运用“区域分析法”试证“哥猜公式”的误差率不会很高

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愚工688

志明 发表于 2015-4-8 15:30
在偶数200的逐步筛除过程中看“哥猜公式”对误差的调控功能

志明先生:你好!
   曾记得 以前曾经在东陆论坛与你交流过的。
  你的“容斥原理”得出的偶数的素对的计算式与我用概率的乘法定理得出的素对计算式子是类似的，除了“连乘积式子”的首项略有差异外，对大点的偶数，计算结果基本是没有差异的，因此相对误差也是基本相同。
   我始终认为偶数的素对数量的计算只是一个概率问题,如下所叙:
在[0，A-3] 中的这个自然数区域中使偶数Ｍ分成两个符合条件a的素数的x值数量的概率计算值Sp(m)，有：
Sp(m)=(A-2)P(m)
= (A-2) P(2·3·…·n·…·r)
=(A-2)*P(2)P(3)…P(n)…P(r)
=(A-2)*(1/2)*f(3)*…*f(n)*…*f(r). -----------{式3}
式中：3≤ n≤r；n是素数。f(n)=(n-1)/n, [In=0时]；或f(n)=(n-2)/n, [jn>0时] 。jn系A除以n时的余数。
实际偶数的素对数的计算可以表明，这种概率计算的方法不仅计算方法简单,比拉曼纽扬系数C（N）的计算容易,而且概率计算值与实际真值的相对误差也比哈代公式小得多。
  实际上这个计算式子与你的“连乘积公式”基本相似的，除了首项略不同外。虽然各人推导出式子的原理不同，但是实际的计算的相对误差基本相同。
  从我对相对误差所做的统计计算的数据可以明显看出，概率计算的相对误差的分布是收敛的，大偶数的相对误差的分布始终在偶数6-100的相对误差的分布范围内，并且标准偏差变得很小。
我是编程对偶数区间内的全部偶数的概率计算的相对误差的做统计计算的
分区对10万内的偶数的素对的概率计算值的相对误差δ(m)作统计计算，结果如下：
（μ-区间相对误差均值；σx-标准偏差）

M=[ 6 , 100 ]              r= 7    n= 48       μ=-.2418  σχ= .2292  δ(min)=-.625    δ(max)= .3429
M=[ 6 , 1000 ]            r= 31   n= 498     μ=-.1685  σχ= .1263  δ(min)=-.625    δ(max)= .3429
M=[ 6 , 10000 ]          r= 97   n= 4998    μ=-.075   σχ= .0736  δ(min)=-.625    δ(max)= .3429
M=[ 10002 , 20000 ]   r= 139  n= 5000   μ=-.0315  σχ= .0361  δ(min)=-.1603  δ(max)= .1017
M=[ 20002 , 30000 ]   r= 173  n= 5000   μ=-.0100  σχ= .0288  δ(min)=-.1145  δ(max)= .1245  
M=[ 30002 , 40000 ]   r= 199  n= 5000   μ=-.0037  σχ= .0263  δ(min)=-.1034  δ(max)= .1101
M=[ 40002 , 50000 ]   r= 223  n= 5000   μ= .005    σχ= .0253  δ(min)=-.1021  δ(max)= .1131
M=[ 50002 , 60000 ]   r= 241  n= 5000   μ= .0082  σχ= .0219  δ(min)=-.0688  δ(max)= .1064
M=[ 60002 , 70000 ]   r= 263  n= 5000   μ= .0139  σχ= .0213  δ(min)=-.0681  δ(max)= .0993  
M=[ 80002 , 90000 ]   r= 293  n= 5000   μ= .0129  σχ= .0196  δ(min)=-.0597  δ(max)= .0976
M=[ 90002 , 100000 ]  r= 313  n= 5000  μ= .0218  σχ= .0174  δ(min)=-.038    δ(max)= .112
  这个相对误差的统计计算的数据，除了前面三行（由于都包含了6-100的数据）与你的计算结果有点不一致外，下面则完全相同了。
  而我运用的方法的来源，完全符合下面的数学定理：
【相互独立事件同时发生的概率】两个相互独立的事件同时发生的事件记作A·B事件，则A·B事件的概率等于事A与事件B发生的概率的积，即P（A·B）=P(A)·P(B)
一般地，如果事件A1、A2、…An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，
即  P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·P(An).
-摘自《高中数理化概念公式定理手册》189页  上海远东出版社  ISBN 7-80613-324-0. 98年12月第一版
   与概率的乘法定理的运用的唯一的差异是：概率的乘法定理是指一个随即事件，而偶数的素对的x值取值区间[0，A-3] 是一个由偶数值所限制的区间，但是在任意一个随机的自然数区间的数，除以这些素数的余数的变化规律并没有变化，而使得A±x 成为素对的x值取值区间[0，A-3]只是其中的一个特定的区间而已。

