901数系中的素数和倒数循环节长度

yangchuanju · 发表于 2025-10-26 05:59

本帖最后由 yangchuanju 于 2025-10-26 06:01 编辑

900991型整数分解式
整数分解式位数循环节长来自
900991 7*13*9901 6 12 (10^12-1)/9/(11*3*37*101)，未除6的因子

900900990991 43*1933*10838689 12 21 (10^21-1)/9/(3*37*239*4649)

900900900990990991 7*13*31*211*241*2161*2906161 18 30 (10^30-1)/9/(11*3*37*41*271*9091)，未除6,15的因子

900900900900990990990991 prime 24 39 (10^39-1)/9/(3*37*53*79*265371653)

900900900900900990990990990991 7*13*9901*99990001*9999999900000001 30 48 (10^48-1)/9/(11*3*37*101*73*137*17*5882353)，未除6,12的因子

900900900900900900990990990990990991 21319*10749631*3931123022305129377976519 36 57 (10^57-1)/9/(3*37*1111111111111111111<19>)

900900900900900900900990990990990990990991 7*13*67*599144041*246620731710144034397913595783 42 66 ——

900900900900900900900900990990990990990990990991 31*151*4201*2906161*15763985553739191709164170940063151 48 75 ——

900900900900900900900900900990990990990990990990990991 7*7*13*43*127*1933*2689*9901*226549*459691*10838689*4458192223320340849 54 84 ——

900900900900900900900900900900990990990990990990990990990991 prime 60 93 (10^93-1)/9/(3*37*2791*6943319*57336415063790604359<20>)

66个900+65个990+1个991 prime 396 597 ——

yangchuanju · 发表于 2025-10-26 06:20

(10^3903-1)/9之中有一个2600位素因子，它也是一个倒数循环节长3903的唯一素数，
这个素数含433个900和432个990+1个991，不过数字正之间多出了一个90！
出现在(10^3903-1)/9的分解式之中。

yangchuanju · 发表于 2025-10-26 20:40

91、9091、909091型整数出现在指数是6,10,14,18,22,26,30……的(10^n-1)/9的分解式中；
91、9901、999001型整数出现在指数是6,12,18,24,30,36……的(10^n-1)/9的分解式中；
交叉指数有6,30,54,78,102,126,150……。
91、9091、909091型整数出现在指数是6,10,14,18,22,26,30……的(10^n-1)/9的分解式中；
900901、900900901型整数出现在指数是12,21,30,39,58,57,66,75,84……的(10^n-1)/9的分解式中；
交叉指数有30,102,174……；它们也是三交叉指数。

111111111111111111111111111111<30> = 3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 2906161
1000000000000001<16> = 7 · 11 · 13 · 211 · 241 · 2161 · 9091
111111111111111<15> = 3 · 31 · 37 · 41 · 271 · 2906161
其中7*13*211*241*2161*9091=90909090909091
7*13*211*241*2161=9999900001
7*13*31*211*241*2161*2906161=900900900990990991
9091*9999900001=90909090909091
9999900001*31*2906161=900900900990990991

