3x+1猜想证明及ax+1问题分析

塞上平常心

五、启发式论证
“每个数字要么是奇数要么是偶数，如果随便取一个自然数，碰到奇数和偶数的可能性是一样的。如果我们把一次航班中这一系列数值看作是随机的话，那么使用奇变换和偶变换的可能性也是一样的，所以平均在每两次变换中我们有一次是n→3n+1，有一次是n→n/2。所以平均起来，每次飞行高度的变化就是乘以3/2，于是……就会越飞越高。”

这样的启发式论证就推翻了原来的猜想！但是这个论证显然比较幼稚，因为它没有考虑到，每一次奇变换后随即而来的一定是一次偶变换，因为如果n是奇数的话，3n+1一定是偶数；而每一次偶变换后随即而来的却不一定是一次奇变换。J. Lagarias改进了这个启发式论证。他指出，如果我们把奇变换后再作偶变换考虑在一起，那么这样得到的结果可以看作是真的“很随机”。于是有1/2的可能性它是奇数，有1/4的可能性是一个奇数的2倍，有1/8的可能性是一个奇数的4倍，等等。于是飞行高度的变化就是以下变换的“平均效应”；

——n乘以3/2，这有1/2的可能（奇变换后再作偶变换的结果为奇数）；
——n乘以3/4，这有1/4的可能（奇变换后再作两次偶变换）；
——n乘以3/8，这有1/8的可能（奇变换后再作三次偶变换）；
…………

于是平均来讲，每次变换后高度的变化就是
c=(3/2)1/2(3/4)1/4(3/8)1/8(3/16)1/16……=3/4
所以高度在总体上来说应该是越来越低，每次大约低25%，最终降到一个循环上（不过这个论证没有排除有除了4→2→1以外的其他循环）。这个论证可以使我们使用论证中的模型来计算出，从一个自然数开始，平均要多少步的这样的飞行（就是保持高度航程中奇变换的次数），可以使飞行高度降到起始点以下。理论上的数值是3.49265……。如果我们对3到2000000000（二十亿）之间的航班的保持高度航程中奇变换的次数取平均值，我们得到3.4926……。这两个结果惊人的一致
性使我们相信上面的启发性模型是正确的。如果它是正确的，那么就意味着没有保持高度航程无限的航班，于是3x+1猜想就是正确的，至少可以得出没有飞得越来越高的航班的结论。

可是一个启发性论证，就算再有实验证据来表明它是对的，也只不过是个论证，只能使我们对猜想的正确性更充满信心。它不能代替真正的数学证明。（以上摘自异调先生的文章）

李老师的论证有所改进，但没有摆脱这种论证方法。

llz2008

我没有去看其他人有什么想法，只搜索了这个问题解决与否。
证明3x+1猜想，要解决两个问题，一个循环性，一个是收敛性。循环性的证明问题不大。收敛性的证明这要看专家这么看待。

任在深

注意！

        3X+1=4Y !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!---------------n-1         （收敛）
        5X+1=4Y ??????????????????????????????????-------------- -n           （发散）
        7X+1=4Y??????????????????????????????????--------------- -3(n-2)    (        发散）
        11X+1=4Y？？？？？？？？？？？？？？？？？------------- -（7n-9)  （发散）
        PX+1=4Y???????????????????????????????????------------- -[(P-4)n-c]（发散）

注意！
         不但要证明正确的即可收敛为1的3X+1;而且要证明当P≥5之后不再1处收敛或发散的情况！
         这才是3X+1的完美的证明！
               

               数学之界起锋芒，
               除旧立新中华强，
               开天辟地中华人，
              人间正道是沧桑！

塞上平常心

"据引理1 的证明过程可知，如果ax+1(a≥3 的素数)问题存在k 次 1 循环，那么，除这个k 次 1 循环外，不存在其他任何形式的循环。"
李老师：上面一段话我不太理解，能解释一下吗？

llz2008

塞上平常心 发表于 2015-5-9 13:06
"据引理1 的证明过程可知，如果ax+1(a≥3 的素数)问题存在k 次 1 循环，那么，除这个k 次 1 循环外，不存在 ...

结合实际，弄明白引理证明的每一步推理，也许就不会提这样的问题了。

塞上平常心

llz2008 发表于 2015-5-10 08:32
结合实际，弄明白引理证明的每一步推理，也许就不会提这样的问题了。

"引理1：如果ax+1(a≥3 的素数)问题存在k 次循环，……“

李老师：你的结论是存在还是不存在”循环“呢？

llz2008

塞上平常心 发表于 2015-5-10 03:50
"引理1：如果ax+1(a≥3 的素数)问题存在k 次循环，……“

李老师：你的结论是存在还是不存在”循环“ ...

任一奇数按考拉兹运算有可能存在循环，也有可能不存在循环。若不存在循环，就不需探究。若存在循环，则只在两种情形之一存在。

塞上平常心

llz2008 发表于 2015-5-10 15:33
任一奇数按考拉兹运算有可能存在循环，也有可能不存在循环。若不存在循环，就不需探究。若存在循环，则只 ...

具体说，3X+1问题是否存在循环呢？

llz2008

塞上平常心 发表于 2015-5-10 10:48
具体说，3X+1问题是否存在循环呢？

既然看了我的证明，你说呢？

塞上平常心

llz2008 发表于 2015-5-10 19:14
既然看了我的证明，你说呢？

据引理1，2 任一奇数循环按考拉兹运算，循环次数越多，这四类奇数各占的比例就越趋于1/4，结合当x≥5 时，（5）式＜x ，所以任一大于3 的奇数循环按考拉兹运算总可以得到比它自身小的奇数，递推可得考拉兹猜想是正确的。

我不明白，这里的“循环”指的是什么。