正四面体棱长 5√2，顶点 A 到地面最近，其他顶点到地面距离 5,6,7，求 A 到地面距离

波斯猫猫

坐标法：设A(0，5，5),B(0，0，0),C(5，5，0),D(5，0，5)，

设地面方程为ax+by+cz+5=0 ，a^2+b^2+c^2=r^2，且

B，C，D到地面的距离分别为5，6，7，

则5=5r，∣5(a+b+1)∣=6r，∣5(a+c+1)∣=7r，或

∣5(a+b+1)∣=6，∣5(a+c+1)∣=7.

(1)当5(a+b+1)=6，5(a+c+1)=-7时，

有5(a+b)=1，5(a+c)=-12，或5b=1-5a，5c=-12-5a，

∴ 25a^2+(1-5a)^2+(-12-5a)^2=25，

即15a^2+22a+24=0，算得△＜0.

(2)当5(a+b+1)=-6，5(a+c+1)=7时，

有5(a+b)=-11，5(a+c)=2，或5b=-11-5a，5c=2-5a，

∴ 25a^2+(-11-5a)^2+(2-5a)^2=25，

即15a^2+18a+20=0，算得△＜0.

(3)当5(a+b+1)=-6，5(a+c+1)=-7时，

有5(a+b)=-11，5(a+c)=-12，或5b=-11-5a，5c=-12-5a，

∴ 25a^2+(-11-5a)^2+(-12-5a)^2=25，

即15a^2+46a+48=0，算得△＜0.

(4)当5(a+b+1)=6，5(a+c+1)=7时，

有5(a+b)=1，5(a+c)=2，或5b=1-5a，5c=2-5a，

∴ 25a^2+(1-5a)^2+(2-5a)^2=25，即15a^2-6a-4=0，

或10a=2+2√69/3 . 从而 A到地面的距离

5(b+c+1)=8-10a=6-2√69/3 .

注：这才是完整的，严谨的做法.
解决数学问题三要素：一是相关学科或分支理论要

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