yangchuanju · 发表于 2025-10-26 20:41

9091、9901、999001、99990001型整数都存在于(10^n-1)/9=111…1之中
（一）91=7*13，出现在(10^6-1)/9的分解式之中；
111111 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37
9091是素数，出现在(10^10-1)/9的分解式之中；
1111111111<10> = 11 · 41 · 271 · 9091
909091是素数，出现在(10^14-1)/9的分解式之中；
11111111111111<14> = 11 · 239 · 4649 · 909091
90909091=7*13*19*52579，出现在(10^18-1)/9的分解式之中；
111111111111111111<18> = 3^2 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 52579 · 333667
……
（二）9901是素数，出现在(10^12-1)/9的分解式之中；
111111111111<12> = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · 9901
99009901=3541*27961，出现在(10^20-1)/9的分解式之中；
11111111111111111111<20> = 11 · 41 · 101 · 271 · 3541 · 9091 · 27961
990099009901=29*281*121499449，出现在(10^28-1)/9的分解式之中；
1111111111111111111111111111<28> = 11 · 29 · 101 · 239 · 281 · 4649 · 909091 · 121499449
9900990099009901=9901*999999000001，出现在(10^36-1)/9的分解式之中；
111111111111111111111111111111111111<36> = 3^2 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 101 · 9901 · 52579 · 333667 · 999999000001<12>
……
（三）999001=19*52579，出现在(10^18-1)/9的分解式之中；
111111111111111111<18> = 3^2 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 52579 · 333667
999000999001=211*241*2161*9091，出现在(10^30-1)/9的分解式之中；
111111111111111111111111111111<30> = 3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 2906161
999000999000999001=7*127*2689*459691*909091，出现在(10^42-1)/9的分解式之中；
111111111111111111111111111111111111111111<42> = 3 · 7^2 · 11 · 13 · 37 · 43 · 127 · 239 · 1933 · 2689 · 4649 · 459691 · 909091 · 10838689
999000999000999000999001=19*52579*70541929*14175966169，出现在(10^54-1)/9的分解式之中；
(10^54-1)/9<54> = 3^3 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 757 · 52579 · 333667 · 70541929 · 14175966169<11> · 440334654777631<15>
……
（四）99990001是素数，出现在(10^24-1)/9的分解式之中；
111111111111111111111111<24> = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 99990001
9999000099990001=1676321*5964848081，出现在(10^40-1)/9的分解式之中；
1111111111111111111111111111111111111111<40> = 11 · 41 · 73 · 101 · 137 · 271 · 3541 · 9091 · 27961 · 1676321 · 5964848081<10>
999900009999000099990001=7841*127522001020150503761，出现在(10^56-1)/9的分解式之中；
(10^56-1)/9<56> = 11 · 29 · 73 · 101 · 137 · 239 · 281 · 4649 · 7841 · 909091 · 121499449 · 127522001020150503761<21>
99990000999900009999000099990001=3169*98641*99990001*3199044596370769
(10^72-1)/9<72> = 3^2 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 73 · 101 · 137 · 3169 · 9901 · 52579 · 98641 · 333667 · 99990001 · 999999000001<12> · 3199044596370769<16>
……
（五）9999900001=7*13*211*241*2161，出现在(10^30-1)/9的分解式之中；
111111111111111111111111111111<30> = 3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 2906161
99999000009999900001=251*5051*78875943472201，出现在(10^50-1)/9的分解式之中；
11111111111111111111111111111111111111111111111111<50> = 11 · 41 · 251 · 271 · 5051 · 9091 · 21401 · 25601 · 182521213001<12> · 78875943472201<14>
999990000099999000009999900001=909091*4147571*265212793249617641，出现在(10^70-1)/9的分解式之中；
(10^70-1)/9<70> = 11 · 41 · 71 · 239 · 271 · 4649 · 9091 · 123551 · 909091 · 4147571 · 102598800232111471<18> · 265212793249617641<18>
9999900000999990000099999000009999900001=7*13*19*211*241*2161*29611*52579*3762091*8985695684401，出现在(10^90-1)/9的分解式之中；
(10^90-1)/9<90> = 3^2 · 7 · 11 · 13 · 19 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 29611 · 52579 · 238681 · 333667 · 2906161 · 3762091 · 8985695684401<13> · 4185502830133110721<19>
……
（六）999999000001是素数，出现在(10^36-1)/9的分解式之中；
111111111111111111111111111111111111<36> = 3^2 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 101 · 9901 · 52579 · 333667 · 999999000001<12>
999999000000999999000001=61*3541*27961*4188901*39526741，出现在(10^60-1)/9的分解式之中；
(10^60-1)/9<60> = 3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 61 · 101 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 3541 · 9091 · 9901 · 27961 · 2906161 · 4188901 · 39526741
999999000000999999000000999999000001=29*281*226549*121499449*4458192223320340849，出现在(10^84-1)/9的分解式之中；
(10^84-1)/9<84> = 3 · 7^2 · 11 · 13 · 29 · 37 · 43 · 101 · 127 · 239 · 281 · 1933 · 2689 · 4649 · 9901 · 226549 · 459691 · 909091 · 10838689 · 121499449 · 4458192223320340849<19>
999999000000999999000000999999000000999999000001=109*153469*999999000001*59779577156334533866654838281
