至今还没有任何人解出来的世界难题——“大圆包小圆”问题

yangchuanju

（接上楼）
当小圆个数等于7时，6小圆成正六边形排列，另一小圆居中心，正六边形外接圆半径=0.5/cos60=0.5/0.5=1，大圆直径等于外接圆直径加1=1*2+1=3；       

当小圆个数等于8时，分成4+4两圈小圆正方形相错45度；4小圆在内成正方形排列，4圆心在边长1*1正方形角点；       
        4小圆在外也成正方形排列，4圆心在对角线长[（0.5+0.866025404)*2]*2.73205808正方形角点；大圆直径等于3.732050808；

当小圆个数等于10时，分成5+5两圈小圆正五边形相错54度；54小圆在内成正五边形排列，5圆心在边长1的正五边形角点；       
        5小圆在外也成正五边形排列，5圆心在边长2*cos(54-30)=1.827090915正五边形形角点；大圆直径等于1.827090915*1.701301617+1=4.10843728；

当小圆个数等于13时，分成6+6两圈小圆正六边形相错60度（居中心的一个小圆不计）；6小圆在内成正六边形排列，6圆心在边长1的正六边形角点；       
        6小圆在外也成正六边形排列，6圆心在对角线长2*√3正六边形形角点；大圆直径等于4.464101615；按层数为1+4+3+4+1；

当小圆个数等于19时，分成12+6两圈小圆正六边形相错60度（居中心的一个小圆不计）；6小圆在内成正六边形排列，6圆心在边长1的正六边形角点；       
        12小圆在外也成正六边形排列，12圆心在高等于2*√3、对角线等于4的正六边形形角点；大圆直径等于5；

yangchuanju

（接上楼）
当小圆个数等于12时，分成6+6两圈小圆正六边形相错60度（中心空缺一位）；6小圆在内成正六边形排列，6圆心在边长1的正六边形角点；       
6小圆在外也成正六边形排列，6圆心在对角线长2*√3正六边形形角点；大圆直径等于4.464101615；


当小圆个数等于12时，还有一种更密排列法，分成6+3+3三圈小圆正六边形相错19.1066和60度；6小圆在内两圈成大小镶套的正三角形排列，3圆心在边长1的正三角形角点，3圆心在边长等于2的正三角形角点；       
6小圆在外成六边形排列，边长1、2、1、2、1、2交叉排列；大圆直径等于4.055050463；按层数为1+4+3+4+1。

yangchuanju

当n等于9时，只能在n=10的基础上去掉一个小圆（空缺一位），大圆直径等同于n=10，直径等于4.10843728；
当n等于9时，或者在n=12的基础上去掉三个小圆（空缺三位），大圆直径等同于n=12，直径等于4.055050463；
其实对于n=9，有一种较密的排列法——正方形排列法，9个小圆排成3*3的正方形，大圆直径为√2*2+1=3.828427125。
用正方形排列法，当n继续增大时，不会再是最密的！

当n等于11时，或者在n=12的基础上去掉一个小圆（空缺一位），大圆直径等同于n=12，直径等于4.055050463。

yangchuanju

对于由1个小圆占据中心时：
当n=1时，大圆直径等于1；
当n=1+6=7时，大圆直径等于3；
当n=1+6+12=19时，大圆直径等于5；
当n=1+6+12+18=37时，大圆直径等于7；
……
当n=1+6+12+18+…+6k时，大圆直径等于1+2k。

费尔马1

yangchuanju 发表于 2022-5-25 09:46
感谢王老师翻出坛主陆教授2008年的博贴，并把它顶了起来！
然王老师对坛主陆教授的评论不太恰当吧！

一般研究有规律的，无规律的只能是近似结果，就如同n内有多少个素数，n为任意正整数都有精确解，但是总没有一个通解公式，请老师们不要多费心思啊！

wangyangke

大圆包小圆问题就是园内整点问题，就是Π=3.1415926——3，1415927问题

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2022-5-25 14:26
对于由1个小圆占据中心时：
当n=1时，大圆直径等于1；
当n=1+6=7时，大圆直径等于3；

