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发表于 2026-9-30 17:08
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\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
\section{费马大定理初等证明}
\subsection{费马三元组全域二分}
\subsubsection{一、无效三元组}
\begin{enumerate}
\item $a\le b<c,\quad a+b<c,\quad n\ge1$ 无解；
\item $a\le b<c,\quad a+b=c,\quad n\ge2$ 无解；
\item $b\ge c,\quad n\ge1$ 无解。
\end{enumerate}
\subsubsection{二、有效三元组}
\[
a\le b<c,\qquad a+b>c
\]
满足该条件的三元组，方程
\[
a^{n_c}+b^{n_c}=c^{n_c}
\]
存在唯一正实数临界指数 $n_c$；若 $a+b\le c$，不存在正实数临界指数。
\textbf{模等腰三元组}
\[
K+1=a,\qquad K+1=b,\qquad K+2=c
\]
其中 $K\ge1$ 为正整数，满足 $a+b>c$。
垂直增 $c$ 至 $2b-1$，关联等腰；
水平减 $a$ 至 $c-b+1$，包括关联等腰水平减 $a$。
包含关联等腰构型，通过垂直‑水平双维变换可以覆盖全部有效费马三元组。
\textbf{无解传递}
模三元组路径最长，路径短的三元组临界指数递减。
模三元组关联等腰临界指数非整数，
非等腰三元组牛顿数值非整数，则
\[
a^n+b^n\ne c^n
\]
\subsection{有效费马三元组与临界指数}
\textbf{临界指数公式}
\[
a^{n_c}+b^{n_c}=c^{n_c}
\]
构造函数
\[
g(n)=\left(\frac{a}{c}\right)^n+\left(\frac{b}{c}\right)^n
\]
$g(n)$ 在 $n>0$ 上严格单调递减，满足
\[
g(n_c)=1
\]
由此保证临界指数 $n_c$ 存在且唯一。
\textbf{等腰三元组临界指数显式闭式}
对于等腰有效费马三元组 $a=b$，$a\le b<c$，$a+b>c$：
\[
2a^{n_c}=c^{n_c}\implies 2=\left(\frac{c}{a}\right)^{n_c}
\]
\[
n_c=\frac{\ln 2}{\ln\left(\dfrac{c}{a}\right)}
\]
模等腰三元组代入得
\[
n_0=\frac{\ln 2}{\ln\dfrac{K+2}{K+1}}
\]
\textbf{临界指数判别意义}
当 $n_c>2$：对整数 $n>2$，有 $a^n+b^n>c^n$；
当 $n_c=2$：勾股三元组，满足 $a^2+b^2=c^2$；
当 $1<n_c<2$：对整数 $n>2$，有 $a^n+b^n<c^n$。
\textbf{牛顿数值公式（有效费马三元组专用）}
\[
F(n)=a^n+b^n-c^n
\]
\[
F'(n)=a^n\ln a+b^n\ln b-c^n\ln c
\]
\[
n_{k+1}=n_k-\frac{a^{n_k}+b^{n_k}-c^{n_k}}{a^{n_k}\ln a+b^{n_k}\ln b-c^{n_k}\ln c}
\]
该牛顿迭代公式为费马有效三元组量身而打造，对等腰、非等腰有效三元组均可求解临界指数，收敛速度快。
\textbf{算例说明}
\begin{itemize}
\item $(5,5,6)$，$n_c\approx 3.80178$，属于 $n_c>2$；
\item $(4,5,6)$，$n_c\approx 2.48794$，属于 $n_c>2$；
\item $(3,4,5)$，$n_c=2.00000$，勾股三元组；
\item $(5,5,7)$，$n_c\approx 2.06004$，属于 $n_c>2$；
\item $(3,5,6)$，$n_c\approx 1.82255$，属于 $1<n_c<2$；
\item $(5,5,8)$，$n_c\approx 1.47477$，属于 $1<n_c<2$；
\item $(2,5,6)$，$n_c\approx 1.37251$，属于 $1<n_c<2$；
\item $(4,5,7)$，$n_c\approx 1.58162$，属于 $1<n_c<2$；
\item $(3,5,7)$，$n_c\approx 1.25666$，属于 $1<n_c<2$；
\item $(4,5,8)$，$n_c\approx 1.20740$，属于 $1<n_c<2$；
\item $(5,5,9)$，$n_c\approx 1.17925$，属于 $1<n_c<2$。
\end{itemize}
\subsection{附录}
\subsubsection{④ 临界指数}
\[
\text{定义：}\quad a^{n_c}+b^{n_c}=c^{n_c}
\]
\[
\text{模三元组：}\quad n_0=\frac{\ln2}{\ln\dfrac{K+2}{K+1}}
\]
\[
\text{牛顿迭代：}\quad n_{k+1}=n_k-\frac{a^{n_k}+b^{n_k}-c^{n_k}}{a^{n_k}\ln a+b^{n_k}\ln b-c^{n_k}\ln c}
\]
\[
\text{唯一性：}\quad g(n)=\left(\frac{a}{c}\right)^n+\left(\frac{b}{c}\right)^n\ \text{严格递减，}\ g(n_c)=1
\]
\subsubsection{⑤ 等腰族比值（核验用）}
