哥猜数与连乘积

yangchuanju

A007053-92
Number of primes <= 2^n.
0 0
1 1
2 2
3 4
4 6
5 11
6 18
7 31
8 54
9 97
10 172
11 309
12 564
13 1028
14 1900
15 3512
16 6542
17 12251
18 23000
19 43390
20 82025
21 155611
22 295947
23 564163
24 1077871
25 2063689
26 3957809
27 7603553
28 14630843
29 28192750
30 54400028
31 105097565
32 203280221
33 393615806
34 762939111
35 1480206279
36 2874398515
37 5586502348
38 10866266172
39 21151907950
40 41203088796
41 80316571436
42 156661034233
43 305761713237
44 597116381732
45 1166746786182
46 2280998753949
47 4461632979717
48 8731188863470
49 17094432576778
50 33483379603407
51 65612899915304
52 128625503610475
53 252252704148404
54 494890204904784
55 971269945245201
56 1906879381028850
57 3745011184713964
58 7357400267843990
59 14458792895301660
60 28423094496953330
61 55890484045084135
62 109932807585469973
63 216289611853439384
64 425656284035217743
65 837903145466607212
66 1649819700464785589
67 3249254387052557215
68 6400771597544937806
69 12611864618760352880
70 24855455363362685793
71 48995571600129458363
72 96601075195075186855
73 190499823401327905601
74 375744164937699609596
75 741263521140740113483
76 1462626667154509638735
77 2886507381056867953916
78 5697549648954257752872
79 11248065615133675809379
80 22209558889635384205844
81 43860397052947409356492
82 86631124695994360074872
83 171136408646923240987028
84 338124238545210097236684
85 668150111666935905701562
86 1320486952377516565496055
87 2610087356951889016077639
88 5159830247726102115466054
89 10201730804263125133012340
90 20172933541156002700963336
91 39895115987049029184882256
92 78908656317357166866404346

yangchuanju

A065577
10^1--10^15以内的哥猜数
1 2
2 6
3 28
4 127
5 810
6 5402
7 38807
8 291400
9 2274205
10 18200488
11 149091160
12 1243722370
13 10533150855
14 90350630388
15 783538341852

A006307
2^1--2^40以内的哥猜数
1 0
2 1
3 1
4 2
5 2
6 5
7 3
8 8
9 11
10 22
11 25
12 53
13 76
14 151
15 244
16 435
17 749
18 1314
19 2367
20 4239
21 7471
22 13705
23 24928
24 45746
25 83467
26 153850
27 283746
28 525236
29 975685
30 1817111
31 3390038
32 6341424
33 11891654
34 22336060
35 42034097
36 79287664
37 149711134
38 283277225
39 536710100
40 1018369893

A116979
2#--37#以内的哥猜数
1 0
2 1
3 3
4 19
5 114
6 905
7 9493
8 124180
9 2044847
10 43755729
11 1043468386
12 30309948241

A062311
1！--15！以内的哥猜数
1 0
2 0
3 1
4 3
5 12
6 39
7 184
8 951
9 5531
10 38713
11 346207
12 3130812
13 34444964
14 382437428
15 4637235145

yangchuanju

哥猜数与连乘积
要求算一个有限偶数N的哥德巴赫猜想分拆素数对数G（简称哥猜数）有多种方法，
最基本的方法是双筛，列两行（或两列）从1到N-1的连续正整数，一正一倒排列整齐，
使第二行（列）中的N-1,N-3,N-5……5,3,1与第一行（列）中的1,3,5……N-5,N-3,N-1两两对齐；
依次用偶数平方根内的全部素数2,3,5……p将两行（列）正整数中2,3,5……p的倍数数删除，式中p是N平方根内的最大奇素数；
当所用素数pi是N的倍数时，每pi个连续整数对中有1对被删除；当所用素数pi不是N的倍数时，每pi个连续整数对中有2对被删除；
最终筛余数近似于N*1/2*3分子1或2*5分子3或4*……*p分子p-2或p-1，
一般写着G≈N/2*∏(p-2)/p*∏(p-1)/(p-2)，式中第一个连乘积中的p取尽N平方根内所有奇素数，第二个连乘积（波动因子）中的p仅取N平方根内能够整除N的奇素数；
素数连乘积只是约等于真实的哥猜数G，其中存在有3个误差——
1、含1数对或被删除，或被保留，但它们都不是素数对，应减去2或0；
2、含3,5,7……p的数对均被删除，然其中有部分数对（亦或没有一对）是素数对，应补加在筛余数对中，补加数是0,2,4……，最大是2p；
3、一般来说，奇素数3,5,7……p不全是偶数N的素因子，筛余数与哥猜数G之间存在有或正或负的误差，应加上负误差或减去正误差。
对连乘积计算式存在的三种误差分别处理后，才能得到真实的哥猜数G。
一般来说，素数连乘积计算式值是大于真实哥猜数的，当N相当大时比值约为1.2609。

