如果不用极限，怎么求曲边梯形的面积？

青山

Ysu2008 发表于 2018-9-4 23:24
加起来就完了？误差咋解决？
这些小矩形，有的多有的少，参差不齐，不能严丝合缝儿，有误差，你怎么消除 ...

　　别强求于人，用微积分法求曲边梯形面积，求曲线周长，历来都有误差，从来没有任何人能够消除。牛顿、莱布尼兹、柯西、高斯、欧拉，魏尔斯特拉斯都消除不了，凭什么要我消除误差、得到精确值？
　　以最简单的圆来说，知道了确切的直径之后，它的周长真值是一个无法用小数表示的数值，其真值有无穷多位，而且循环没有固定的规律。如果用有限位数的某个有理数来近似表示的话，那么位数越多，这个有理数与真值的差距越小，误差越小。人类通过控制小数点后面的位数来控制精度、控制误差。这是数学常识，你应该了解。
　　类似地，任意一段曲线的长度，也是一个无理数。它的长度是一个无法用小数严格准确地表示的数值，其真值在小数点后有无穷多位，而且循环没有固定的规律。如果用有限位数的某个有理数来近似表示的话，那么位数越多，这个有理数与真值的差距越小，误差越小。人类通过控制小数点后面的位数来控制精度、控制误差。曲线长度的真值是不可准确求出的，只能无限接近。可以这么说，即使我们调动地球的一切资源，运算一千年，一万年，也不可能求得圆周率的真值（无理数）。当然，运算一万年得到的结果，肯定比运算一千年得到的结果更接近真值。
　　同样的道理，求取曲边形面积、曲线长度，它们的真值必为无理数（我的书和文章中有论述，这里不展开）。经典的方法是分割法，将其分成很多小份，以直代曲，近似地模拟面积和长度。分的份数越多，所得到的结果越精确，离真值越近，误差越小。这是我们人类所能想到的最可靠的办法，虽然效率很低，但它是检验一切其他同类计算的标准。
　　微积分名气很大，但它不过是众多计算曲边形面积、曲线长度方法之中的一种。长期以来，数学界给人一种错误印象，似乎使用微积分得到的曲边形面积、曲线长度是精确值，一丝一毫的误差也没有。这是完全错误的。任何一个大学生都知道，曲线函数 y = x^2 的导数，在用Δx、Δy方法求导时，任意一点的准确斜率是 2x+Δx 而不是2x。舍去了无穷小量Δx之后，必定会产生误差，使点斜率（导数）偏离真实值。所以，2x 并不是曲线函数 y=x^2 的准确导数，而只是一个近似值。2x+Δx 才是曲线函数 y=x^2 的准确导数。换句话说，函数 y=x^2 并不是函数 y=2x 的原函数，只是它的近似原函数。无论数学家们怎么狡辩，这一点是抵赖不了的。
　　现在的高等数学书上，通过查积分表的方法，将函数 y=x^2 强行规定为 y=2x 的原函数，如果数学家们知道这是错的，那么这就是一种蓄意的欺骗。如果数学家们不知道这是错的，那就是他们集体的无知。
　　正是因为这个原因，目前高数体系所用的积分表全部是错误的。在函数与原函数之间，本来是近似的关系却使用了等号。这就给人一种假象，似乎只要用了微积分方法，算出来的曲面梯形面积、曲线长度一定是绝对准确的值。例如求正弦函数 y=sinx 在0~90度区间内包围的面积。简单分析一下就知道，曲线的函数值（点的高度）是无理数，全部纵向函数值的平均值、当量平均高度必然也是无理数，它的面积也必为无理数。但是，按当前微积分理论算出来的值，却是整数 1。别的先不提，单从数据类型上来判断，这个结果就是错误的。
　　由此可以知道，微积分只是一种特殊的计算方法，它果断地舍弃无穷小量，牺牲部分精度，引入不易觉察的微小误差，换取的是极高的计算效率（应用牛-莱公式，只用一个减法就能得到结果），快速、简洁地给出真值的一个近似结果，但是仍然给不出真值。普通人只看到它的速度和效率，却忽视了它不得不付出的代价，那就是使自己降级成为一种近似方法。也可以说，没有对无穷小的果断舍弃，对误差的果断接受，微积分就不可能如此高效地运行。

elim

副教授这个职称，有时候就是会犯溅．像范秃山似的．他的微积分还不如曹冲称象法呢．

Ysu2008

青山 发表于 2018-9-5 10:30
　　别强求于人，用微积分法求曲边梯形面积，求曲线周长，历来都有误差，从来没有任何人能够消除。牛顿 ...

曲边梯形的面积就是把这些小矩形加起来就完事儿了，关键是加多少个小矩形的问题。
划分越密，小矩形越多，所有小矩形的面积和与曲边梯形的面积误差就越小。

那么，微积分用了多少个小矩形呢？用了无穷多个！无穷多个，拽不拽？当然拽了嘛。

你打算用多少个小矩形来做这个加法？你报个数，100万？1亿？不管你用多少个，总没有无穷多个多吧。

无穷多个小矩形加起来都有误差，你那有限个矩形岂不是误差更大？

青山

Ysu2008 发表于 2018-9-5 13:41
曲边梯形的面积就是把这些小矩形加起来就完事儿了，关键是加多少个小矩形的问题。
划分越密，小矩形越多 ...

