\(\huge\color{red}{\textbf{elim喷粪：\(0.\dot 9 = 1\)}}\)

APB先生

\[0.\dot{9}9=1-0.\dot{0}1\]\[\Updownarrow\]\[\frac{\dot{9}}{1\dot{0}}=\left( 1-\frac{1}{1\dot{0}}\right)\]

APB先生

\[0.\dot{9}9=1-0.\dot{0}1\]\[\Updownarrow\]\[\frac{\dot{9}}{1\dot{0}}=\left( 1-\frac{1}{1\dot{0}}\right)\]

APB先生

\(1\) 是二个无穷数之和

      \(1\) 是二个无穷数之和，细说就是：\(1\) 是二个无穷位小数之和，或是二个无穷位分数之和；其公式如下：\[1\equiv\begin{cases}
0.\dot{0}1+0.\dot{9}9=0.\dot{0}1+0.\dot{0}1\times\dot{9}9\\
\frac{1}{1\dot{0}}+\frac{\dot{9}}{1\dot{0}}
\end{cases}\]

APB先生

\(1\) 是二个无穷数之和

      \(1\) 是二个无穷数之和，细说就是：\(1\) 是二个无穷位小数之和，或是二个无穷位分数之和；其公式如下：\[1\equiv\begin{cases}
0.\dot{0}1+0.\dot{9}9=0.\dot{0}1+0.\dot{0}1\times\dot{9}9\\
\frac{1}{1\dot{0}}+\frac{\dot{9}}{1\dot{0}}=\frac{1}{1\dot{0}}+\frac{1}{1\dot{0}}\times\dot{9}
\end{cases}\]

APB先生

\[0.\dot{9}9=1-0.\dot{0}1\]\[\Updownarrow\]\[\frac{\dot{9}}{1\dot{0}}=\left( 1-\frac{1}{1\dot{0}}\right)\]

APB先生

      假如 \(1=\dot{9}\) 成立，则每一个不大于 \(0.\dot{9}\) 的有限小数如 \(0.a_1a_2\cdots a_n<0.\dot{9}\) 就都应当可以等于一个更小的无限小数如 \(0.b_1b_2\cdots\) ，而每一个不大于 \(0.b_1b_2\cdots\) 的有限小数如 \(0.c_1c_2\cdots c_n<0.b_1b_2\cdots\) 又都应当可以等于一个更更小的无限小数如 \(0.d_1d_2\cdots\) ，等等；如此这般的连续的推导下去，就可得到如下等式链\[0.\dot{9}=0.b_1b_2\cdots=0.d_1d_2\cdots=\lim0.d_1d_2\cdots=0\]
      所以 \(1=\dot{9}\) 不能成立，否则将导致矛盾 \(1=0\) 。

APB先生

\(1\ne0.\dot{9}\)，否则将导致\(1=0\)

APB先生

      假如\(1=0.\dot{9}\)成立，则有矛盾：\(1=0.\dot{9}=\left( 0.9+0.09+\cdots\right)=\left( 0.8\dot{9}+0.08\dot{9}+\cdots\right)=\)  \(\left( 0.8+0.09+0.009+\cdots\right)=\left( 0.7\dot{9}+0.08\dot{9}+\cdots\right)=\cdots=0\)  
      因此 \(1=0.\dot{9}\)不成立 ！！是伪等式 !  ! 否则将导致矛盾 \(1=0\) ！！
      \(1\) 是一个定数，不是一个变数，不能变成另外一个数如\(0.\dot{9}\)。
      \(0.\dot{9}\)也是一个定数，不是一个变数，不能变成另外一个数如\(1\)。