\(\huge\color{red}{\textbf{\(\left[ 0{,}1\right]\)的无理数都对应无穷自然数}}\)

APB先生

      自然数集与\(\left[ 0{,}1\right]\)的全体小数集以及全体分数集的一一对应：
\[\mathbb{N}\supset\left\{ 1{,}2{,}\cdots{,}n-1\right\}\cong\left\{ \frac{1}{n}{,}\ \frac{2}{n}{,}\ \cdots{,}\ \frac{n-1}{n}\right\}{,}\ \ \ \ n\longrightarrow\infty\]
\[\mathbb{N}\supset\left\{ 1{,}2{,}\cdots{,}\ 10^n-1\right\}\cong\left\{ \frac{1}{10^n}{,}\ \frac{2}{10^n}{,}\ \cdots{,}\ \frac{10^n-1}{10^n}\right\}\ {,}\ \ \ \ \ \ n\longrightarrow\infty\]
      若任一纯小数为\(0.a_1a_2\cdots a_n\)，则有不等式\[\frac{1}{10^n}\le0.a_1a_2\cdots a_n\le\frac{10^n-1}{10^n}{,}\ \ \ \ \ n\to\infty\]

APB先生

      自然数集与\(\left[ 0{,}1\right]\)的全体分数集以及全体小数集的一一对应：
\[\mathbb{N}\supset\left\{ 1{,}2{,}\cdots{,}n-1\right\}\cong\left\{ \frac{1}{n}{,}\ \frac{2}{n}{,}\ \cdots{,}\ \frac{n-1}{n}\right\}{,}\ \ \ \ n\longrightarrow\infty\]
\[\mathbb{N}\supset\left\{ 1{,}2{,}\cdots{,}\ 10^n-1\right\}\cong\left\{ \frac{1}{10^n}{,}\ \frac{2}{10^n}{,}\ \cdots{,}\ \frac{10^n-1}{10^n}\right\}\ {,}\ \ \ \ \ \ n\longrightarrow\infty\]
      若任一纯小数为\(0.a_1a_2\cdots a_n\)，则有不等式\[\frac{1}{10^n}\le0.a_1a_2\cdots a_n\le\frac{10^n-1}{10^n}{,}\ \ \ \ \ n\to\infty\]
      因此\(\left[ 0{,}1\right]\)可数。

elim

这就叫吃狗屎啼猿声. 混混果然成不了气候

APB先生

      自然数集与\(\left[ 0{,}1\right]\)的全体分数集以及全体小数集的一一对应：
\[\mathbb{N}\supset\left\{ 1{,}2{,}\cdots{,}n-1\right\}\cong\left\{ \frac{1}{n}{,}\ \frac{2}{n}{,}\ \cdots{,}\ \frac{n-1}{n}\right\}{,}\ \ \ \ n\longrightarrow\infty\]
\[\mathbb{N}\supset\left\{ 1{,}2{,}\cdots{,}\ 10^n-1\right\}\cong\left\{ \frac{1}{10^n}{,}\ \frac{2}{10^n}{,}\ \cdots{,}\ \frac{10^n-1}{10^n}\right\}\ {,}\ \ \ \ \ \ n\longrightarrow\infty\]
      若任一纯小数为\(0.a_1a_2\cdots a_n\)，则有不等式\[\frac{1}{10^n}\le0.a_1a_2\cdots a_n\le\frac{10^n-1}{10^n}{,}\ \ \ \ \ n\to\infty\]\[0.a_1a_2\cdots a_n=\frac{a_1a_2\cdots a_n}{10^n}\]
      因此\(\left[ 0{,}1\right]\)可数。\(\left[ 0{,}1\right]\)不可数是elim混混喷的臭粪。