yangchuanju

暂且不管N/2*∏(p-2)/p*∏(p-1)/(p-2)计算值是不是等于偶数N的真实哥猜素数对数，只看计算值的变换趋势，
随着偶数N从6,8,10……的逐渐增大，计算值上下波动大起大落，但总趋势是波动式增大的。
N/2*∏(p-2)/p*∏(p-1)/(p-2)中的第二个连乘积总是大于等于1的，暂且去掉不考虑，单看N/2*∏(p-2)/p的计算值，
随着偶数N从6,8,10……的逐渐增大，计算值不再大起大落，但仍有小幅度的上下波动，总趋势也是波动式增大的。
再看∏(p-2)/p，随着p的最大，数值由1/3=0.3333，1/5=0.2000，1/7=0.142857…，1/7*9/11=0.116883…，……阶梯式的逐渐减少，
当N继续增大直至趋近于无穷大时，素数连乘积∏(p-2)/p计算值趋近于0；
N/2*∏(p-2)/p的计算值变成∞*0型无穷乘积，数值是无穷大的。

亦可将素数连乘积转换成奇合数连乘积∏c/(c-2)=p*∏(p-2)/p，式中c是p内所有奇合数，最大值等于p-2;
随着偶数N的不断增大，p、c也在不断增大，奇合数连乘积∏c/(c-2)呈阶梯式的增大，
当N趋近于无穷大时，奇合数连乘积∏c/(c-2)也趋近于无穷大。
当用奇合数连乘积估算N的哥猜数时，计算式是N/2p*∏c/(c-2)*波动因子，
在不考虑波动因子时计算式是N/2p*∏c/(c-2)≈√N/2*∏c/(c-2)，
当N趋近于无穷大时，N/2p*∏c/(c-2)或√N/2*∏c/(c-2)都是∞*∞型，乘积是无穷大。
由于√N/2的介入，使阶梯式增大的∏c/(c-2)变成锯齿状逐渐增大的图形（在同一个p或c下，√N/2在增大，水平线变成向上翘起的倾斜线）。

还可将素数连乘积转换成含偶合数连乘积∏d/(d-2)=p*(p-1)/2*∏(p-2)/p，式中d是p内所有奇合数和偶合数，最大值等于p-1;
随着偶数N的不断增大，p、d也在不断增大，合数连乘积∏d/(d-2)呈阶梯式的增大，
当N趋近于无穷大时，合数连乘积∏d/(d-2)也趋近于无穷大。
当用合数连乘积估算N的哥猜数时，计算式是N/2p*2/(p-1)*∏c/(c-2)*波动因子=N/p/(p-1)*∏c/(c-2)*波动因子，
在不考虑波动因子时计算式是N/p/(p-1)*∏c/(c-2)≈∏d/(d-2)，
当N趋近于无穷大时，N/p/(p-1)*∏c/(c-2)是1*∞型数字，乘积是无穷大；而∏d/(d-2)更明显，趋近于无穷大。

