关于0.999……是否等于1的问题，请来回答下面的问题

jzkyllcjl

无穷次操作是人们无法进行到底的操作，但有人说能进行到底！

门外汉

elim 发表于 2018-9-22 06:53
我很想知道楼主对极限的认识是什么，这关系到能不能明白数域，或者我是不是在浪费时间．

想知道我对极限的认识是什么，可以另发一帖来问，我不想转移话题，只想知道在什么数域下线段的长度等于0?什么数域下线段的长度不等于0?

phlsphr

根据完成了的无穷的观点，最终取走的是整条线段，取走的长度为1，剩下的是什么都没有，所以剩下的长度为0。
根据“非标准分析”的观点，最终取走的是长度为1-1/10^H的无限接近1的线段，剩下的是长度为1/10^H的无限短的线段。(H是无限大量）
可见，答案是什么，取决你在什么体系下讨论问题。

Ysu2008

0.999.... = 0.9＋0.09＋0.009＋0.0009＋……

注意上式表示无穷多个数之和， 前有限项之和 < 1，这没有问题；
但 0.999.... 不是有限项，而是无限项。

无限项的和等于多少呢？等于等比级数前 n 项的和在  n→∞ 时的极限。
也就是 lim 0.9(1-0.1^n)/(1-0.1) = 0.9/(1-0.1) = 1

即: 0.999...= 0.9＋0.09＋0.009＋…… = lim 0.9(1-0.1^n)/(1-0.1) = 1

我们的确无法通过做无穷多次加法把无穷多个数加起来，但我们可以通过求极限分析出最终结果。

elim

jzkyllcjl 发表于 2018-9-22 00:00
无穷次操作是人们无法进行到底的操作，但有人说能进行到底！

jzkyllcjl 的哀叹很可笑．第一，他举不出任何人称无穷操作能进行到底的人．除了那个扯第无穷大天的范秀山，不过这混混的话没法当人话听; 第二，人无法实行的操作可以借助工具去执行；第三，无穷操作的逻辑结果不能排除有限操作或分析地得到的可能．

jzkyllcjl

phlsphr 发表于 2018-9-22 07:11
根据完成了的无穷的观点，最终取走的是整条线段，取走的长度为1，剩下的是什么都没有，所以剩下的长度为0。 ...

观点需要尊重事实，你能把无穷次操作进行到底吗？
非标准分析中的“H是无限大量”的无穷大量在现实世界中是什么？你能写出无穷大自然数的十进制表达式吗？它是10的多少倍？

elim

jzkyllcjl 发表于 2018-9-22 00:20
观点需要尊重事实，你能把无穷次操作进行到底吗？
非标准分析中的“H是无限大量”的无穷大量在现实世界 ...

我不能太多次操作．但我在得到无穷操作的逻辑结果方面比较在行．

门外汉

phlsphr 发表于 2018-9-22 07:11
根据完成了的无穷的观点，最终取走的是整条线段，取走的长度为1，剩下的是什么都没有，所以剩下的长度为0。 ...

就在标准分析的体系下讨论问题吧，你确定在标准分析的体系下线段的长度最终缩短为0吗?

门外汉

Ysu2008 发表于 2018-9-22 07:11
0.999.... = 0.9＋0.09＋0.009＋0.0009＋……

注意上式表示无穷多个数之和， 前有限项之和 < 1，这没有 ...

我只请你回答一个逻辑问题：在无穷次的十等分的过程中，是否存在这样的一步结果：线段已经缩短到小得不能再小了，将其十等分，去除十分之九，所余线段的长度为0?

elim

说到某一步，那一步都是第有限步。它后面还有无穷步。