志明

    顶上去！

    有人经常以“连乘积公式”不能准确地确定误差下限为由而否定“连乘积公式”的合理性，运用“区域分析法”可以确定“连乘积公式”自身具备了对误差的调控功能，这也是“连乘积公式”无论进行多少次筛除，无论出现多少次误差，但这些误差都不会累积成严重影响误差率的相对较大的误差的原因。在网上，与“连乘积公式”相关的证明与文章非常多，但是，单独证明“连乘积公式”自身具备有对误差的调控功能的东西很少，也没有看过在“区域分析法”这个方向的类似证明或文章。

   本人的能力与精力很有限（近几年一直忙于照看第三代），希望有兴趣的网友能在“区域分析法”这个方向挖掘出更有价值的东西。

   

lusishun

志明 发表于 2015-4-8 15:30
在偶数200的逐步筛除过程中看“哥猜公式”对误差的调控功能

恁还是在误差的泥潭中没出来啊。您的这些分析都是多余的

志明

lusishun 发表于 2017-1-10 01:32
恁还是在误差的泥潭中没出来啊。您的这些分析都是多余的

鲁思顺先生：您 好！

不论是用加强还是用验证的方法，都不能消除人们对于哥猜公式（连乘积公式）的误差是否会影响证明结果的准确性的疑虑。因为加强的力度是有限的，验证的范围也有限的，用有限的加强与验证，去证明在无限的范围内某种现象（哥猜）必然存在，如同扬汤止沸，作用很有限。如果能强化证明哥猜公式（连乘积公式）不论筛除多少次，其的误差率都是有限的，都不会影响证明结果的准确性，我觉得更有说服力。

个人观点不一定精准，供参考。

志明

顶上去！

愚工688

志明 发表于 2016-10-5 11:57
顶上去！

    有人经常以“连乘积公式”不能准确地确定误差下限为由而否定“连乘积公式”的合理性， ...

我在15#的偶数表为两个素数和表法数的计算式：
Sp(m)=(A-2)P(m)
= (A-2) P(2·3·…·n·…·r)
=(A-2)*P(2)P(3)…P(n)…P(r)
=(A-2)*(1/2)*f(3)*…*f(n)*…*f(r). -----------{式3}
式中：3≤ n≤r；n是素数。f(n)=(n-1)/n, [In=0时]；或f(n)=(n-2)/n, [jn>0时] 。jn系A除以n时的余数。

实际上与志明先生的计算式是非常相似的，我的首项用（A-2)，A为偶数M的半值，后面的连乘部分与楼主的相同。
例如：
M= 908        S(m)= 15     Sp(m)= 15      δ(m)≈ 0     K(m)= 1       r= 29
* Sp( 908)=[( 908/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)*( 9/ 11)*( 11/ 13)*( 15/ 17)*( 17/ 19)*( 21/ 23)*( 27/ 29)= 15


那么使用此类连乘公式，能否准确地确定误差下限呢？
这要从{式3}的相对误差的实际情况说起。
在15#中我已经对10万以内的全部偶数的计算值的相对误差做了统计计算，从中可以可以看到：
1）相对误差分布最离散的区域即是【6,100】区域，出现了最小、最大的相对误差；
2）随着偶数增大的各区域，最大、最小相对误差逐渐接近，标准偏差 σχ逐渐缩小；

到更大的偶数区域，这个现象会进一步得到体现：
1亿-500亿的取样样本的相对误差的统计计算数据：
（标准偏差的通用符号为σx ，μ-样本平均值）
100000000 -   100000098 : n= 50 μ= .1192  σx= .0013  δ(min)= .1156  δ(max)= .1224
1000000000 - 1000000098 : n= 50 μ= .1368  σx= .0004  δ(min)= .1356  δ(max)= .138
5000000000 - 5000000098 : n= 50 μ= .1462  σx= .0003  δ(min)= .1456  δ(max)= .1468
10000000000-10000000098 : n= 50 μ= .1494  σx= .0002  δ(min)= .1491  δ(max)= .1497
30000000002-30000000100 : n= 50 μ= .15494 σx= .0001  δ(min)= .15474 δ(max)= .15519
50000000002-50000000100 : n= 50 μ= .1571  σx= .0001  δ(min)= .1569  δ(max)= .1573

可以看到，
1）样本区域偶数的素对计算值的相对误差平均值随偶数增大缓慢增大到0.15以上；
2）标准偏差则很小，样本区域偶数的相对误差大小值比较接近；

因此，只要对{式3}的计算式可能产生的相对误差，作预先的修正，我们就可以对一个比较大区域的偶数的表法数的计算值，控制好其下限，使得计算值＜实际值，成为下界计算值。

若我们要从实际表法数值的下方接近偶数表为两个素数的表法数值，则需要排除波动系数K(m)值的影响以及连乘式实际存在的计算正误差。
  因此若把偶数M表为两个素数之和表法数的下界值记为infS(m)，采用误差修正系数μ=0.21，
  则有
        infS(m）=（A-2)P(m)min/(1+0.21)
               =（A-2)*0.5*π[(r-2)/r] /(1+0.21)
              =0.413（A-2)π[(r-2)/r] .          {式7}
        式中：r为＜√(M-2)的奇素数。
                  