不计波动因子的三种连乘积的哥猜数的图线都是阶梯式或锯齿式的增大的，不反映二级小波动。
只有在计算连乘积计算值与真实“哥猜数/波动因子”之比时，才能反映出这种二级小波动；
当考虑进连乘积和哥猜数的波动因子后，连乘积计算值与真实哥猜数之比，呈现出一级大波动，此时的二级小波动被大波动遮掩了。

yangchuanju

另一种估算给定偶数哥猜数的计算式是2C*N/ln(N)^2*波因，它是哈李等人推导出来的渐进对数式，
当N较小时，对数式计算值小于真实哥猜数，
当N逐渐增大并趋近于无穷大时，对数式计算值与真实哥猜数之比趋近于1，
亦即当N逐渐增大并趋近于无穷大时，真实哥猜数就等于2C*N/ln(N)^2*波因了。

上面涉及的连乘积计算值一般大于哥猜数，对数式计算值一般小于哥猜数；
当偶数N逐渐增大并趋近于无穷大时，哥猜数等于对数式计算值。
当然还有其它各种计算方法——积分法，素数个数法，修正系数法等等，不再一一论述。

yangchuanju

用对数计算式2C*N/ln(N)^2*波因估算大偶数N的哥猜数，计算方便且能计算高达10^308的大偶数的哥猜数；
而用素数连乘积或合数连乘积估算不太大的偶数的哥猜数就非常不方便，因为各种连乘积都是从3开始累计计算的；
由于计算精度和误差等原因，计算值也不是精确的！

yangchuanju

哥猜数下限
如果只想求给定偶数的哥猜数的下限，可以用不计波动因子的对数式2C*N/ln(N)^2的计算值充当，亦或用N/ln(N)^2的计算值充当。
鲁思顺不研究对数式计算式，只研究一些小偶数的连乘积计算式，再在连乘积计算式上乘一个他异想天开的“加强”系数，便号称大于某某某的偶数的哥猜数不小于某某某，
并标称为“定理”，“最新记录”，须知
他的连乘积计算值和折扣值计算精度极差（均用手机手工计算），视“定理”、“最新记录”为儿戏，愚蠢至极！
由于连乘积计算值可能是真实哥猜数的1.2609倍，要用连乘积计算值作为“下限”，可在连乘积计算式之上除以1.261或乘以0.793即可。

lusishun

yangchuanju 发表于 2026-9-24 05:41
哥猜数下限
如果只想求给定偶数的哥猜数的下限，可以用不计波动因子的对数式2C*N/ln(N)^2的计算值充当，以 ...

多次高告诉你，不要只会使电脑(计算)，更要懂得使用人脑，

yangchuanju

当用不含波因的对数式“2C*N/ln(N)^2”的计算值充当哥猜数下限时，22万以内共有14个偶数的“2C*N/ln(N)^2/双哥”比值大于1，最大偶数是2672——                                       
偶数        单哥猜数        波动因子k        双哥猜数        2C*N/ln(N)^2        .../双哥
2        0        1.0000         0        5.50         ——
4        0        1.0000         1        2.75         2.7481
6        1        1.0000         1        2.47         2.4676
8        1        1.0000         2        2.44         1.2214
12        1        2.0000         2        2.57         1.2830
38        2        1.0000         3        3.79         1.2639
68        2        1.0000         4        5.04         1.2607
98        3        1.2000         6        6.16         1.0258
128        3        1.0000         6        7.18         1.1964
332        6        1.0000         12        13.01         1.0840
398        7        1.0000         13        14.66         1.1279
632        10        1.0000         20        20.06         1.0032
992        13        1.0345         26        27.51         1.0582
2672        28        1.0000         56        56.66         1.0118

当用对数式“N/ln(N)^2”的计算值充当哥猜数下限时，仅有3个偶数2,4,6的“N/ln(N)^2/双哥”比值大于1——                                       
偶数        单哥猜数        波动因子k        双哥猜数        N/ln(N)^2        …/双哥
2        0        1.0000         0        4.16         ——
4        0        1.0000         1        2.08         2.0814
6        1        1.0000         1        1.87         1.8689
12        1        2.0000         2        1.94         0.9717
18        2        2.0000         4        2.15         0.5386
30        3        2.6667         6        2.59         0.4322

cuikun-186

众所周知的陈氏定理就是P(1,2)≥0.667C(x)x/(logx)^2就是下界理论，
这是数学人都懂的基本原则！
所以我崔坤的r2(N)≥0.8488N/(lnN)^2也是标准的定理