\[
R(b,n)=\frac{2b^n}{(b+1)^n}\ \longrightarrow\ 2\quad(b\to\infty)
\]
\subsection{小结}
本文采用费马三元组全域二分，将全部正整数三元组划分为无效三元组与有效三元组两大类。以模等腰三元组为基底，借助垂直‑水平双维变换生成全部有效三元组。利用临界指数刻画方程 $a^n+b^n=c^n$ 的分界位置：等腰三元组拥有解析闭式，非等腰三元组依靠牛顿迭代求得临界指数。由临界指数非整数，全部有效三元组不存在整数解，由此得到：对整数 $n>2$，不定方程
\[
a^n+b^n=c^n
\]
没有正整数解。
\end{document}
 
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费马大定理初等证明
费马三元组全域二分
一、无效三元组
① a\le b<c,\quad a+b<c,\quad n\ge1 无解
② a\le b<c,\quad a+b=c,\quad n\ge2 无解
③ b\ge c,\quad n\ge1 无解
二、有效三元组
a\le b<c,\qquad a+b>c
满足该条件的三元组，方程
a^{n_c}+b^{n_c}=c^{n_c}
存在唯一正实数临界指数 n_c；若 a+b\le c，不存在正实数临界指数。
模等腰三元组
K+1=a,\qquad K+1=b,\qquad K+2=c
其中 K\ge1 为正整数，满足 a+b>c。
垂直增 c 至 2b-1，关联等腰；
水平减 a 至 c-b+1，包括关联等腰水平减 a。
包含关联等腰构型，通过垂直‑水平双维变换可以覆盖全部有效费马三元组。
无解传递
模三元组路径最长，路径短的三元组临界指数递减。
模三元组关联等腰临界指数非整数，
非等腰三元组牛顿数值非整数，则
a^n+b^n\ne c^n
有效费马三元组与临界指数
临界指数公式
a^{n_c}+b^{n_c}=c^{n_c}
构造函数
g(n)=\left(\frac{a}{c}\right)^n+\left(\frac{b}{c}\right)^n
g(n) 在 n>0 上严格单调递减，满足
g(n_c)=1
由此保证临界指数 n_c 存在且唯一。
等腰三元组临界指数显式闭式
对于等腰有效费马三元组 a=b，a\le b<c，a+b>c：
2a^{n_c}=c^{n_c}\implies 2=\left(\frac{c}{a}\right)^{n_c}
n_c=\frac{\ln 2}{\ln\left(\dfrac{c}{a}\right)}
模等腰三元组代入得
n_0=\frac{\ln 2}{\ln\dfrac{K+2}{K+1}}
临界指数判别意义
当 n_c>2：对整数 n>2，有 a^n+b^n>c^n；
当 n_c=2：勾股三元组，满足 a^2+b^2=c^2；
当 1<n_c<2：对整数 n>2，有 a^n+b^n<c^n。
牛顿数值公式（有效费马三元组专用）
F(n)=a^n+b^n-c^n
F'(n)=a^n\ln a+b^n\ln b-c^n\ln c
n_{k+1}=n_k-\frac{a^{n_k}+b^{n_k}-c^{n_k}}{a^{n_k}\ln a+b^{n_k}\ln b-c^{n_k}\ln c}
该牛顿迭代公式为费马有效三元组量身而打造，对等腰、非等腰有效三元组均可求解临界指数，收敛速度快。
算例说明
- (5,5,6)，n_c\approx 3.80178，属于 n_c>2；
- (4,5,6)，n_c\approx 2.48794，属于 n_c>2；
- (3,4,5)，n_c=2.00000，勾股三元组；
- (5,5,7)，n_c\approx 2.06004，属于 n_c>2；
- (3,5,6)，n_c\approx 1.82255，属于 1<n_c<2；
- (5,5,8)，n_c\approx 1.47477，属于 1<n_c<2；
- (2,5,6)，n_c\approx 1.37251，属于 1<n_c<2；
- (4,5,7)，n_c\approx 1.58162，属于 1<n_c<2；
- (3,5,7)，n_c\approx 1.25666，属于 1<n_c<2；
- (4,5,8)，n_c\approx 1.20740，属于 1<n_c<2；
- (5,5,9)，n_c\approx 1.17925，属于 1<n_c<2。
附录
④ 临界指数
\text{定义：}\quad a^{n_c}+b^{n_c}=c^{n_c}
\text{模三元组：}\quad n_0=\frac{\ln2}{\ln\dfrac{K+2}{K+1}}
\text{牛顿迭代：}\quad n_{k+1}=n_k-\frac{a^{n_k}+b^{n_k}-c^{n_k}}{a^{n_k}\ln a+b^{n_k}\ln b-c^{n_k}\ln c}
\text{唯一性：}\quad g(n)=\left(\frac{a}{c}\right)^n+\left(\frac{b}{c}\right)^n\ \text{严格递减，}\ g(n_c)=1
⑤ 等腰族比值（核验用）
R(b,n)=\frac{2b^n}{(b+1)^n}\ \longrightarrow\ 2\quad(b\to\infty)
小结
本文采用费马三元组全域二分，将全部正整数三元组划分为无效三元组与有效三元组两大类。以模等腰三元组为基底，借助垂直‑水平双维变换生成全部有效三元组。利用临界指数刻画方程 a^n+b^n=c^n 的分界位置：等腰三元组拥有解析闭式，非等腰三元组依靠牛顿迭代求得临界指数。由临界指数非整数，全部有效三元组不存在整数解，由此得到：对整数 n>2，不定方程
a^n+b^n=c^n
没有正整数解。
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