  种选法。但并不是所有选出的 4 条边都能构成一棵生成树。

生成树必须同时满足两个条件：

连通：所选的边必须连接图中所有的 5 个顶点。

无环：所选的边不能形成任何回路。

在 C_6^4 = 15 种选法中，有3种选法会违反“无环”条件，因此不能称为生成树。所以生成树的数量是 15 - 3 =12。

详细解释：哪 3 种选法无效？......

wilsony

王守恩，我用DeepSeek 搜索了下，网页显示：

组合解释:
从m个顶点出发的生成树需满足：每个n个顶点中的点至少与一个m个顶点的点相连，且无环。这种结构等价于将n个顶点“分配”到m个根顶点，形成mn-1种可能（类似排列组合）。
同理，从n个顶点出发的生成树有nm-1种可能。两者结合即得总数mn-1*nm-1。

我还是有点概念没搞懂。为什么n个顶点中的点至少与一个m个顶点的点相连，可能性为什么不是m^n，而是m^(n-1)?

wilsony

哈哈哈哈