朱容仟平方数猜想回复贴

yangchuanju

差值中平方个数计算表（仅以b=101为例）
(ROUNDUP((ab)^0.5,0))^2-ab
a\b        101        调加后差        加数        开平方
59        125        441        2        21
61        80        400        2        20
63        37        361        2        19
65        159        324        1        18
67        122        289        1        17
69        87        256        1        16
71        54        225        1        15
73        23        196        1        14
75        169        169        0        13
77        144        144        0        12
79        121        121        0        11
81        100        100        0        10
83        81        81        0        9
85        64        64        0        8
87        49        49        0        7
89        36        36        0        6
91        25        25        0        5
93        16        16        0        4
95        9        9        0        3
97        4        4        0        2
99        1        1        0        1
101        0        0        0        0
103        1        1        0        1
105        4        4        0        2
107        9        9        0        3
109        16        16        0        4
111        25        25        0        5
113        36        36        0        6
115        49        49        0        7
117        64        64        0        8
119        81        81        0        9
121        100        100        0        10
123        121        121        0        11
125        144        144        0        12
127        169        169        0        13
129        196        196        0        14
131        225        225        0        15
133        23        256        1        16
135        54        289        1        17
137        87        324        1        18
139        122        361        1        19
141        159        400        1        20
143        198        441        1        21
145        239        484        1        22
147        37        529        2        23
149        80        576        2        24
151        125        625        2        25
153        172        676        2        26
155        221        729        2        27

令b=101， a=75-131时差是平方数169,…25,16,9,4,1,0,1,4,9,16,25,36,49,…225；当a=b=101时差等于0，向前、向后渐增，且后部比前部多两个；
如果在a=65--73，133--145的取整数中加上1后再平方，减ab的差中的平方数还要增多一些，前增5后增7；
如果在a=59--63，147--155的取整数中加上2后再平方，减ab的差中的平方数还要增多一些，前增3后增5。
更有意义的是，不论调加前差中的平方数还是调加后差中的平方数都是连续整数0--k的完全平方。

yangchuanju

已知xy=97*997=96709
x+y=622（乘4开平方取整）
解方程组
xy=96709
x+y=622（乘4开平方取整）

解：将y=...带入xy式得
x*(622-x)=96709, x^2-622x+96709=0, x=[622±(622^2-4*96709)^0.5]/2
622^2-4*96709=48>0，方程有有理解，
x1=314.46,  y1=622-314.36=307.54
x2=307.54,  y2=622-307.54=314.46
检验是方程组的解，
但都不是整数解，更不是素数解
当乘积的两个素因子相距甚远时，朱容仟法分解不了二合数，解不出合适的素数解。

yangchuanju

解xy和x-y的方程组——
已知xy=1005973
x-y=12
解方程组
xy=1005973
x-y=12
解：将y=...带入xy式得
x*(x-12)=1005973, x^2-12x-1005973=0, x=[12±(12^2+4*1005973)^0.5]/2
x1=1009,  y1=1009-12=997
x2=-997,  y2=-997-12=-1009，舍弃

解xy和x-y的方程组——       
已知97*997=        96709
997-97=        900
解方程组xy=96709       
x-y=900       
解：将y=...带入xy式得       
x*(x-900)=96709, x^2-900x-96709=0, x=[900±(900^2+4*96709)^0.5]/2       
x1=997,  y1=997--900=97       
x2=-97,  y2=-97-900=-997，舍弃       

yangchuanju

A004023
Indices of prime repunits: numbers k such that 11...111 (with k 1's) = (10^k - 1)/9 is prime.
1 2
2 19
3 23
4 317
5 1031
6 49081
7 86453
8 109297
9 270343
10 5794777
11 8177207

A004022
Primes of the form (10^k - 1)/9. Also called repunit primes or repdigit primes.
1 11
2 1111111111111111111
3 11111111111111111111111
4 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
5 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111