    用infS(M)表示偶数M表为两个素数和的的表法数区域下界计算值，表示从这个偶数（或前几个偶数）起到任意大偶数的表法数值小于该偶数的表法数区域下界计算值infS(m），而区域下界计算值具有在√(M-2)最大素数r不变的区域内线性增大的特征。且两个最大素数r不同的区域内的首位偶数，偶数大的infS(m）值也大(单调增大）。

而用inf(m)表示偶数M表为两个素数和的表法数下限，则表示了偶数M的表法数的固有的波动性，该偶数个性的下界值inf(m)在个别的偶数会略大于实际表法数（因为波动系数作用）。它比较形象的描绘了偶数数据表法数的波动数据。

两者关系：infS(m)=inf(M)/ k(m)，
式中 k(m)由偶数M所含的≤√(M-2)的奇素数因子决定，称为素因子系数，也叫波动系数。

实例：
用偶数M表为两个素数和的表法数下界计算式 inf( m )=Sp( m )/(1+μ) ，（μ=0.15,）
注：因为小偶数区域时相对误差的分布比较离散，故采用比较大的修正系数（μ=0.21,）；偶数比较大是可以适当减小μ值，以便提高计算值精度。
计算一组20亿以上连续偶数的下界计算值inf( M)，每个偶数的表法数计算值的相对误差都很小，且小于真值；

infS(M )反映了偶数M的区域下界值，区域下界值随偶数的增大而缓慢地线性增大；
因此任意大于2017021200的偶数的表为两个素数和的素对数量必然多于3177490.

D ( 2017021200 ) = 9000900 ；
inf( 2017021200 )≈  8928994.2 , Δ≈-0.0079887,infS( 2017021200 )= 3177489.07 , k(m)= 2.81008

D ( 2017021202 ) = 4296402；
inf( 2017021202 )≈  4260861.5 , Δ≈-0.0082722,infS( 2017021202 )= 3177489.07 , k(m)= 1.34095

D ( 2017021204 ) = 3561192；
inf( 2017021204 )≈  3531899.1 , Δ≈-0.0082256,infS( 2017021204 )= 3177489.08 , k(m)= 1.11154

D ( 2017021206 ) = 6500093；
inf( 2017021206 )≈  6448471.6 , Δ≈-0.0079416,infS( 2017021206 )= 3177489.08 , k(m)= 2.02942

D ( 2017021208 ) = 3208277；
inf( 2017021208 )≈  3183015.2 , Δ≈-0.0078740,infS( 2017021208 )= 3177489.08 , k(m)= 1.00174

D ( 2017021210 ) = 4375501；
inf( 2017021210 )≈  4339985.1 , Δ≈-0.0081170,infS( 2017021210 )= 3177489.09 , k(m)= 1.36585

D ( 2017021212 ) = 6563005；
inf( 2017021212 )≈  6509781.9 , Δ≈-0.0081096,infS( 2017021212 )= 3177489.09 , k(m)= 2.04872

D ( 2017021214 ) = 3497463；
inf( 2017021214 )≈  3468053.9 , Δ≈-0.0084087,infS( 2017021214 )= 3177489.09 , k(m)= 1.09144

D ( 2017021216 ) = 3873195；
inf( 2017021216 )≈  3840818.9 , Δ≈-0.0083590,infS( 2017021216 )= 3177489.09 , k(m)= 1.20876

D ( 2017021218 ) = 6405541 ；
inf( 2017021218 )≈  6354978.2 , Δ≈-0.0078936,infS( 2017021218 )= 3177489.1 , k(m)= 2

D ( 2017021220 ) = 4273406 ；
inf( 2017021220 )≈  4238023.7 , Δ≈-0.0082796,infS( 2017021220 )= 3177489.1 , k(m)= 1.33376

D ( 2017021222 ) = 3202789 ；
inf( 2017021222 )≈  3177489.1 , Δ≈-0.0078994,infS( 2017021222 )= 3177489.1 , k(m)= 1


我想，我在这两个楼面中，把连乘式表现偶数的下界的例子清楚的表示了出来。
实际例子的偶数M以及M后面的大偶数，是没有一个的表法数会小于偶数表法数的区域下界值infS( m)的。
要点是必须把连乘式中含有的波动系数分离出去，否则用具有波动性的表法数下界值inf(m)的峰值与处于低位的真值相比，怎么能够正确的确定误差的下限？
必须用同一波动系数的偶数的表法数下界值inf(m)与它的表法数真值比较，那么相对误差均能够控制的比较小。

我想，目前能够达到如此程度的计算精度的偶数表法数计算公式，应该是不多见的！
所以说，不能因为某些专家对连乘式的否定而轻易的否定连乘式，除非你能够拿出精度更高的计算式来！