\(\huge^\star\color{red}{\textbf{ 混混数学为何不受待见}},\text{APB?}\)

春风晚霞

李利浩 发表于 2026-6-25 18:41
请问当n趋向无穷时，n分之一的极限值是多少？

答:\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\cfrac{1}{n}=0\).

李利浩

请问0乘以一个数等于多少？

春风晚霞

答:零乘以数等于0.不过当\(n\to\infty\)时\(n\cdot\cfrac{1}{n}=\cfrac{n}{n}=1\)

elim

\(\color{red}{0.\dot 9}\)是否等于 1 的问题是本版块谈论得最多, 最具争议的问题.
本贴介绍现行数学对这个问题的结论及详细论证．
【简述】以下两行对接触过现代高中数学的人已经足够了
\(\small 0.\dot 9=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{9}{10^k}= \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{9}{10^k}\) (无尽小数定义及无穷级数定义)
\(\quad =\displaystyle\lim_{n\to\infty}(1-10^{-n})=1\) (等比数列求和公式+基础极限论)
【引理】若 \(\small 0< \lambda<1,\) 则 \(\small\displaystyle\lim_{n\to\infty}\lambda^n=0\)
【证明】令 \(\small\delta = \lambda^{-1}-1\), 则 \(\small\delta > 0,\,\lambda^n=\large\frac{1}{(1+\delta)^n}\le \frac{1}{\delta n}\)
\(\small\because\quad\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\delta n}=\frac{1}{\delta}\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0,\;\;\therefore\;\;\lim_{n\to\infty}\lambda^n=0.\)   证毕
【注记】\(\small 0.\dot 9=0.9+0.09+0.009\cdots=\small\displaystyle\frac{9}{10}+\frac{9}{10^2}+\frac{9}{10^3}\cdots\)
\(\qquad\small =\small\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{9}{10^k}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{9}{10^k}\) 这里我们引用了现行数学对无
\(\qquad\)尽小数及无穷级数的释义. 目的在于引出部分和的极限
\(\qquad\)这个不涉及无穷操作因而是可实际分析验证的释义.
\(\qquad\)现求所论部分和: 从\(\scriptsize 1=0.9+0.1=0.99+0.01=\cdots\) 出发, 设
\(\qquad\scriptsize 1=\displaystyle\sum_{k=1}^m\frac{9}{10^k}+\frac{1}{10^m}\), 则 \(\scriptsize 1=\displaystyle\sum_{k=1}^m\frac{9}{10^k}+\frac{9}{10^{m+1}}+(\frac{1}{10^m}-\frac{9}{10^{m+1}})\)
\(\qquad\scriptsize\displaystyle=\sum_{k=1}^{m+1}\frac{9}{10^k}+\frac{1}{10^m}(1-\frac{9}{10})=\sum_{k=1}^{m+1}\frac{9}{10^k}+\frac{1}{10^{m+1}}\) 由数学归纳法得
\(\qquad\scriptsize\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{9}{10^k}=  1-10^{-n}\;(\forall n\in\mathbb{N})\).  故  \(\boxed{\scriptsize\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{9}{10^k}= \lim_{n\to\infty} (1-10^{-n}).}\)
\(\qquad\)由引理, \(\small\displaystyle\lim_{n\to\infty}10^{-n}=\lim_{n\to\infty}({\scriptsize\frac{1}{10}})^n=0\) 据极限的四则运算性
\(\qquad\)质得 \(\small\displaystyle\lim_{n\to\infty}(1-10^{-n})=1-\lim_{n\to\infty}10^{-n}=1.\) 这就完成了现
\(\qquad\)行数学框架下 \(0.\dot 9=1\) 的详尽证明.