当k较大时，正六边形布圆区的6边与大圆弧之间的弓形区域内还有可能再容纳一些小圆，数量更加复杂！

yangchuanju

问：半径等于n的圆内最多可以容纳多少个完整的半径等于1的小圆？
简答：大圆面积等于π*n*n，当小圆按正方形排列时，每个小圆占据面积为4，表观上最多可容纳π/4*n*n个小圆；
当小圆按正三角形排列时，每个小圆占据面积为2*√3=3.4541，表观上最多可容纳π/3.4541*n*n个小圆；
实际上由于在边界处许多位置容不下完整的小圆，故大圆内可容纳的完整小圆的数量要少一些！

问：半径等于n的圆内最多可以容纳多少个整数坐标点？
简答：大圆面积等于π*n*n，整数点坐标是按正方形排列时，每个整数坐标点占据面积为0，表观上大圆内有π*n*n个整数点坐标；
实际上由于某些整数坐标点可能位于大圆周上，故大圆内可容纳的整数坐标点的数量要少一些，但少不多！

两类问题相似但不相同！

yangchuanju

变形问题：
问：长a、宽b的矩形容器内最多可以容纳多少个半径等于1的完整小圆？
简答：矩形面积等于a*b，当a和b都是正偶数，小圆按正方形排列时，每个小圆占据面积为4，实际可容纳a*b/4个小圆；
当小圆按正三角形排列时，每个小圆占据面积为2*√3=3.4541，表观上最多可容纳a*b/3.4541个小圆；
实际上由于在矩形的一条边处可能容不下完整的小圆，故矩形容器内可容纳的完整小圆的数量要少一些！
当a和b不是或不全是正偶数时，在矩形的两条边或一条边处，可能都有容不下完整小圆的情况，实际可容纳的完整小圆数更少一些！

问：长a、宽b、高c的方形容器内最多可以容纳多少个半径等于1的完整小圆珠？
简答：方形容器体积等于a*b*c，当a、b和c都是正偶数，且小圆珠按正方体排列时（简单立方堆积），每个小圆珠占据体积为8，实际可容纳a*b*c/8个小圆珠；
当小圆珠各层内按正三角形排列、层间按正方形排列时，每个小圆珠占据体积为4*√3=6.9082，表观上最多可容纳a*b*c/6.9082个小圆珠；
当小圆珠各层内、层间都按正三角形排列时（正四面体结构），每个小圆珠占据6个正四面体空间，体积为6*√2/12*2^3=4*√2=5.6568，表观上最多可容纳a*b*c/5.6568个小圆珠，容积率74.05%；【原帖子有误，已修正】
实际上由于在方形容器的一个面或两个面处可能容不下完整的小圆珠，故方形容器内可容纳的完整小圆珠的数量要少一些！
当a、b和c不全是正偶数时，在方形的三个面处，可能都有容不下完整小圆珠的情况，实际可容纳的完整小圆珠数更少一些！

问：半径n、高c的圆柱形容器内最多可以容纳多少个半径等于1的完整小圆珠？
简答：圆柱形容器体积等于π*n*n*c，当小圆珠按正方体排列时（简单立方堆积），每个小圆珠占据体积为8，圆柱内最多可容纳π*n*n*c/8个小圆珠；
当小圆珠各层内按正三角形排列、层间按正方形排列时，每个小圆珠占据体积为4*√3=6.9082，圆柱内最多可容纳π*n*n*c/6.9082个小圆珠；
当小圆珠各层内、层间都按正三角形排列时（正四面体结构），每个小圆珠占据6个正四面体空间，体积为6*√2/12*2^3=4*√2=5.6568，表观上最多可容纳n*n*c/5.6568个小圆珠，容积率74.05%；【原帖子有误，已修正】
实际上由于在圆柱型容器的一个圆周或最上面处可能容不下完整的小圆珠，故圆柱型容器内可容纳的完整小圆珠的数量要少一些！

独木星空谁

大圆半径为R，小圆半径为1，圆心是（0,0）时，与圆心是（1,1）时，扫过的整点数一样吗？（都是针对大圆说的）