已知实数 x,y 满足 z^2+xy+2y^2=7 ，求 x^2+3y^2 的最小值

波斯猫猫

已知实数 x,y 满足 x^2+xy+2y^2=7 ，求 x^2+3y^2 的最小值.

令x=a+b，y=a-b，则(a+b)^2+(a+b)(a-b)+2(a-b)^2=7，

即4a^2-2ab+2b^2=7. ∴4a^2-8(4a^2-7)≥0，即0≤a^2≤2.

∴ x^2+3y^2=(a+b)^2+3(a-b)^2=4a^2-4ab+4b^2

=2(2a^2-2ab+2b^2)=2(2a^2+7-4a^2)

=2(7-2a^2). 即6≤x^2+3y^2≤14.

luyuanhong

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dodonaomikiki

一开始的时候，我想的就是：切西瓜！
隐隐觉得，大概作出直线x=ky，
求出与椭圆的切点大概率能够求出最大值，最小值来！
但实际操作的话，难度随之而来：K值怎么求的呢？有什么好办法呢？

dodonaomikiki

为此，还想到啦天才画家
\(葛饰北斋*Katsushika    \qquad       Hokusai【1760-1849】                   \)

liangchuxu

用初等配方法，最大最小值都有了

dodonaomikiki

结合Lu老师以及各位大咖的解答，
我再回到【切西瓜】上来，
实际上说来，就是切西瓜【切出最大】，【切出最小】



结合四点作图，作出虚线：
\(
A  ( 3\sqrt{2}/2,        \sqrt{2}/2              )                        \\
B (-3\sqrt{2}/2,       - \sqrt{2}/2              )                  \\

C(  -\sqrt{7/2}     , \sqrt{7/2}          )                  \\
D(   \sqrt{7/2}     , -\sqrt{7/2}                   )                  \\

...\)

liangchuxu

liangchuxu 发表于 2026-8-16 21:04
用初等配方法，最大最小值都有了

对于二次型，配方法还算方便。当然，拉格朗日方法范围更广