证明数列 √7，√(7-√7)，√[7-√(7+√7)]，√{7-√[7+√(7-√7)]} 收敛，并求其极限

dodonaomikiki

请问ELIM老师：
如若单单就写这个红色字体部分，
是不是还未完成【收敛的证明】？谢谢

elim

dodonaomikiki 发表于 2026-4-24 03:29
请问ELIM老师：
如若单单就写这个红色字体部分，
是不是还未完成【收敛的证明】？谢谢

红色部分给出了 \(\{a_n\}\) 的递推公式并证明了序列的有界性．但还没有完成序列收敛的证明. 证明序列是柯西列就完成了收敛性证明．

王守恩

往前走！

\(x=\sqrt{1-\sqrt{1+\sqrt{1-\sqrt{1+\sqrt{1-\sqrt{1}}}}}}=\sqrt{1-y},y=\sqrt{1+\sqrt{1-\sqrt{1+\sqrt{1-\sqrt{1}}}}}=\sqrt{1+x}=>x=y^2-1,即:x=\sqrt{1-y}=y^2-1,瞪眼: y=1,x=0\)

\(x=\sqrt{3-\sqrt{3+\sqrt{3-\sqrt{3+\sqrt{3-\sqrt{3}}}}}}=\sqrt{3-y},y=\sqrt{3+\sqrt{3-\sqrt{3+\sqrt{3-\sqrt{3}}}}}=\sqrt{3+x}=>x=y^2-3,即:x=\sqrt{3-y}=y^2-3,瞪眼: y=2,x=1\)

\(x=\sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7-\sqrt{7}}}}}}=\sqrt{7-y},y=\sqrt{7+\sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7-\sqrt{7}}}}}=\sqrt{7+x}=>x=y^2-7,即:x=\sqrt{7-y}=y^2-7,瞪眼: y=3,x=2\)

\(x=\sqrt{n-\sqrt{n+\sqrt{n-\sqrt{n+\sqrt{n-\sqrt{n}}}}}}=\sqrt{n-y},y=\sqrt{n+\sqrt{n-\sqrt{n+\sqrt{n-\sqrt{n}}}}}=\sqrt{n+x}=>x=y^2-n,即:x=\sqrt{n-y}=y^2-n,瞪眼: y-1=x,x=\frac{\sqrt{4n-3}-1}{2}\)

\(特别地,n=1, 3, 7, 13, 21, 31, 43, 57, 73, 91, 111, 133, 157, 183, 211, 241, 273, 307, 343, 381, 421, 463, 507, 553, 601, 651, 703, 757, 813, 871\cdots\cdots,x=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, \cdots\cdots\)

王守恩

\(来个好玩的。\)

\(2=\sqrt{7-3}\)

\(=\sqrt{7-\sqrt{7+2}}\)

\(=\sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7-3}}}\)

\(=\sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7-\sqrt{7+2}}}}\)

\(=\sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7-3}}}}}\)

\(=\sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7-\sqrt{7+2}}}}}}\)

luyuanhong

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elim

主贴题目有一个简捷解答．
【题】设 \(\small a_1=\sqrt{7},\,a_2=\sqrt{7-\sqrt{7}},\,a_{n+2}=\sqrt{7-\sqrt{7+a_n}}\,(n\ge 1)\)\(\\\)
\(\qquad\) 试证\(\{a_n\}\)收敛并求\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n.\)\(\\\)
【解】\(n>2\) 时有 \(\small |a_n-2|=\left|\sqrt{7-\sqrt{7+a_{n-2}}}-\sqrt{7-\sqrt{7+2}}\,\right|\)\(\\\)
\(\qquad\,\small={\large\left|\frac{\sqrt{7+2}-\sqrt{7+a_{n-2}}}{a_n+2}\right|}={\large\frac{|2-a_{n-2}|}{(a_n+2)(3+\sqrt{7+a_{n-2}})}}\le\large\frac{|a_{n-2}-2|}{24}\)\(\\\)
\(\qquad\,{\small\le\cdots\le{\large\frac{|a_3-2|}{24^{n-2}}}\to 0\;(n\to\infty).}\quad\therefore\quad\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n =2.\quad_\blacksquare\)

luyuanhong

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