本帖最后由 青山 于 2018-9-2 17:40 编辑
8. “等于”还是“约等于”？
一般情况下，如果有简单工具可用，没有人愿意用复杂的工具。
在数学中，如果能用初等数学解决问题，没有人愿意用高等数学。
仅仅使用初等数学的知识，能够得出非线性函数的导数（点斜率）吗？
答案是完全可以。
下面通过2个例子来说明。
（1）计算非线性函数y ＝ x^2的导数y’
设非线性函数y ＝ x^2上有两个距离非常近的点A、B，其坐标分别是A（x，y），B ( x +Δx，y +Δy )，二者都满足y ＝ x^2的关系，有
y + Δy ＝ ( x + Δx )^2
y + Δy ＝ x2 + 2xΔx + (Δx)^2
Δy ＝ 2xΔx + (Δx)^2
Δy/Δx ＝ 2x + Δx
A点处的曲线斜率为Δy /Δx，应用近似计算规则，当Δx很小时，相比于2x，Δx可忽略不计，有2x +Δx ≈ 2x
y’ ≈ Δy /Δx ≈ 2x （16）
（2）计算非线性函数y ＝ sin x的导数y’
设非线性函数y ＝ sin x上有两个距离非常近的点A、B，其坐标分别是A（x，y），B ( x + Δx，y + Δy )，二者都满足y ＝ sin x的关系，有
y + Δy ＝ sin ( x +Δx)
Δy ＝ sin (x + Δx) – sin x
当θ很小时，总是有sin θ ≈ θ，故有以下近似等式成立
A点处的曲线斜率为Δy /Δx，应用近似计算规则，当Δx很小时，相比于x，Δx可忽略不计，故有x +Δx / 2 ≈ x
y’ ≈ Δy /Δx ≈ cos x （17）
可以看出，在上面的2个计算中，仅仅使用了初等数学的知识，特别是使用了近似计算，顺利地求出了2个函数点斜率的近似表达式。
在四则运算中，如果中间一个环节使用了近似，那么最后结果一定是近似值而不是准确值。因此，以上计算得到的微分值一定是近似值。
高等数学是如何完成以上这些任务的呢？
高等数学在计算上面的例子时，使用了“极限理论”，计算过程大体相近，但自始至终使用“＝”而不使用“≈”。
在当前的高等数学课本中，对于非线性函数y ＝ x^2，求得的导数 y’ ＝ 2x，其计算过程如下：
y +Δy ＝ ( x +Δx )^2
y +Δy ＝ x2 + 2xΔx + (Δx)^2
Δy ＝ 2xΔx + (Δx)^2
Δy/Δx ＝ 2x + Δx
（18）
对于非线性函数y ＝ sin x，其导数y’ ＝ cos x，其计算过程如下：
y + Δy ＝ sin ( x +Δx)
Δy ＝ sin (x + Δx) – sin x
（19）
对比式（16）与（18）、（17）与（19）可以看出，使用初等数学中的近似计算，求得非线性函数的点斜率是“近似值”，用“≈”表示；而使用高等数学中的“极限理论”，求得非线性函数的点斜率是虚假的“精确值”，且自始至终用“＝”表示。
初等数学和高等数学，在非线性函数求导的问题上，一个得到了近似值，一个得到了准确值。到底哪一个是严谨的、正确的呢？
毫无疑问，依据初等数学通过“近似计算”得到的结果是严谨、正确的，它不违反数学禁令，符合人类千百万年来的实践经验，是科学。而依据高等数学中的“极限理论”通过“无限逼近”得到的结果是不严谨、不正确的，它违反了数学禁令，不符合人类千百万年来的实践经验，是伪科学。
既然微积分可以建立在初等数学的基础上，那么，数学家们殚精竭虑、煞费苦心为微积分量身定制的“极限理论”就成了无用的垃圾，被清算、被根除、被抛弃是不可避免的了。 | 
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发表于 2018-9-2 15:57