(10^108-1)/9<108> = 3^3 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 101 · 109 · 757 · 9901 · 52579 · 153469 · 333667 · 70541929 · 14175966169<11> · 999999000001<12> · 440334654777631<15> · 59779577156334533866654838281<29>
……
（七）99999990000001=7*7*13*127*2689*459691，出现在(10^42-1)/9的分解式之中；
111111111111111111111111111111111111111111<42> = 3 · 7^2 · 11 · 13 · 37 · 43 · 127 · 239 · 1933 · 2689 · 4649 · 459691 · 909091 · 10838689
9999999000000099999990000001=9091*4147571*265212793249617641，出现在(10^70-1)/9的分解式之中；
(10^70-1)/9<70> = 11 · 41 · 71 · 239 · 271 · 4649 · 9091 · 123551 · 909091 · 4147571 · 102598800232111471<18> · 265212793249617641<18>
999999900000009999999000000099999990000001=197*50761416243655329949187817263959390355331，出现在(10^98-1)/9的分解式之中；
(10^98-1)/9<98> = 11 · 197 · 239 · 4649 · 909091 · 505885997 · 1976730144598190963568023014679333<34> · 5076141624365532994918781726395939035533<40>
99999990000000999999900000009999999000000099999990000001=7*7*13*19*127*2689*52579*459691*5274739*189772422673235585874485732659，出现在(10^126-1)/9的分解式之中；
(10^126-1)/9<126> = 3^2 · 7^2 · 11 · 13 · 19 · 37 · 43 · 127 · 239 · 1933 · 2689 · 4649 · 10837 · 23311 · 45613 · 52579 · 333667 · 459691 · 909091 · 5274739 · 10838689 · 45121231 · 1921436048294281<16> · 189772422673235585874485732659<30>
……
（八）9999999900000001是素数，出现在(10^48-1)/9的分解式之中；
111111111111111111111111111111111111111111111111<48> = 3 · 7 · 11 · 13 · 17 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 5882353 · 99990001 · 9999999900000001<16>
99999999000000009999999900000001=5070721*19721061166646717498359681，出现在(10^48-1)/9的分解式之中；
(10^80-1)/9<80> = 11 · 17 · 41 · 73 · 101 · 137 · 271 · 3541 · 9091 · 27961 · 1676321 · 5070721 · 5882353 · 5964848081<10> · 19721061166646717498359681<26>
999999990000000099999999000000009999999900000001=113*73765755896403138401*119968369144846370226083377，出现在(10^112-1)/9的分解式之中；
(10^112-1)/9<112> = 11 · 17 · 29 · 73 · 101 · 113 · 137 · 239 · 281 · 4649 · 7841 · 909091 · 5882353 · 121499449 · 73765755896403138401<20> · 127522001020150503761<21> · 119968369144846370226083377<27>
9999999900000000999999990000000099999999000000009999999900000001 = 8929 * 9999999900000001 * 111994624258035614290513943330720125433979169
(10^144-1)/9<144> = 3^2 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 37 · 73 · 101 · 137 · 3169 · 8929 · 9901 · 52579 · 98641 · 333667 · 5882353 · 99990001 · 999999000001<12> · 3199044596370769<16> · 9999999900000001<16> · 111994624258035614290513943330720125433979169<45>
……
（九）999999999000000001=70541929*14175966169，出现在(10^54-1)/9的分解式之中；
(10^54-1)/9<54> = 3^3 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 757 · 52579 · 333667 · 70541929 · 14175966169<11> · 440334654777631<15>
999999999000000000999999999000000001=211*241*2161*9091*29611*3762091*8985695684401，出现在(10^90-1)/9的分解式之中；
(10^90-1)/9<90> = 3^2 · 7 · 11 · 13 · 19 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 29611 · 52579 · 238681 · 333667 · 2906161 · 3762091 · 8985695684401<13> · 4185502830133110721<19>
999999999000000000999999999000000000999999999000000001=7*127*2689*459691*909091*5274739*189772422673235585874485732659
(10^126-1)/9<126> = 3^2 · 7^2 · 11 · 13 · 19 · 37 · 43 · 127 · 239 · 1933 · 2689 · 4649 · 10837 · 23311 · 45613 · 52579 · 333667 · 459691 · 909091 · 5274739 · 10838689 · 45121231 · 1921436048294281<16> · 189772422673235585874485732659<30>
……
（十）99999999990000000001=61*9901*4188901*39526741，出现在(10^60-1)/9的分解式之中；
(10^60-1)/9<60> = 3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 61 · 101 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 3541 · 9091 · 9901 · 27961 · 2906161 · 4188901 · 39526741
9999999999000000000099999999990000000001=60101*7019801*14103673319201*1680588011350901，出现在(10^100-1)/9的分解式之中；
(10^100-1)/9<100> = 11 · 41 · 101 · 251 · 271 · 3541 · 5051 · 9091 · 21401 · 25601 · 27961 · 60101 · 7019801 · 182521213001<12> · 14103673319201<14> · 78875943472201<14> · 1680588011350901<16>
999999999900000000009999999999000000000099999999990000000001=29*281*421*3471301*13489841*121499449*60368344121 * 848654483879497562821，出现在(10^140-1)/9的分解式之中；
(10^140-1)/9<140> = 11 · 29 · 41 · 71 · 101 · 239 · 271 · 281 · 421 · 3541 · 4649 · 9091 · 27961 · 123551 · 909091 · 3471301 · 4147571 · 13489841 · 121499449 · 60368344121<11> · 102598800232111471<18> · 265212793249617641<18> · 848654483879497562821<21>
……