\(\qquad\)由 \(\small 0.\dot 9=\displaystyle\lim_{n\to\infty} 0.\underset{n个9}{\underbrace{99\cdots 9}}=\lim_{n\to\infty}(1-10^{-n})=1,\)  因\(10^{-m}\)
\(\qquad\)是正整数倒数故大于 0, 即\(\small (1-10^{-n})< 1\)对每个正整数
\(\qquad n\)成立.  秒证蠢可达泡汤．
\(\qquad\)其实正是因为通常序列达不到其极限, 极限概念才有用．

elim

无人願继续与老痴交流, 商榷或论战.
春霞须认栽\(\lim n\in\mathbb{N}\), 以示老痴病灶受控．

春风晚霞

        师范类《数学分析》教材是根据有理数的稠密性证明\(0.\dot 9=1\)的:
        证明(反证法)：假设无限循环小数\(0.\dot 9<1\)，则存在纯小数c使不等式\(0.\dot 9<c<1\)成立，由\(c>0.\dot 9\)，于是根据逐位比较法：纯小数c在小数点的后边至少存在某一数位上的数字大于9，这与9是0到9这10个数字中的最大数矛盾。所以c不存在，故假设不成立。所以无限循环小数\(0.\dot 9=1\)
        elim，根据数项级数的定义，证得了\(0.\dot 9=\displaystyle\lim_{n \to \infty}(1-10^{-n})=1\)。elim认为【因为\(10^{-m}\)是正整数倒数故大于0，即\((1-10^{-n})<1\)对每个正整数n成立。秒证蠢氏可达泡汤。其实正因为通常数列达不到其极限，极限概念才有用。】elim，你的秒证不仅没有证明【蠢氏可达泡汤】，反而更进一步暴露了你反现行数学的丑恶嘴脸。因为师范类《数学分析》不用极限理论证得了\(0.\dot 9=1\)，而你根据数项级数的和证得了\(0.\dot 9=\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(1-10^{-n})\)并且强调【\((1-10^{-n})<1\)】，所以你的证明在\(n\to\infty\)时\(0.\dot 9<1\)，对于同一无尽(即小数的位数趋于无限)小数\(0.\dot 9\)，只能是1(即教科书证法).所以泡汤的恰好是你的\(\cfrac{1}{n}\)永远不等于0.

elim

春风晚霞 发表于 2026-6-25 13:24
师范类《数学分析》教材是根据有理数的稠密性证明\(0.\dot 9=1\)的:
        证明(反证法)：假设 ...

楼上的 \(0.\dot 9=1\) 证明并不提供无尽小数是不是数, 是什么数的信息.
逐位比较法的正当性却需要这种信息. 所以无尽小数是什么的问题是
绕不过去的.  一般教科书作者假定这是自明的：
\(\small(\dagger)\;\;\displaystyle0.a_1a_2\ldots = \frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{10^2}+\ldots=\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{10^n}=\lim_{k\to\infty}\sum_{n=1}^k\frac{a_n}{10^n}\)
因为无尽小数(级数)理所当然是相应的有限小数(部分和)序列的极限.
一旦有了这个定义, 逐位比较法就有点脱裤子放屁的意味了. 这在我
的主题\(0.\dot 9=1\)终证中可以清楚地看出.
\(0.\dot 9=1\)真正的严格证明是不能没有无尽小数定义根据的：

以上定义引自卢丁【数学分析原理】(公认的数学分析天花板)
根据单调有界收敛定理, 卢丁的十进小数定义等价于\(\small(\dagger)\)
无尽小数的问题现在转化为一类特殊级数的问题：
\(\small(\ddagger)\;\;\displaystyle0.a_1a_2\ldots =\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{10^n}\;\;(0\le a_k\le 9,\;k\in\mathbb{N})\)\(\\\)
所以势必涉及极限理论, 实数理论.  没有人愿意与老痴交流商榷\(\\\)
数学. 所以春霞必须认栽Weierstrass, 承认 \(\lim n\not\in\mathbb{N}\), 以示\(\\\)
其老痴病情有所控制. 坚持顽瞎目测则意味着其老痴病情任然失控.

elim

春风晚霞 发表于 2026-6-25 13:24
师范类《数学分析》教材是根据有理数的稠密性证明\(0.\dot 9=1\)的:
        证明(反证法)：假设 ...

