给定 D(1,2)，A,C 两点在半径为 3 的圆 x^2+y^2=9 上，ABCD 为矩形，求 AC 的最大值

风花飘飘

dodonaomikiki 发表于 2026-7-24 09:17
顶一顶，继续研究！

哪里什么最大值，分明就是【定值】嘛！

非要最大肯定是比（3+√5）大喽。

dodonaomikiki

运用三角函数法，大概就是这样

dodonaomikiki

那么，问题归结为


  \(     \displaystyle{  \boldsymbol      {  \frac{3cos\theta1-2     }{ 3sin\theta1-1      }  \bullet     \frac{3cos\theta2-2     }{ 3sin\theta2-1      } =-1      }       }     \)
   \(     \displaystyle{   \boldsymbol  {              这个式子能否推算出cos(  \theta1    -     \theta2    )的最小值？   }      }        \)

dodonaomikiki

目前只能算到这一步！
能力有限

风花飘飘

风花飘飘 发表于 2026-7-24 09:35
哪里什么最大值，分明就是【定值】嘛！

非要最大肯定是比（3+√5）大喽。

我说的【定值】是【√5+√13】。

风花飘飘

向量几何不等式：
1.AC是弦长，令AC中点是M，则弦心距OM。
2.直角三角形DAC，D在圆内。
3.{OD}2+(2OM)2≥(2MD)2


不知道对不对，我也是懵懵懂懂迷迷糊糊滴…

王守恩

1, 矩形最长直线——对角线。
2, 圆最长弦——直径。
3, 重合——最大。
4, D——多余。

dodonaomikiki

感觉下面两种情形，
AC取得最大值的可能性比较大！
同时，AC俨然不可能取到初园的直径大小！因为，点D并没有落在初园的圆周上！



同时，纯几何法行不通话，
看来也就只能借助代数法

dodonaomikiki

如果借助代数方法，
利用韦达定理，
好像也搞不出来的样子，难于上青天

王守恩

dodonaomikiki 发表于 2026-7-25 01:39
如果借助代数方法，
利用韦达定理，
好像也搞不出来的样子，难于上青天

学习学习19#的想法。

1. Maximize[{Sqrt[18 - 2 (xa*xc + ya*yc)], xa^2 + ya^2 == xc^2 + yc^2 == 9, (xa - 1)/(ya - 2) == (2 - yc)/(xc - 1)}, {xa, ya, xc, yc}] // FullSimplify

复制代码

{Sqrt[2 (9 + Sqrt[65])], {xa -> 1/10 (15 + Sqrt[65]), ya -> 1/10 (5 - 3 Sqrt[65]), xc -> 1/10 (-5 - 3 Sqrt[65]), yc -> 1/10 (15 - Sqrt[65])}}