已知向量 a⊥b ，｜a｜=｜b｜=2 ，｜a+b+c｜=1 ，求 ｜c+b｜+2｜c+a｜ 的最小值

波斯猫猫

发表于 2025-9-1 20:08 | 只看该作者
已知向量 a⊥b ，｜a｜=｜b｜=2 ，｜a+b+c｜=1 ，求 ｜c+b｜+2｜c+a｜ 的最小值

提示，不妨令向量a=(2，0)，b=(0，2)，a+b+c=(cosθ，sinθ)，则c=(cosθ-2，sinθ-2)。
故｜c+b｜+2｜c+a｜=｜(cosθ-2，sinθ)｜+2｜(cosθ，sinθ-2)｜
=√(5-4cosθ)+2√(5-4sinθ)。然后求导。在空间可类似处理。
点评
wintex
謝謝波斯貓貓老師  发表于 2025-10-29 12:31

ataorj

思路:如图,f'=f且期望=d/2,则答案t/2=min(e+f')>=BC,
若存在min(AC)时且e与f'共线,则t=2BC.
发现单位圆上动点P在D=0.5(也即C固定=2.5)时f恒=d/2;
即min(AC)=0.5,下面先证这个.[题外话其实,我是先指定f=d/2,
发现x>0.5时D>0.5,否则D恒=0.5]
yy+xx=1,
ff=yy+(0.5-x)^2
dd=yy+(2-x)^2
4ff-dd=3yy+3xx-3=3-3=0,可见,0.5很重要,则f'=f永远=d/2,AC=0.5
这时令e与f'共线,则t=2BC=2√(2^2+0.5^2)=√(17),此时x我没计算.

ataorj

这句话有问题：x>0.5时D>0.5,否则D恒=0.5
f关于P所在垂线为对称轴还有个镜像，它仍是让D恒=0.5

ataorj

没算x不表示不必,以上下文看应算以表明存在性。
另外，到两定点距离为定比(比如这里的f/d=0.5)的点的轨迹是圆(这里是个单位圆)。