证明：方程 (x-1)^n+x^n+(x+1)^n=0（n∈N*）的每一个复根的实部都为 0

ccmmjj

掬一捧月光 发表于 2018-9-25 14:55
这个题目是不是有点像黎曼猜想？！零点在一条直线上！

这个问题不是什么难题，比不得什么猜想。

llshs好石

ccmmjj 发表于 2018-9-26 01:27
这个问题不是什么难题，比不得什么猜想。

也就是说，函数ζ(x)=(x-a)^n+x^n+(x+a)^n（n∈N*,a∈R)的所有零点都落在x的实部为0的直线上

luyuanhong

谢谢楼上 llshs好石 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

ccmmjj126

g(y)=g(-y)这个没有证明。

llshs好石

llshs好石 发表于 2018-9-27 11:01
也就是说，函数ζ(x)=(x-a)^n+x^n+(x+a)^n（n∈N*,a∈R)的所有零点都落在x的实部为0的直线上

那请老师帮我补充一下嘛，谢谢！

malingxiao1984

llshs好石 发表于 2018-9-27 11:01
也就是说，函数ζ(x)=(x-a)^n+x^n+(x+a)^n（n∈N*,a∈R)的所有零点都落在x的实部为0的直线上

g(y)=g(-y)并不显而易见，肯定需要更详细的步骤。

我之前在纸上试着写了一个如果a+bi（a不等于0）是原方程的根，那么-a+bi不可能是原方程的根，得出矛盾。但是证明有点复杂，想简化一下再敲出来，结果纸找不到了，再写就发现怎么都是错的，可能我开始就弄错了吧

llshs好石

malingxiao1984 发表于 2018-9-28 01:40
g(y)=g(-y)并不显而易见，肯定需要更详细的步骤。

我之前在纸上试着写了一个如果a+bi（a不等于0）是原 ...

多项式的因式的奇偶性和多项式的奇偶性是相同的！
g(y)是f(y)的因式多项式，奇偶性相同！

malingxiao1984

llshs好石 发表于 2018-9-28 11:20
多项式的因式的奇偶性和多项式的奇偶性是相同的！
g(y)是f(y)的因式多项式，奇偶性相同！

这可不一定，
f(x)=x^3-x
那么x^2-x、x^2+x、x+1、x-1都是它的因式，这些因式显然不具备奇偶性，而原多项式是奇函数

ccmmjj

我给个提议吧。作替换　x=yi　代入原式，然后证明新的多项式只有实数根。