yangchuanju · 发表于 2025-10-26 20:42

不同数型在(10^n-1)/9中出现位置（指数n）
数型 1节 2节 3节 4节
9091 6 10 14 18
9901 12 20 28 36
999001 18 30 42 54
99990001 24 40 56 72
9999900001 30 50 70 90
999999000001 36 60 84 108
99999990000001 42 70 98 126
9999999900000001 48 80 112 144
999999999000000001 54 90 126 162
99999999990000000001 60 100 140 180

yangchuanju · 发表于 2025-11-2 05:34

本帖最后由 yangchuanju 于 2025-11-2 19:09 编辑

任意给定一组由k个900+(k-1)个990+1个991的整数，在(10^n-1)/9之中总能找到它们的身影——
k 分解式 n
1 900991=7*13*9901 12
2 900900990991=43*1933*10838689 21
3 900900900990990991=7*13*31*211*241*2161*2906161 30
4 900900900900990990990991 is prime 39
5 900900900900900990990990990991=7*13*9901*99990001*9999999900000001 48
6 900900900900900900990990990990990991=21319*10749631*3931123022305129377976519 57
7 900900900900900900900990990990990990990991=7*13*67*599144041*183411838171*1344628210313298373 66

任意给定一组由k个9000+(k-1)个9990+1个9991的整数，在(10^n-1)/9之中总能找到它们的身影——
k 分解式 n 备注
1 90009991=9091*9901 60 10和12的最小公倍数
2 9000900099909991=7*13*19*3541*27961*52579 180 18和20的最小公倍数
3 900090009000999099909991=29*281*859*121499449*1058313049 364 26和28的最小公倍数
4 90009000900090009990999099909991=103*4013*9901*21993833369*999999000001 612 34和36的最小公倍数
5 9000900090009000900099909990999099909991=7*7*13*89*127*2689*459691*909091*1052788969*1056689261 924 42和44的最小公倍数

任意给定一组由k个90000+(k-1)个99990+1个99991的整数，在(10^n-1)/9之中要找到它们的身影比较难——
k 分解式 n 备注
1 9000099991=89*101124719 —— 因子89出现在(10^44-1)/9中，因子101124719出现在何处不详，找到第2因子出处n后，再求出它与44的最小公倍数，即找到了该数的出处。
2 90000900009999099991=43*53*1451*131933*206291663 —— 因子43出现在(10^21-1)/9中，因子53出现在(10^13-1)/9中，因子1451出现在(10^290-1)/9中，因子131933出现在(10^65966-1)/9中，第5个大因子出现在何处不详，找到第5因子出处n后，再求出它们与21,13,290,65966的最小公倍数，即找到了该数的出处。
3 900009000090000999909999099991 is prime —— 大素因子出现在何处不详，找到它的出处n后即得。
4 9000090000900009000099990999909999099991=17*857*23203*26623979430318058681249303660213 —— ——