　　微积分方法虽然用了无穷多个小矩形，但那只是原理，实际的面积计算并没有按照这个原理求积分的值，而是按照牛顿-莱布尼兹公式快速求出的。即先求取被积函数 f(x) 的原函数 F(x)，之后再通过上下限相减的办法计算出结果。

　　经典的分割方法达不到无限个，只能达到有限个，计算结果与真值之间必然存在一定的误差，但这个误差会随着分割小矩形数量的增加稳定地递减，即误差会越来越小。我们不妨设此误差为 E1。

　　虽然微积分方法在理论上能实现无限分割，但被积函数 f(x) 的原函数 F(x) 之间产生的误差却一直存在，无法缩小。这个误差与被积函数的复杂程度有关，函数越复杂，求导时需要忽略的无穷小项越多，误差就越大。说得更详细些，被积函数 f(x) 对应着 2 个原函数，一个是绝对准确的真原函数 F1(x) —— 通常无法用有限解析式表示，另一个是查积分表得来的伪原函数 F2(x)。真伪原函数之间的差异，将导致微积分的计算结果与面积真值之间的误差，我们不妨设此误差为 E2。这一误差是无法消除也无法避免的，是微积分的天然缺陷。

　　现在的情况是，经典分割方法产生了误差 E1，可以人为控制，分割越多越细，这个误差越小；微积分方法产生了误差 E2，与被积函数的复杂程度有关，使用者无法控制。

　　两种方法产生的误差分别为 E1 和 E2，不经过实践检验，很难说哪一个更接近真值。但有一点是明确的，当两种方法所得到的结果出现差异时，比如小数点后第8000位开始出现差异，那么经典有限分割得到的计算结果一定更接近真值，而微积分方法得到的计算结果一定更远离真值。

　　你的问题促使我思考，其结果是使我的理论更严密、更严谨、更完善了。欢迎你继续提出问题，我将在论坛给出公开答复。

青山

　　网友Ysu2008提问的问题，很有意义，我将把它转到我的另一贴《炮轰极限论，正解微积分》下面去。

Ysu2008

青山 发表于 2018-9-5 16:23
　　微积分方法虽然用了无穷多个小矩形，但那只是原理，实际的面积计算并没有按照这个原理求积分的值， ...

你现在也同意只有将曲边梯形划分为无穷多个小矩形，然后把所有小矩形的面积加起来才是曲边梯形面积的精确值对不对？

那么，怎样才能把这无穷多个小矩形加起来？

我们不管别人是怎么做的，我们现在关心的是你的求和方案，你想想看，怎样加？

青山

Ysu2008 发表于 2018-9-5 17:50
你现在也同意只有将曲边梯形划分为无穷多个小矩形，然后把所有小矩形的面积加起来才是曲边梯形面积的精 ...

"你现在也同意只有将曲边梯形划分为无穷多个小矩形，然后把所有小矩形的面积加起来才是曲边梯形面积的精确值对不对？"
   -------- 不全对，最好别提精确值。理论上，曲边梯形面积是一个无理数，你不可能求得它的精确值，只能得到比较精确的值，近似值。毕竟，以直代曲的过程，不可避免地产生误差。这种误差虽然可以一直减小，但终究无法根除。所以不可能得到精确值。

“那么，怎样才能把这无穷多个小矩形加起来？”
-------- 从有限到无限，这一点现有高数课本的叙述是可取的。

“我们不管别人是怎么做的，我们现在关心的是你的求和方案，你想想看，怎样加？”
-------- 我的方案，不取极限，将无穷级数的和与面积真值之间用约等号连接，其他步骤和现有教材没什么区别。这也是我为什么只删除你主贴附图中3个字的原因。

Ysu2008

青山 发表于 2018-9-5 19:01
"你现在也同意只有将曲边梯形划分为无穷多个小矩形，然后把所有小矩形的面积加起来才是曲边梯形面积的 ...

好吧，精确值的问题我们暂时不管。

无穷多个小矩形总归是要全部加起来的吧，怎么加？别去管高数书，高数书是别人的方法不是你的，我想知道的是你怎么把这无穷多个小矩形加起来？

青山

Ysu2008 发表于 2018-9-5 23:18
好吧，精确值的问题我们暂时不管。

无穷多个小矩形总归是要全部加起来的吧，怎么加？别去管高数书，高 ...

Ysu2008

青山 发表于 2018-9-6 07:25

你看过牛顿-莱布尼兹公式的证明过程吗？
牛莱公式基于极限理论导出，你使用牛莱公式就间接用了极限理论。
我们这个帖子讨论的是“不用极限求曲边梯形面积”，不用极限自然也就不能使用极限理论下所有导出的结果。

你得自己想办法把无穷多个小矩形面积加起来。