趣味： \( x^3+y^3=3xy \),计算ABCD的面积

dodonaomikiki

我又重新计算：

\(
假使正方形边长=   2a                    \\
B点坐标带入曲线方程：   x^3  +(x+\sqrt{2}a)  ^3 =3x(x+\sqrt{2}a  )                       \\
一阶导：    3 x^2  +3(x+\sqrt{2}a)  ^2 =3(x+\sqrt{2}a  ) + 3x                      \\
二阶导：    6 x  +6(x+\sqrt{2}a)   =3+3                       \\
\Longrightarrow    x+x+\sqrt{2}a=1                       \\
\Longrightarrow    x=\frac{ 1-\sqrt{2}a   }{2}                       \\


D点坐标带入曲线方程：                       \\
(1-\sqrt{2}a)  ^3/8+    (1+\sqrt{2}a)  ^3/8=3     \bullet   \frac{ 1-\sqrt{2}a   }{2}       \bullet             \frac{ 1+\sqrt{2}a   }{2}=\frac{3(1-2a^2)}{4}                       \\
(1-\sqrt{2}a)  ^3+    (1+\sqrt{2}a)  ^3 =6(1-2a^2)                   \\
通过作图，                       \\
大致晓得：  a     \approx   0.  408                       \\
\Longrightarrow     最大正方形面积    \approx      4             \bullet        0.  408       \bullet        0.  408                       \\
    \approx      0.665856                       \\
这样一来，更加接近YSU老师的准确值啦！                       \\
真是艰苦，                       \\
我争取想出办法来高出正确答案！                         \\

...\)

dodonaomikiki

网路上遇见一道相关题目，
看看于此题有无裨益

dodonaomikiki

笛卡尔花瓣线，
如果呢能够截取出“     最胖的两点      ”那就好啦！
花瓣线的这个部分就有点像卵形线或者现实生活中的一个卵蛋！
所以，显得很不规则~~~最胖的地方不好确定！

dodonaomikiki

MU目前想到的一个思路好像比较可行：
这个笛卡尔花瓣旋正之后，只关注其第一象限的分支【就是图中的黄色部分】！
然后，用一条平行线去割它，
直到与之相切【只有一个切点！】
然后求出这个切点的坐标，
再回旋到原初，
这样一来，好像问题会迎刃而解~~~

dodonaomikiki

\(根据方程:      \boldsymbol{           \displaystyle{          \qquad     (x-y)^3  +     (x+y)^3 =3\sqrt{2}(  x^2-y^2   )     }}       \\


求出 :        \boldsymbol{           \displaystyle{                             y=\sqrt{        \frac{  3\sqrt{2}x^2 -2x^3              }{3x+3\sqrt{2}}                           }        }}               \\
推导出y的一阶导：    \boldsymbol{           \displaystyle{                 y‘’=\frac{1}{2}     \bullet     (      \frac{  3\sqrt{2}x^2 -2x^3              }{3x+3\sqrt{2}}                     )^{-1/2}   \bullet   \frac{   （3\sqrt{2}     \bullet     2x-6x^2  ）（ 3x+3\sqrt{2} ）-3 （3\sqrt{2}x^2 -2x^3          ）             }{        (  3x+3\sqrt{2}   )^2             }  }}     \\



于是乎·就得到那个分子部分： F（x） =  \boldsymbol{           \displaystyle{                    （3\sqrt{2}     \bullet     2x-6x^2  ）（ 3x+3\sqrt{2} ）-3 （3\sqrt{2}x^2 -2x^3          ）  }}     \\
    \boldsymbol{           \displaystyle{                    =18（\sqrt{2}x -x^2）（x+\sqrt{2} ）-3（ 3\sqrt{2}x^2 -2x^3 ）}}




...\)

dodonaomikiki

\(  \boldsymbol{           \displaystyle{              F(x ）       =18（\sqrt{2}x -x^2）（x+\sqrt{2} ）-3（ 3\sqrt{2}x^2 -2x^3 ）}}   \\
   对 F(x ）       =0进行作图，通过作图法求出x的近似数值解\\
\boldsymbol{           \displaystyle{       x    \approx       \qquad             1.281}}

...\)

dodonaomikiki

\(     \boldsymbol{           \displaystyle{    再回到原来的笛卡尔花瓣的样态：                    }}      \\
\boldsymbol{           \displaystyle{    x0=\frac{\sqrt{2}}{2}(x-y)=\frac{\sqrt{2}}{2}  \bullet   1,281                }}            \\
\boldsymbol{           \displaystyle{    y0=\frac{\sqrt{2}}{2}(x+y)=\frac{\sqrt{2}}{2}  \bullet   1,281                      }}      \\


\boldsymbol{           \displaystyle{    \Longrightarrow    S_{max}=( \frac{\sqrt{2}}{2}  \bullet   1,281     -0,2817          ) ^2    \bullet    2                      }}      \\

\boldsymbol{           \displaystyle{    \approx     0,779                   }}         \\
\boldsymbol{           \displaystyle{    这个时候，就非常接近YSU老师的36/49                   }}       \\
\boldsymbol{           \displaystyle{    （      小数点后第一位一样！第二位相差4）             }}             \\
我估计：这个大概就是近似计算中产生的误差！差不多这个数值答案应该是对的~~~












...\)   

dodonaomikiki

能力水平有限，目前想不出什么几何方法！
其实，
心中还是更喜欢纯几何法，
往往几何法显得优雅纯粹干净利落些！

dodonaomikiki

对15楼进行补足：


\(
考虑到一阶导数=0                      \\
实际上也应该考虑  3\sqrt{2}x^2 -2x^3=0或者        3x+3\sqrt{2}=0                  \\

当3x+3\sqrt{2}=0，那么x取到负值，这显然是不行的！                  \\
当3\sqrt{2}x^2 -2x^3=0，那么x=\frac{3 \sqrt{2}      }{2}                  \\
那么就是如图所示，                  \\
显然也是不行的！
\)

dodonaomikiki

先把正方形放一放，开始探索一哈长方形