任意给定一组由k个900000+(k-1)个999990+1个999991的整数，在(10^n-1)/9之中要找到它们的身影虽然比较难，但它总是存在的——
k 分解式 n 备注
1 900000999991=277*1459*2226937 —— 第1、第2因子分别出现在(10^69-1)/9和(10^162-1)/9中，第3因子出现在何处不详，找到第3因子出处n后，再求出它与69,162的最小公倍数，即找到了该数的出处。
2 900000900000999990999991=1427*630694393833917302733 —— 第1因子1427出现在(10^713-1)/9中，第2因子出现在何处不详，找到第2因子出处n后，再求出它与713的最小公倍数，即找到了该数的出处。
3 900000900000900000999990999990999991=11867*54631*137491*10096912216882815110513 ——
4 900000900000900000900000999990999990999990999991=177980485717*5056739205847303935077399516809410523 ——

yangchuanju · 发表于 2025-11-2 05:36

任意给定一组由9 0 1组成的整数，在(10^n-1)/9之中总能找到它们的身影——
901整数分解式 n 备注
901 901=17*53 208 16和13的最小公倍数
991 991 is prime 495 ——
900901 900901=163*5527 24867 81和2763的最小公倍数
990991 990991=443*2237 19006 221和1118的最小公倍数
9001 9001 is prime 1125 ——
9901 9901 is prime 12 ——
9991 9991=97*103 1632 96和34的最小公倍数
90009001 90009001 is prime ——
99009901 99009901=3541*27961 20
99909991 99909991 is prime ——

yangchuanju · 发表于 2025-11-2 05:47

本帖最后由 yangchuanju 于 2025-11-2 05:52 编辑

10^n-1的分解式中首次出现的素因子及复合因子（简称首因子），实际上它们是以10为基的分圆多项式
当n=1时，10^n-1=9，9=3*3是首次出现的复合因子；3和9的倒数循环节长度是1，3是倒数循环节长度等于1的唯一素数；

当n=2时，10^2-1=99=9*11，（9=3*3不再是首因子了，只有）11是首次出现的素因子；11的倒数循环节长度是2，11是倒数循环节长度等于2的唯一素数；

当n=3时，10^3-1=999=9*111，111=3*37是首次出现的复合因子；37和111的倒数循环节长度是3，3的3次幂27的倒数循环节长度也是3；37是倒数循环节长度等于3的唯一素数；

当n=4时，10^4-1=9999=9*11*101，101是首次出现的素因子；101的倒数循环节长度是4，101是倒数循环节长度等于4的唯一素数；

当n=5时，10^5-1=999999=9*11111，11111=41*271是首次出现的复合因子；41,271,11111的倒数循环节长度是5，倒数循环节长度等于5的素数有2个；

当n=6时，10^6-1=9999999=9*111111=9*11*111*91，91=7*13是首次出现的复合因子；7,13,91的倒数循环节长度是6，倒数循环节长度等于6的素数有2个；

当n=7时，10^7-1=99999999=9*1111111，1111111=239*4649是首次出现的复合因子；239,4649,1111111的倒数循环节长度是7，倒数循环节长度等于7的素数有2个；

当n=8时，10^8-1=999999999=9*11*101*10001，10001=73*137是首次出现的复合因子；73,137,10001的倒数循环节长度是8，倒数循环节长度等于8的素数有2个；

当n=9时，10^9-1=999999999=9*111*1001001=9*(3*37)*(3*333667)，333667是首次出现的素因子；333667的倒数循环节长度是9，3的4次幂81的倒数循环节长度也是9；333667是倒数循环节长度等于9的唯一素数；

当n=10时，10^10-1=9*11*11111*9091，9091是首次出现的素因子；9091的倒数循环节长度是10，9091是倒数循环节长度等于10的唯一素数；

