求整数 2^70+3^70 的最小正质因数

wangyangkee

一个很粗糙的方法——
2^70+3^70=2^3×35+3^2×35-2（2×3）^35+2（2×3）^35
=1+2（2×3）^35
这个数字用6进制表示即20000……（总34个0）……1
这个数字是12、72、432、……的倍数加1
可能是两个12的倍数+1之积、两个12的倍数+5之积、两个12的倍数+7之积、两个12的倍数+11之积；
…………
可能是两个72的倍数+1之积、两个72的倍数+17之积、……
…………
可能是两个432的倍数+1之积、………
………
其最小因子依次取13，17，……73，89……试探
其中一个13，验证即符合——
2^70≡mod13+3^70≡mod13→
2^70≡mod13→2^[(4×17)+2]≡mod13→2^(4×17) ×4≡mod13
→3^17  ×4≡mod13→【3^（3×5+2） 】 ×4≡mod13
→【1^5）×9 】 ×4≡mod13→10≡mod13
3^70≡mod13→【3^（3×23）×3 】≡mod13→【3^（3×23）×3 】≡mod13→3≡mod13

moranhuishou

由此题可得出一个有关费马大定理的定理：

费马方程
x^(2n+1)+y^(2n+1)=z^(2n+1),(n>1)
有整解成立的必要条件是
x+y<>p1*p2*...*pr.
证略。