共同欣赏数学花园中的奇葩：有关素数的无穷级数和无穷乘积

天山草 · 发表于 2008-12-5 21:01

[这个贴子最后由天山草在 2008/12/05 09:15pm 第 1 次编辑]

下面引用由wangyangke在 2008/12/05 05:50am 发表的内容：
关于回复之（2），---------------本帖中用 lnt * ln(t+2) 代替 (lnt)*(lnt)，可使计算的“近期效果”（对于较小的 x）更精确。----------
这种断言-------更精确。是否有理论依据？

并无什么理论依据，只是这样修正以后，计算结果要好一些而已。也应该有其它的更好的修正公式。
计算结果如下：
                  ≤N的孪生素数组数 ≤N的孪生素数组数
N                   L0，实际值       L1，计算值 (L1-L0)/L0
---------------------------------------------------------------------------
10^1                            2                3
10^2                            8                12
10^3                            35                44
10^4                         205             212
10^5                         1224             1247
10^6                         8169             8246
10^7                         58980             58752    -0.039％
10^8                      440312          440366       0.012％
10^9                      3424506          3425307       0.023％
10^10                   27412679          27411400    -0.0047％
10^11                   224376048       224369000    -0.0031％
10^12                   1870585220       1870560000    -0.0013％
10^13                15834664872       15834600000    -0.00041％
10^14                135780321665    135780000000    -0.00024％
10^15                1177209242304    1177210000000       0.000064％
10^16             10304195697298    10304200000000       0.000042％
10^17             90948839353159    90948800000000    -0.000043％
2×10^17          175448328823978 175448000000000    -0.00019％
3×10^17          257750385466498 257750000000000    -0.00015％
4×10^17          338672552419827 338673000000000       0.00013％
10^18                               808676000000000
10^19                               7237520000000000
10^20                               65154300000000000
10^21                            589630000000000000
10^22                            5361440000000000000
10^23                            48962200000000000000
10^24                         448905000000000000000
10^25                         4130650000000000000000
10^100                               2.5122×10^95
10^1000                            2.49245×10^993
----------------------------------------------------------------------

wangyangke · 发表于 2008-12-5 22:07

本帖最后由 wangyangke 于 2022-4-19 21:44 编辑

-----------------------------------

wangyangke · 发表于 2008-12-5 22:10

天山草 · 发表于 2008-12-6 09:09

呵呵， wangyangke 先生的钻研精神令人敬佩。

天山草 · 发表于 2008-12-6 11:07

[这个贴子最后由天山草在 2008/12/06 06:00pm 第 1 次编辑]

wangyangke 论证的“间距为 2 的素数对的个数与间距为 4 的素数对的个数相等”，经本人验证，数据支持这个猜想：
      X    间距为 2 的素数组数间距为 4 的素数组数
-----------------------------------------------------------------------
   10^1             2                      1
   10^2             8                      8
   10^3          35                      40
   10^4          205                   202
   10^5          1224                   1215
   10^6          8169                   8143
   10^7       58980                   58621
   10^8       440312                440257
   10^9       3424506                3424679
---------------------------------------------------------------

天山草 · 发表于 2008-12-6 11:15

统计示例（10000 以内的、间距为 4 的素数组）：
7 11 13 17 19 23 37 41 43 47
67 71 79 83 97 101 103 107 109 113
127 131 163 167 193 197 223 227 229 233
277 281 307 311 313 317 349 353 379 383
397 401 439 443 457 461 463 467 487 491
499 503 613 617 643 647 673 677 739 743
757 761 769 773 823 827 853 857 859 863
877 881 883 887 907 911 937 941 967 971
1009 1013 1087 1091 1093 1097 1213 1217 1279 1283
1297 1301 1303 1307 1423 1427 1429 1433 1447 1451
1483 1487 1489 1493 1549 1553 1567 1571 1579 1583
1597 1601 1609 1613 1663 1667 1693 1697 1783 1787
1867 1871 1873 1877 1993 1997 1999 2003 2083 2087
2137 2141 2203 2207 2239 2243 2269 2273 2293 2297
2347 2351 2377 2381 2389 2393 2437 2441 2473 2477
2539 2543 2617 2621 2659 2663 2683 2687 2689 2693
2707 2711 2749 2753 2797 2801 2833 2837 2857 2861
2953 2957 3019 3023 3037 3041 3079 3083 3163 3167
3187 3191 3217 3221 3253 3257 3319 3323 3343 3347
3457 3461 3463 3467 3529 3533 3613 3617 3673 3677
3697 3701 3793 3797 3847 3851 3877 3881 3907 3911
3919 3923 3943 3947 4003 4007 4129 4133 4153 4157
4447 4451 4513 4517 4519 4523 4639 4643 4729 4733
4783 4787 4789 4793 4813 4817 4933 4937 4969 4973
4999 5003 5077 5081 5167 5171 5227 5231 5233 5237
5347 5351 5413 5417 5437 5441 5479 5483 5503 5507
5527 5531 5569 5573 5647 5651 5653 5657 5689 5693
5737 5741 5779 5783 5839 5843 5857 5861 5923 5927
6007 6011 6043 6047 6199 6203 6217 6221 6469 6473
6547 6551 6577 6581 6733 6737 6823 6827 6829 6833
6907 6911 6967 6971 6997 7001 7039 7043 7207 7211
7243 7247 7477 7481 7537 7541 7573 7577 7603 7607
7639 7643 7669 7673 7687 7691 7699 7703 7723 7727
7753 7757 7789 7793 7873 7877 7879 7883 7933 7937
8089 8093 8167 8171 8233 8237 8269 8273 8287 8291
8293 8297 8419 8423 8443 8447 8539 8543 8623 8627
8677 8681 8689 8693 8737 8741 8779 8783 8803 8807
8863 8867 8929 8933 9007 9011 9133 9137 9157 9161
9199 9203 9277 9281 9319 9323 9337 9341 9433 9437
9463 9467 9547 9551 9619 9623 9739 9743 9787 9791
9829 9833 9883 9887
-------------------------------------------------------------------------
不超过 10000 的间距为 4 的素数组为 202 对。

尚九天 · 发表于 2008-12-6 11:15

间距为8, 间距为16, 间距为32, .......与间距为2的都一样多.[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 尚九天 在时添加 -=-=-=-=-
间距为 6,12,18,......者皆为间距为 2 者的 2倍.

天山草 · 发表于 2008-12-6 13:43

对于 10^9，间距为 2 时有 3424506 对，间距为 4 时有 3424679 对。

moranhuishou · 发表于 2008-12-6 16:53

有现成的软件在那放着，相信不会有错。
现在对这些问题兴趣不大，不过既然大家有兴趣，有时间也整理拿出来。

wangyangke · 发表于 2008-12-6 17:34

在此，对天山草老师的辛勤劳动，对天山草老师的满腔热忱，表示衷心感谢！
间距为2的素数对的对的数目与间距为4的素数对的对的数目相等，在鄙不是猜想，此有严密的论证。关于间距为6，8的素数对的对的数目表达式，写于2005年，此思考有很大难度；当时还写了间距为10的素数对的对的数目表达式，不敢公示；对间距为6，8的素数对的对的数目表达式，虽展示了，鄙内心还是把握不大；
尚九天吗，呵呵，傻乎乎的，，，

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