当n=11时，10^11-1=9*11111111111，11111111111=21649*513239是首次出现的复合因子；21649,513239,11111111111的倒数循环节长度是11，倒数循环节长度等于11的素数有2个；

当n=12时，10^12-1=9*11*111*101*91*9901，9901是首次出现的复合因子；9901的倒数循环节长度是12，9901是倒数循环节长度等于12的唯一素数；

当n=13时，10^13-1=9*1111111111111，1111111111111=53*79*265371653是首次出现的复合因子；53,79,265371653,1111111111111的倒数循环节长度是13，倒数循环节长度等于13的素数有3个；

当n=14时，10^14-1=9*11*1111111*909091，909091是首次出现的素因子；909091的倒数循环节长度是14，909091是倒数循环节长度等于14的唯一素数；

当n=15时，10^15-1=9*111*11111*90090991，90090991=31*2906161是首次出现的复合因子；31,2906161,90090991的倒数循环节长度是15，倒数循环节长度等于15的素数有2个；

当n=16时，10^16-1=9*11*101*10001*100000001，100000001=17*5882353是首次出现的复合因子；17,5882353,10000001的倒数循环节长度是16，倒数循环节长度等于16的素数有2个；

当n=17时，10^17-1=9*11111111111111111，11111111111111111= 2071723*5363222357<10>是首次出现的复合因子；2071723*5363222357<10>,11111111111111111的倒数循环节长度是17，倒数循环节长度等于17的素数有2个；

当n=18时，10^18-1=9*11*111*91*1001001*999001，999001=19*52579是首次出现的复合因子；19,52579,999001的倒数循环节长度是18，倒数循环节长度等于18的素数有2个；

当n=19时，10^19-1=9*1111111111111111111，1111111111111111111是首次出现的素因子；1111111111111111111的倒数循环节长度是19，1111111111111111111是倒数循环节长度等于19的唯一素数；

当n=20时，10^20-1=9*11*101*11111*9091*99009901，99009901=3541*27961是首次出现的复合因子；3541,27961,99009901的倒数循环节长度是20，倒数循环节长度等于20的素数有2个；

………………………………
A019328给出n=1-900的在10^n-1中首次出现的素因子或复合因子（首因子），即10^n-1的分圆多项式
Cyclotomic polynomials at x=10.

yangchuanju · 发表于 2025-11-2 06:00

10^n-1的分解式中首次出现的素因子及复合因子（简称首因子），实际上它们是以10为基的分圆多项式值

当指数n是2,4,8,16……2^k时，首因子是11，101，10001，100000001……；两个1中间0的个数等于n/2-1；

当指数n是3,9,27,81……3^k时，首因子是111，1001001，1000000001000000001，1000000000000000000000000001000000000000000000000000001……；三个1中间各有n/3-1个0；

当指数n是5,25,125……5^k时，首因子是11111，100001000010000100001，10000000000000000000000001000000000000000000000000100000000000000000000000010000000000000000000000001……；五个1中间各有n/5-1个0；

当指数n是7,49,343……7^k时，首因子是1111111，1000000100000010000001000000100000010000001，1000000000000000000000000000000000000000000000000100000000000000000000000000000000000000000000000010000000000000000000000000000000000000000000000001000000000000000000000000000000000000000000000000100000000000000000000000000000000000000000000000010000000000000000000000000000000000000000000000001……；七个1中间各有n/7-1个0；
………………………………

yangchuanju · 发表于 2025-11-2 06:01

素数3及平方9的倒数循环节长等于1，3的立方27的倒数循环节长等于3，3的4次方81的倒数循环节长等于9，3的5次方243的倒数循环节长等于27，……
素数7的倒数循环节长等于6，7的平方49的倒数循环节长等于6*7=42，7的立方343的倒数循环节长等于42*7=294，……
素数11的倒数循环节长等于2，11的平方121的倒数循环节长等于2*11=22，11的立方1331的倒数循环节长等于22*11=242，……
素数13的倒数循环节长等于6，13的平方169的倒数循环节长等于6*13=78，13的立方2197的倒数循环节长等于78*13=1014，……
……………………

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