楼上的 \(0.\dot 9=1\) 证明并不提供无尽小数是不是数, 是什么数的信息.
逐位比较法的正当性却需要这种信息. 所以无尽小数是什么的问题是
绕不过去的.  一般教科书作者假定这是自明的：
\(\small(\dagger)\;\;\displaystyle0.a_1a_2\ldots = \frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{10^2}+\ldots=\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{10^n}=\lim_{k\to\infty}\sum_{n=1}^k\frac{a_n}{10^n}\)
因为无尽小数(级数)理所当然是相应的有限小数(部分和)序列的极限.
一旦有了这个定义, 逐位比较法就有点脱裤子放屁的意味了. 这在我
的主题\(0.\dot 9=1\)终证中可以清楚地看出.
\(0.\dot 9=1\)真正的严格证明是不能没有无尽小数定义根据的：

以上定义引自卢丁【数学分析原理】(公认的数学分析天花板)
根据单调有界收敛定理, 卢丁的十进小数定义等价于\(\small(\dagger)\)
无尽小数的问题现在转化为一类特殊级数的问题：
\(\small(\ddagger)\;\;\displaystyle0.a_1a_2\ldots =\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{10^n}\;\;(0\le a_k\le 9,\;k\in\mathbb{N})\)\(\\\)
所以势必涉及极限理论, 实数理论.  没有人愿意与老痴交流商榷\(\\\)
数学. 所以春霞必须认栽Weierstrass, 承认 \(\lim n\not\in\mathbb{N}\), 以示\(\\\)
其老痴病情有所控制. 坚持顽瞎目测则意味着其老痴病情任然失控.

春风晚霞

关于无尽小数是不是数的问题，早在殴几里得时代就已明确，无需20世纪的学者重新定义。其中有限小数的认知几乎与整数认知同步。无尽小数中的“无尽”缘于殴几里得的不可公度。所以现行教科书【并不提供无尽小数是不是数, 是什么数的信息】，现行师范类《数学分析》，为使描述不可公度的量得以更好的说明，需要用该量的不足近似值(有理数)和过剩近似值(有理数)来确定这个描述这个无理数逐位的大小。所以就需要把这些不足近似值和过剩近似值表示成无尽循环小数的形式如\(1.41<\sqrt 2<1.42\)，这时我们就需要把1.41表成1.409999…，把1.42表成1.419999…所以要建立实数理论就必须先证明\(0.\dot 9=1\)。当然也就必须在建立极限理之前先证明\(0.\dot 9=1\)。卢丁《数学分析原理》表述的无尽小数的定义式无疑是正确的，但它与\(0.\dot 9\)又有明显区别！卢丁所给的无尽小数只实突显了无尽，而并未给出这个抽象的无尽小数的部份和的极限是否存在，即这个抽象的元尽小数的前n项和是否收敛于某个常数，它的余项是否为0。当然这也根不涉及其极限县否可达等问题。至于我对Weierstrass的认知，虽然elim累发了近4万个帖子对我的攻击、诋毁和辱骂，但他没有一个帖子是根据现行的实数对我进行反驳，为此我深感荣幸。因为你为打压、攻击我不惜把现行数学反了过遍。你说还有比这么多的数学家为我代过而更加高兴的事吗？所以必须认栽Weierstrass的不是我而该是你！还有在elim的认知里，【自然数皆有限数】，但你永远渡不清楚自然数n的“限”在哪里？由于elim也承认自然数集是无限集，所以如果我们把自然数列闩通项表为\(x_n=n\)，两么\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n=\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)这个等式就应该成立。绝无等式的右端有意义，而等式左端无意义之说！所以由自然数集是无限集，就必然得到自然数集必含无限数！由于elim不承认\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)是自然数！所以elim自然也不承认\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(n-1\)是自然数，自然也不承认\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(n-2)\)是自然数，所以根据皮亚诺公理笫二条知若\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}，则\mathbb{N}=\phi\)！

elim

春风晚霞 发表于 2026-6-25 17:31
关于无尽小数是不是数的问题，早在殴几里得时代就已明确，无需20世纪的学者重新定义。其中有限小数的认知几 ...

我看老痴根本就不识数！说无尽小数是实数，需要证明它是实数域的成员．因为整数的比是有理数所以有限小数是实数．因无尽小数是有限小数序列的极限，所以它是实数．因为春霞坚持\(\lim n\in\mathbb{N}\), 所以春霞是极限白痴，所以春霞是不识无尽小数的．因为春霞是教微积分的，所以它是白痴了才成为极限白痴的．因为老痴是不可理喻的，所以无人愿意与之谈数学．