求证：半径为r的圆内接三角形的最大面积是3√3r＾2/4.

simpley · 发表于 2018-7-31 22:05

当底边固定，等腰三角形面积最大。然后再以一腰作底边，得到另一个等腰三角形。从而证明等边三角形面积最大

simpley · 发表于 2018-7-31 22:12

根据同样的方法，借助椭圆，可得周长一定，等边三角形面积最大

shuxuestar · 发表于 2018-7-31 22:15

simpley 发表于 2018-7-31 22:05
当底边固定，等腰三角形面积最大。然后再以一腰作底边，得到另一个等腰三角形。从而证明等边三角形面积最大 ...

这样得到的一般不是等边三角形

shuxuestar · 发表于 2018-7-31 22:17

simpley 发表于 2018-7-31 22:12
根据同样的方法，借助椭圆，可得周长一定，等边三角形面积最大

椭圆内接三角形应该不是...........

simpley · 发表于 2018-7-31 22:31

这是一种证明思路
。用这种方法可以证明等边三角形面积最大。具体可用反证法

luyuanhong · 发表于 2018-7-31 22:51

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：

shuxuestar · 发表于 2018-7-31 23:20

本帖最后由 shuxuestar 于 2018-7-31 23:53 编辑

luyuanhong 发表于 2018-7-31 22:51
下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：

没错圆内接正三角形面积最大压缩变换后变不等边三角形面积

面积积分后为圆内任何图形跟随压缩变换后的(b/a)倍

三角形面积比圆面积为最大值定值  因为压缩系数相同变换后相比椭圆面积即内接面积的最大值..........

shuxuestar · 发表于 2018-7-31 23:32

shuxuestar 发表于 2018-7-31 14:42
分析法证明圆内接正多边形面积最大：

这种方法简单说一下

一个内接多边形被分为N个圆心三角形部分部分之和为总面积

先证明了（相邻圆心三角形相等时) 面积大于不等的情形

给任意圆内接N边形每相邻三角形变形使相等后总面积在变大

不断无限进行使多边形面积变大最终使每每相邻三角形都相等（且这种情形存在）

即内接多边形面积的极限：极大值

shuxuestar · 发表于 2018-7-31 23:47

本帖最后由 shuxuestar 于 2018-7-31 23:57 编辑

反过来看更简单一些：

一个圆内接多边形分为N个圆心三角形

正N边形相邻圆心三角形两两都相等的总面积大于部分相邻圆心三角形相等的总面积

部分相邻圆心三角形相等的总面积大于存在任何相邻不相等圆心三角形的面积

所以得证

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求证：半径为r的圆内接三角形的最大面积是3√3r＾2/4.

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